Szeregi dwumianowe - Binomial series

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Korzeń Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różne Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słownik Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v t mi

W matematyce , dwumianowy serii jest szereg Taylora dla funkcji podane przez gdzie jest dowolną liczbą zespoloną i | x | < 1. Jawnie, ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x) = (1 + x) ^ {\ alfa},}$${\ Displaystyle \ alfa \ w \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} (1 + x) ^ {\ alfa} i = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {\ binom {\ alfa} {k}} \; x ^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{wyrównany}}}$

( 1 )

a szereg dwumianowy to szereg potęgowy po prawej stronie ( 1 ), wyrażony jako (uogólnione) współczynniki dwumianowe

${\ Displaystyle {\ Binom {\ alfa }{k}}: = {\ Frac {\ alfa (\ alfa -1) (\ alfa -2) \ cdots (\ alfa -k + 1) {k!}} .}$

Przypadki specjalne

Jeśli α jest nieujemną liczbą całkowitą  n , to ( n  + 2) nd wyraz i wszystkie późniejsze wyrazy w szeregu wynoszą 0, ponieważ każdy zawiera czynnik ( n  −  n ); zatem w tym przypadku szereg jest skończony i daje algebraiczny wzór dwumianowy .

Poniższy wariant obowiązuje dla dowolnej zespolonej  β , ale jest szczególnie przydatny do obsługi ujemnych wykładników całkowitych w ( 1 ):

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(1-z) ^ {\ beta +1}}} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {k + \ beta \ wybierz k} z ^ {k }.}$

Aby to udowodnić, zastąp x  = − z w ( 1 ) i zastosuj dwumianową identyczność współczynnika

${\ Displaystyle {\ Binom {-\ beta -1} {k}} = (-1) ^ {k} {\ Binom {k + \ beta} {k}}.}$

Konwergencja

Warunki konwergencji

Zbieżność ( 1 ) zależy od wartości liczb zespolonych α i  x . Dokładniej:

1. Jeżeli | x | < 1 , szereg jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnej liczby zespolonej α .
2. Jeżeli | x | = 1 , gdy zbieżny serii całkowicie wtedy i tylko wtedy, gdy albo Re ( α )> 0 lub α = 0 , gdzie Re ( α ) oznacza część rzeczywistą z alfa .
3. Jeżeli | x | = 1 i x ≠ −1 , szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy Re( α ) > −1 .
4. Jeśli x = −1 , szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy Re( α ) > 0 lub α = 0 .
5. Jeżeli | x | > 1 , szereg jest rozbieżny , chyba że α jest nieujemną liczbą całkowitą (wówczas szereg jest sumą skończoną).

W szczególności, jeżeli nie jest nieujemną liczbą całkowitą sytuacji na granicy dysku zbieżności , , można streścić w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle | x | = 1}$

• Jeśli Re( α ) > 0 , szereg jest zbieżny bezwzględnie.
• Jeśli −1 < Re( α ) ≤ 0 , szereg jest zbieżny warunkowo, jeśli x ≠ −1 i rozbieżny, jeśli x = −1 .
• Jeżeli Re( α ) ≤ −1 , szereg jest rozbieżny.

Tożsamości do wykorzystania w dowodzie

Dla dowolnej liczby zespolonej  α obowiązuje następujący zapis :

${\ Displaystyle {\ alfa \ wybierz 0} = 1,}$

${\ Displaystyle {\ alfa \ wybierz k + 1} = {\ alfa \ wybierz k} \ {\ Frac {\ alfa -k} {k + 1}}}$

( 2 )

${\ Displaystyle {\ alfa \ wybierz k-1} + {\ alfa \ wybierz k} = {\ alfa +1 \ wybierz k}.}$

( 3 )

O ile nie jest liczbą całkowitą nieujemną (w takim przypadku współczynniki dwumianowe znikają, ponieważ są większe niż ), użyteczną asymptotyczną relacją dla współczynników dwumianowych jest, w notacji Landaua : ${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle {\ alfa \ wybierz k} = {\ Frac {(-1) ^ {k}} {\ Gamma (- \ alfa) k ^ {1 + \ alfa}}} \ (1 + o (1 )),\quad {\text{jako }}k\to \infty .}$

( 4 )

Jest to zasadniczo równoważne definicji funkcji Gamma Eulera :

${\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {k \ do \ infty {\ Frac {k! \; k ^ {z}} {z \; (z + 1) \ cdots (z + k)} },}$

i implikuje natychmiast grubsze granice bound

${\ Displaystyle {\ Frac {m} {k ^ {1 + \ operatorname {Re} \ \ alfa}}} \ leq \ lewo | {\ alfa \ wybierz k} \ prawo | \ leq {\ Frac {M} {k^{1+\nazwa operatora {Re} \alfa }}},}$

( 5 )

dla pewnych stałych dodatnich m i M .

