Powiązane stawki — Related rates

W rachunku różniczkowego , związanych ceny problemy polegają na znalezieniu tempo, w jakim zmienia się przez ilość dotycząca tej ilości do innych ilościach, których stopy zmiany są znane. Tempo zmian jest zwykle zależne od czasu . Ponieważ nauka i inżynieria często wiążą wielkości ze sobą, metody powiązanych wskaźników mają szerokie zastosowanie w tych dziedzinach. Różnicowanie ze względu na czas lub jedną z pozostałych zmiennych wymaga zastosowania reguły łańcucha , ponieważ większość problemów dotyczy kilku zmiennych.

Zasadniczo, jeśli funkcja jest zdefiniowana w taki sposób, że , to pochodną funkcji można przyjąć względem innej zmiennej. Zakładamy, że jest funkcją , czyli . Wtedy , więc ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F = f (x)}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle x = g (t)}$${\displaystyle F=f(g(t))}$

${\ Displaystyle F '(t) = f' (g (t)) \ cdot g '(t)}$

Napisany w notacji Leibniza, jest to:

${\ Displaystyle {\ Frac {dF} {dt}} = {\ Frac {df} {dx}} \ cdot {\ Frac {dx} {dt}}.}$

Tak więc, jeśli wiadomo, jak zmienia się względem , to możemy określić, jak zmienia się względem i na odwrót. Możemy rozszerzyć to zastosowanie reguły łańcucha o reguły sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu rachunku różniczkowego itp. ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle t}$

Na przykład, jeśli wtedy ${\ Displaystyle F (x) = G (y) + H (z)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dF} {dx}} \ cdot {\ Frac {dx} {dt}} = {\ Frac {dG} {dy}} \ cdot {\ Frac {dy} {dt}} + { \frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}.}$

Procedura

Najczęstszym sposobem podejścia do problemów związanych ze stawkami jest:

1. Zidentyfikuj znane zmienne , w tym tempo zmian i tempo zmian, które mają zostać znalezione. (Narysowanie obrazu lub przedstawienie problemu może pomóc w utrzymaniu wszystkiego w porządku)
2. Skonstruuj równanie wiążące wielkości, których tempo zmian jest znane, z wielkością, której tempo zmian ma zostać znalezione.
3. Rozróżnij obie strony równania ze względu na czas (lub inne tempo zmian). Często na tym etapie stosuje się zasadę łańcucha .
4. Podstaw do równania znane szybkości zmian i znane wielkości.
5. Znajdź pożądane tempo zmian.

Błędy w tej procedurze są często spowodowane wstawieniem znanych wartości zmiennych przed (a nie po) znalezieniu pochodnej względem czasu. Takie postępowanie da niepoprawny wynik, ponieważ jeśli te wartości zostaną zastąpione zmiennymi przed zróżnicowaniem, te zmienne staną się stałymi; a gdy równanie jest różnicowane, zera pojawiają się w miejscach wszystkich zmiennych, dla których wstawiono wartości.

Przykłady

Przykład pochylonej drabiny

10-metrowa drabina opiera się o ścianę budynku, a podstawa drabiny wysuwa się z budynku z prędkością 3 metrów na sekundę. Jak szybko szczyt drabiny zsuwa się ze ściany, gdy podstawa drabiny znajduje się 6 metrów od ściany?

Odległość między podstawą drabiny a ścianą x , a wysokość drabiny na ścianie y reprezentują boki trójkąta prostokątnego z drabiną jako przeciwprostokątną h . Celem jest znalezienie dy / dt , tempa zmiany y względem czasu, t , gdy h , x i dx / dt , tempa zmiany x , są znane.

Krok 1:

${\displaystyle x=6}$

${\ Displaystyle h = 10}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dh} {dt}} = 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = {\ tekst {?}}}$

Krok 2: Z twierdzenia Pitagorasa równanie

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2},\,}$

opisuje związek między x , y i h , dla trójkąta prostokątnego. Różniczkowanie obu stron tego równania ze względu na czas, t , uzyski

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} (x ^ {2} + Y ^ {2}) = {\ Frac {d} {dt}} (h ^ {2})}$

Krok 3: Po rozwiązaniu dla pożądanego tempa zmian, dy / dt , daje nam

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ Frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) = {\ Frac {d} {dt}} ( h^{2})}$

${\ Displaystyle (2x) {\ Frac {dx} {dt}} + (2 lata) {\ Frac {dy} {dt}} = (2 h) {\ Frac {dh} {dt}}}$

${\ Displaystyle x {\ Frac {dx} {dt}} + Y {\ Frac {dy} {dt}} = h {\ Frac {dh} {dt}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = {\ Frac {h {\ Frac {dh} {dt}}-x {\ Frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

Krok 4 i 5: Użycie zmiennych z kroku 1 daje nam:

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = {\ Frac {h {\ Frac {dh} {dt}}-x {\ Frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = {\ Frac {10 \ razy 0-6 \ razy 3} {y}} = - {\ Frac {18} {y}}.}$

Rozwiązanie dla y przy użyciu twierdzenia Pitagorasa daje:

${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} = h ^ {2}}$

${\ Displaystyle 6 ^ {2} + Y ^ {2} = 10 ^ {2}}$

${\displaystyle y=8}$

Podłączanie 8 do równania:

${\ Displaystyle - {\ Frac {18} {y}} = - {\ Frac {18} {8}} = - {\ Frac {9} {4}}}$

Ogólnie przyjmuje się, że wartości ujemne reprezentują kierunek w dół. W ten sposób szczyt drabiny zsuwa się po ścianie z prędkością 9 ⁄ 4 metrów na sekundę.

