Wykorzystanie liczb zespolonych do obliczania całek
W całkowego , wzoru Eulera na liczbach zespolonych może być wykorzystane do oceny całki obejmujących funkcji trygonometrycznych . Korzystanie Wzór Eulera, wszelkie funkcje trygonometryczne mogą być napisane w warunkach złożonych funkcji wykładniczej, a mianowicie a , a następnie zintegrowane. Ta technika jest często prostsza i szybsza niż używanie tożsamości trygonometrycznych lub całkowania przez części i jest wystarczająco wydajna, aby zintegrować dowolne wyrażenie wymierne obejmujące funkcje trygonometryczne.
mi
ja
x
{\ Displaystyle e ^ {ix}}
mi
−
ja
x
{\ Displaystyle e ^ {-ix}}
Wzór Eulera
Wzór Eulera stwierdza, że
mi
ja
x
=
sałata
x
+
ja
grzech
x
.
{\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ \ sin x.}
Podstawiając do daje równanie
−
x
{\displaystyle -x}
x
{\displaystyle x}
mi
−
ja
x
=
sałata
x
−
ja
grzech
x
{\ Displaystyle e ^ {-ix} = \ cos xi \ \ grzech x}
ponieważ cosinus jest funkcją parzystą, a sinus jest nieparzysty. Te dwa równania można rozwiązać dla sinusa i cosinusa, aby dać
sałata
x
=
mi
ja
x
+
mi
−
ja
x
2
i
grzech
x
=
mi
ja
x
−
mi
−
ja
x
2
ja
.
{\ Displaystyle \ cos x = {\ Frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ sin x = {\ Frac {e ^ { ix}-e^{-ix}}{2i}}.}
Przykłady Pierwszy przykład Rozważ całkę
∫
sałata
2
x
re
x
.
{\ Displaystyle \ int \ cos ^ {2} x \ dx.}
Standardowym podejściem do tej całki jest użycie wzoru półkąta w celu uproszczenia całki. Zamiast tego możemy użyć tożsamości Eulera:
∫
sałata
2
x
re
x
=
∫
(
mi
ja
x
+
mi
−
ja
x
2
)
2
re
x
=
1
4
∫
(
mi
2
ja
x
+
2
+
mi
−
2
ja
x
)
re
x
{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int \ cos ^ {2} x \ dx \ & = \ \ int \ lewo ({\ Frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}}} 2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\ prawo)dx\end{wyrównany}}}
W tym momencie możliwa byłaby zmiana z powrotem na liczby rzeczywiste za pomocą wzoru e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x
1
4
∫
(
mi
2
ja
x
+
2
+
mi
−
2
ja
x
)
re
x
=
1
4
(
mi
2
ja
x
2
ja
+
2
x
−
mi
−
2
ja
x
2
ja
)
+
do
=
1
4
(
2
x
+
grzech
2
x
)
+
do
.
{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {4}} \ int \ lewo (e ^ {2ix} +2 + e ^ {-2ix} \ prawej) dx = {\ Frac {1} { 4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&= {\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{wyrównany}}}
Drugi przykład Rozważ całkę
∫
grzech
2
x
sałata
4
x
re
x
.
{\ Displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \ dx.}
Ta całka byłaby niezwykle żmudna do rozwiązania za pomocą tożsamości trygonometrycznych, ale użycie tożsamości Eulera czyni ją stosunkowo bezbolesną:
∫
grzech
2
x
sałata
4
x
re
x
=
∫
(
mi
ja
x
−
mi
−
ja
x
2
ja
)
2
(
mi
4
ja
x
+
mi
−
4
ja
x
2
)
re
x
=
−
1
8
∫
(
mi
2
ja
x
−
2
+
mi
−
2
ja
x
)
(
mi
4
ja
x
+
mi
−
4
ja
x
)
re
x
=
−
1
8
∫
(
mi
6
ja
x
−
2
mi
4
ja
x
+
mi
2
ja
x
+
mi
−
2
ja
x
−
2
mi
−
4
ja
x
+
mi
−
6
ja
x
)
re
x
.
