Test naprzemiennych serii - Alternating series test
Część serii artykułów o |
Rachunek różniczkowy |
---|
W analizy matematycznej The seriach testów przemiennego metoda jest stosowana do wykazania, że w cyklu naprzemiennie z warunkami, które zmniejszają wartość bezwzględna jest szereg zbieżny . Test był używany przez Gottfrieda Leibniza i jest czasami jako testu Leibniza , reguła Leibniza , czy kryterium Leibniza .
Sformułowanie
Seria formularzy
gdzie albo wszystkie a n są dodatnie, albo wszystkie a n są ujemne, nazywa się szeregiem przemiennym .
Testu serii przemiennego potem mówi: jeśli maleje monotonicznie a następnie zbiega serii przemiennego.
Ponadto niech L oznacza sumę szeregu, a następnie sumę częściową
przybliża L z błędem ograniczonym kolejnym pominiętym wyrazem:
Dowód
Załóżmy, że otrzymaliśmy szereg postaci , gdzie i dla wszystkich liczb naturalnych n . (Przypadek następuje, biorąc negatyw.)
Dowód zbieżności
Udowodnimy, że zarówno sumy cząstkowe o nieparzystej liczbie wyrazów, jak io parzystej liczbie wyrazów zbiegają się do tej samej liczby L . W ten sposób zwykła suma częściowa również zbiega się do L .
Nieparzyste sumy częściowe maleją monotonicznie:
podczas gdy parzyste częściowe sumy rosną monotonicznie:
zarówno dlatego, że n maleje monotonicznie z n .
Ponadto, ponieważ a n jest dodatnią, . W ten sposób możemy zebrać te fakty, aby utworzyć następującą sugestywną nierówność:
Teraz zauważ, że a 1 − a 2 jest dolnym ograniczeniem monotonicznie malejącej sekwencji S 2m+1 , twierdzenie o zbieżności monotonicznej następnie implikuje, że ta sekwencja zbiega się, gdy m zbliża się do nieskończoności. Podobnie sekwencja nawet częściowej sumy jest zbieżna.
Wreszcie muszą zbiegać się do tej samej liczby, ponieważ
Nazwijmy granicę L , wtedy twierdzenie o zbieżności monotonicznej również dostarcza nam dodatkowych informacji, które
dla każdego m . Oznacza to, że częściowe sumy szeregu naprzemiennego również „następują” powyżej i poniżej ostatecznego limitu. Dokładniej, gdy istnieje nieparzysta (parzysta) liczba wyrazów, tj. ostatni wyraz jest wyrazem plus (minus), to suma częściowa znajduje się powyżej (poniżej) ostatecznego limitu.
Takie rozumienie prowadzi natychmiast do błędu związanego z sumami częściowymi, jak pokazano poniżej.
Dowód błędu sumy częściowej ograniczony
Chcielibyśmy pokazać , dzieląc się na dwa przypadki.
Gdy k = 2m+1, czyli nieparzyste, wtedy
Gdy k = 2m, czyli parzyste, wtedy
zgodnie z życzeniem.
Oba przypadki opierają się zasadniczo na ostatniej nierówności wyprowadzonej w poprzednim dowodzie.
Dla alternatywnego dowodu przy użyciu testu zbieżności Cauchy'ego , zobacz Alternating series .
Aby uzyskać uogólnienie, zobacz test Dirichleta .
Przykład
Wszystkie warunki testu, a mianowicie zbieżność do zera i monotoniczność, powinny być spełnione, aby wniosek był prawdziwy. Weźmy na przykład serię
Znaki zmieniają się naprzemiennie, a terminy mają tendencję do zerowania. Jednak monotoniczność nie jest obecna i nie możemy zastosować testu. W rzeczywistości seria jest rozbieżna. Rzeczywiście, dla sumy częściowej mamy dwukrotność sumy częściowej szeregu harmonicznego, który jest rozbieżny. Stąd oryginalna seria jest rozbieżna.
Zobacz też
Uwagi
- ^ W praktyce kilka pierwszych terminów może wzrosnąć. Ważne jest to, żedla wszystkichpo pewnym czasie.
Bibliografia
- Konrad Knopp (1956) Nieskończone sekwencje i seria , § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
- Konrad Knopp (1990) Teoria i zastosowanie serii nieskończonych , § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
- ET Whittaker & GN Watson (1963) Kurs współczesnej analizy , wydanie 4, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3