Przykłady fizyki

Ponieważ jedna wielkość fizyczna często zależy od drugiej, która z kolei zależy od innych, takich jak czas, metody powiązanych wskaźników mają szerokie zastosowanie w fizyce. W tej sekcji przedstawiono przykład powiązanych wskaźników kinematyki i indukcji elektromagnetycznej .

Przykład fizyczny I: kinematyka względna dwóch pojazdów

Jeden pojazd jedzie na północ i znajduje się obecnie w (0,3); drugi pojazd jedzie na zachód i znajduje się obecnie w (4,0). Reguła łańcucha może być wykorzystana do określenia, czy zbliżają się do siebie, czy oddalają.

Na przykład można rozważyć problem kinematyki, w którym jeden pojazd jedzie na zachód w kierunku skrzyżowania z prędkością 80 mil na godzinę, podczas gdy inny jedzie na północ od skrzyżowania z prędkością 60 mil na godzinę. Można zapytać, czy pojazdy zbliżają się, czy dalej od siebie iz jaką prędkością w chwili, gdy pojazd kierujący się na północ znajduje się 3 mile na północ od skrzyżowania, a pojazd kierujący się na zachód znajduje się 4 mile na wschód od skrzyżowania.

Świetny pomysł: użyj reguły łańcucha, aby obliczyć szybkość zmiany odległości między dwoma pojazdami.

Plan:

1. Wybierz układ współrzędnych
2. Zidentyfikuj zmienne
3. Narysuj obrazek
4. Świetny pomysł: użyj reguły łańcucha do obliczenia tempa zmiany odległości między dwoma pojazdami
5. Wyraź c jako x i y za pomocą twierdzenia Pitagorasa
6. Wyraź dc / dt za pomocą reguły łańcucha w kategoriach dx / d t i dy / dt
7. Zastąp w x , y , dx / dt , dy / dt
8. Uproszczać.

Wybierz układ współrzędnych: Niech oś y wskazuje na północ, a oś x na wschód.

Zidentyfikuj zmienne: Zdefiniuj y ( t ) jako odległość pojazdu jadącego na północ od początku, a x ( t ) jako odległość pojazdu jadącego na zachód od początku.

Wyraź c jako x i y za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

${\ Displaystyle c = (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {1/2}}$

Wyraź dc / dt za pomocą reguły łańcucha w kategoriach dx / dt i dy / dt:

${\ Displaystyle {\ Frac {dc} {dt}} = {\ Frac {d} {dt}} (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {1/2}}$	Zastosuj operator pochodny do całej funkcji
${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2}} (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {-1/2} {\ Frac {d} {dt}} (x ^ {2} +y^{2})}$	Pierwiastek kwadratowy jest funkcją zewnętrzną; Suma kwadratów jest wewnątrz funkcji
${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2}} (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {-1/2} \ lewo [{\ Frac {d} {dt}} (x ^ {2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\prawo]}$	Rozłóż operator różnicowania
${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2}} (x ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {-1/2} \ lewo [2x {\ Frac {dx} {dt}} + 2y {\frac {dy}{dt}}\prawo]}$	Zastosuj regułę łańcucha do x ( t ) i y ( t )}
${\ Displaystyle = {\ Frac {x {\ Frac {dx} {dt}} + Y {\ Frac {dy} {dt}}} {\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2}}}} }$	Uproszczać.

Zastąp w x = 4 mi, y = 3 mi, dx / dt = -80 mil/h, dy / dt = 60 mil/h i uprość

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {dc} {dt}} i = {\ Frac {4 {\ tekst {mi}} \ cdot (-80 {\ tekst {mi}} / {\ tekst { godz.}})+3{\text{mi}}\cdot (60){\text{mi}}/{\text{godz.}}}{\sqrt {(4{\text{mi}})^{ 2}+(3{\text{ mi}})^{2}}}}\\&={\frac {-320{\text{ mi}}^{2}/{\text{h}}+ 180{\text{ mi}}^{2}/{\text{h}}}{5{\text{ mi}}}}\\&={\frac {-140{\text{ mi}}^ {2}/{\text{h}}}{5{\text{ mi}}}}\\&=-28{\text{ mi}}/{\text{h}}\end{wyrównany}} }$

W konsekwencji oba pojazdy zbliżają się do siebie z prędkością 28 mil/godz.

Fizyka Przykład II: Indukcja elektromagnetyczna wirowania pętli przewodzącej w polu magnetycznym

Strumień magnetyczny przez pętlę obszaru A , których normalne są pod kątem θ do pola magnetycznego siła B jest

${\ Displaystyle \ Phi _ {B} = BA \ cos (\ theta)}$

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya mówi, że indukowana siła elektromotoryczna jest ujemną szybkością zmian strumienia magnetycznego przez pętlę przewodzącą. ${\ Displaystyle {\ Mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - {{d \ Phi _ {B}} \ ponad dt},}$

Jeśli powierzchnia pętli A i pole magnetyczne B są utrzymywane na stałym poziomie, ale pętla jest obrócona tak, że kąt θ jest znaną funkcją czasu, szybkość zmian θ może być powiązana z szybkością zmian (a tym samym elektromotorycznego siła) biorąc pochodną czasu z relacji strumienia ${\ Displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ Frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = BA \ sin \ theta {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

Jeśli na przykład pętla obraca się ze stałą prędkością kątową ω , tak że θ  =  ωt , to

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = \ omega BA \ sin \ omega t}$

Bibliografia