{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \ dx & = \ int \ lewo ({\ Frac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} }\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1} {8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt] &=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+ e^{-6ix}\right)dx.\end{wyrównany}}}
W tym momencie możemy albo całkować bezpośrednio, albo najpierw zmienić całkę na 2 cos 6 x − 4 cos 4 x + 2 cos 2 x i kontynuować od tego miejsca. Każda metoda daje
∫
grzech
2
x
sałata
4
x
re
x
=
−
1
24
grzech
6
x
+
1
8
grzech
4
x
−
1
8
grzech
2
x
+
do
.
{\ Displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \ dx = - {\ Frac {1} {24}} \ sin 6x + {\ Frac {1} {8}} \ sin 4x- {\ Frac {1}{8}}\sin 2x+C.}
Korzystanie z prawdziwych części Oprócz tożsamości Eulera pomocne może być rozsądne użycie rzeczywistych części złożonych wyrażeń. Rozważmy na przykład całkę
∫
mi
x
sałata
x
re
x
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \ dx.}
Ponieważ cos x jest rzeczywistą częścią e ix
∫
mi
x
sałata
x
re
x
=
Re
∫
mi
x
mi
ja
x
re
x
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx = \ nazwa operatora {re} \ int e ^ {x} e ^ {ix} \ dx.}
Całka po prawej jest łatwa do oszacowania:
∫
mi
x
mi
ja
x
re
x
=
∫
mi
(
1
+
ja
)
x
re
x
=
mi
(
1
+
ja
)
x
1
+
ja
+
do
.
{\ Displaystyle \ int e ^ {x} e ^ {ix} \ dx = \ int e ^ {(1 + i) x} \ dx = {\ Frac {e ^ {(1 + i) x}} {1+i}}+C.}
A zatem:
∫
mi
x
sałata
x
re
x
=
Re
(
mi
(
1
+
ja
)
x
1
+
ja
)
+
do
=
mi
x
Re
(
mi
ja
x
1
+
ja
)
+
do
=
mi
x
Re
(
mi
ja
x
(
1
−
ja
)
2
)
+
do
=
mi
x
sałata
x
+
grzech
x
2
+
do
.
{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int e ^ {x} \ cos x \ dx i = \ nazwa operatora {Re} \ lewo ({\ Frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\ [6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e ^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{wyrównany}}}
Frakcje Ogólnie technika ta może być stosowana do oceny dowolnych ułamków obejmujących funkcje trygonometryczne. Rozważmy na przykład całkę
∫
1
+
sałata
2
x
sałata
x
+
sałata
3
x
re
x
.
{\ Displaystyle \ int {\ Frac {1+ \ cos ^ {2} x} {\ cos x + \ cos 3x}} \ dx.}
Korzystając z tożsamości Eulera, ta całka staje się
1
2
∫
6
+
mi
2
ja
x
+
mi
−
2
ja
x
mi
ja
x
+
mi
−
ja
x
+
mi
3
ja
x
+
mi
−
3
ja
x
re
x
.
{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ int {\ Frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {-2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {-ix} + e ^ {3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.}
Jeśli teraz dokonamy podstawienia , wynikiem jest całka funkcji wymiernej :
ty
=
mi
ja
x
{\ Displaystyle u = e ^ {ix}}
−
ja
2
∫
1
+
6
ty
2
+
ty
4
1
+
ty
2
+
ty
4
+
ty
6
re
ty
.
{\ Displaystyle - {\ Frac {i} {2}} \ int {\ Frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}}{1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^{6}}}\,du.}
Można przystąpić do częściowego rozkładu na frakcje .
Zobacz też Bibliografia
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int \ cos ^ {2} x \ dx \ & = \ \ int \ lewo ({\ Frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}}} 2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\ prawo)dx\end{wyrównany}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
![{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {1} {4}} \ int \ lewo (e ^ {2ix} +2 + e ^ {-2ix} \ prawej) dx = {\ Frac {1} { 4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&= {\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{wyrównany}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
![{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \ dx & = \ int \ lewo ({\ Frac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} }\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1} {8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt] &=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+ e^{-6ix}\right)dx.\end{wyrównany}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
![{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int e ^ {x} \ cos x \ dx i = \ nazwa operatora {Re} \ lewo ({\ Frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\ [6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e ^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{wyrównany}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