Wzór ( 2 ) na uogólniony współczynnik dwumianowy można przepisać jako

${\ Displaystyle {\ alfa \ wybierz k} = \ prod _ {j = 1} ^ {k} \ lewo ({\ Frac {\ alfa +1} {j}} -1 \ po prawej).}$

( 6 )

Dowód

Aby udowodnić (i) i (v), zastosuj test współczynnika i użyj wzoru ( 2 ) powyżej, aby pokazać, że ilekroć nie jest liczbą całkowitą nieujemną, promień zbieżności wynosi dokładnie 1. Część (ii) wynika ze wzoru ( 5 ), w porównaniu z serią p${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \; {\ Frac {1} {k ^ {p}}}}$

z . Aby udowodnić (iii), najpierw użyj wzoru ( 3 ), aby otrzymać ${\ Displaystyle p = 1 + \ nazwa operatora {Re} \ alfa}$

${\ Displaystyle (1 + x) \ suma _ {k = 0} ^ {n} \; {\ alfa \ wybierz k} \; x ^ {k} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} \ ;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

( 7 )

a następnie ponownie użyj (ii) i wzoru ( 5 ), aby udowodnić zbieżność prawej strony, gdy założono. Z drugiej strony szereg nie jest zbieżny, jeśli i , ponownie według wzoru ( 5 ). Alternatywnie możemy zaobserwować, że dla wszystkich , . Tak więc według wzoru ( 6 ) dla wszystkich . To kończy dowód (iii). Przechodząc do (iv), używamy tożsamość ( 7 ), z i w miejscu , wraz ze związkiem o wzorze ( 4 ), w celu otrzymania ${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ alfa>-1}$${\ Displaystyle | x | = 1}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Re} \ alfa \ Leq -1}$${\ Displaystyle j}$${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$${\displaystyle x=-1}$${\ Displaystyle \ alfa -1}$${\ Displaystyle \ alfa}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} \; {\ alfa \ wybierz k} \; (-1) ^ {k} = {\ alfa -1 \ wybierz n} \; (-1) ^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

jak . Asercja (iv) wynika teraz z asymptotycznego zachowania sekwencji . (Dokładnie, na pewno zbieżny do if i rozbieżny do if . If , to zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jest zbieżny , co jest z pewnością prawdziwe, jeśli ale fałszywe if : w tym drugim przypadku ciąg jest gęsty , ze względu na fakt, że jest rozbieżny i zbieżny do zera). ${\displaystyle n\do \infty}$${\ Displaystyle n ^ {- \ alfa} = e ^ {- \ alfa \ log (n)}}$${\ Displaystyle \ lewo | e ^ {- \ alfa \ log n} \ po prawej | = e ^ {- \ operatorname {Re} \ alfa \ \ log n}}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Re} \ alfa> 0}$${\displaystyle +\infty}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Re} \ alfa <0}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Re} \ alfa = 0}$${\ Displaystyle n ^ {- \ alfa} = e ^ {-i \ operatorname {im} \ alfa \ log n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} \ alfa \ log n}$${\displaystyle {\bmod {2\pi}}}$${\ Displaystyle \ alfa = 0}$${\ Displaystyle \ operatorname {im} \ alfa \ neq 0}$${\displaystyle {\bmod {2\pi}}}$${\ Displaystyle \ log n}$${\ Displaystyle \ log (n + 1) - \ log n}$

Sumowanie szeregu dwumianowego

Zwykły argument, aby obliczyć sumę szeregu dwumianowego, wygląda następująco. Różniczkowanie termicznie szeregu dwumianowego w obrębie dysku zbieżności | x | < 1 i używając wzoru ( 1 ) mamy, że suma szeregu jest funkcją analityczną rozwiązującą równanie różniczkowe zwyczajne (1 +  x ) u '( x ) = αu ( x ) z danymi początkowymi u (0) = 1 Unikalnym rozwiązaniem tego problemu jest funkcja u ( x ) = (1 +  x ) ^α , która jest zatem sumą szeregu dwumianowego, przynajmniej dla | x | < 1. Równość rozciąga się na | x | = 1 ilekroć szereg jest zbieżny, jako konsekwencja twierdzenia Abela i ciągłości (1 +  x ) ^α .

Historia

Pierwsze wyniki dotyczące szeregów dwumianowych dla innych niż dodatnie wykładniki całkowite zostały podane przez Sir Isaaca Newtona w badaniu obszarów zamkniętych pod pewnymi krzywymi. John Wallis oparł się na tej pracy, rozważając wyrażenia postaci y = (1 − x ² ) ^m, gdzie m jest ułamkiem. Odkrył, że (pisane współczesnymi słowami) kolejne współczynniki c _k (− x ² ) ^k można znaleźć mnożąc poprzedni współczynnik przezm − ( k − 1)/k(jak w przypadku wykładników całkowitych), tym samym domyślnie dając wzór na te współczynniki. Wyraźnie pisze następujące przypadki

${\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} = 1- {\ Frac {x ^ {2}} {2}} - {\ Frac {x ^ {4}}{8}} -{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2} = 1- {\ Frac {3x ^ {2}} {2}} + {\ Frac {3x ^ {4}}{8}} +{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\ Displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/3} = 1- {\ Frac {x ^ {2}} {3}} - {\ Frac {x ^ {4}} {9}} -{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Szereg dwumianowy jest zatem czasami określany jako twierdzenie dwumianowe Newtona . Newton nie podaje żadnych dowodów i nie mówi jednoznacznie o naturze serii. Później, w 1826 roku, Niels Henrik Abel omówił ten temat w artykule opublikowanym w Crelle's Journal , traktując w szczególności kwestie zbieżności.

Zobacz też

• Przybliżenie dwumianowe
• Dwumian newtona
• Tabela serii Newtona

Przypisy

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

• Abel, Niels (1826), „Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1,2)x ² + (m(m-1)(m-2)/1,2,3 )x ³ + ..." , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311-339
• Coolidge, JL (1949), "Historia twierdzenia dwumianowego", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147-157, doi : 10.2307/2305028 , JSTOR  2305028

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Seria dwumianowa” . MatematykaŚwiat .
• Weisstein, Eric W. „Twierdzenie dwumianowe” . MatematykaŚwiat .
• wzór dwumianowy w PlanetMath .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Seria dwumianowa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press