Ruch (geometria) - Motion (geometry)

W geometrii , A ruch jest izometria z przestrzeni metrycznej . Na przykład, płaszczyzna wyposażona w metrykę odległości euklidesowej jest przestrzenią metryczną, w której odwzorowanie kojarzące przystające figury jest ruchem. Mówiąc bardziej ogólnie, termin ruch jest synonimem surjektywnej izometrii w geometrii metrycznej, w tym geometrii eliptycznej i geometrii hiperbolicznej . W tym drugim przypadku ruchy hiperboliczne zapewniają podejście do tematu początkującym.

Ruchy można podzielić na ruchy bezpośrednie i pośrednie. Direct odpowiednie ruchy są sztywne lub wnioski, takie jak tłumaczenia i obrotów , które zapewniają dobrą orientację o chiralnej kształtu . Pośrednie lub niewłaściwe ruchy są projekty takie jak odbicia , odbicia ślizgowe i niedozwolonych obrotów które odwracają orientację o chiralności kształtu . Niektóre geometry definiują ruch w taki sposób, że tylko ruchy bezpośrednie są ruchami.

W geometrii różniczkowej

W geometrii różniczkowej , A dyfeomorfizmu nazywa się ruch jeśli wywołuje izometrię między obszarem stycznym przy kolektorze i punktu powierzchni stycznej na obraz tego punktu.

Grupa wniosków

Dany geometria, zbiór ruchów tworzy grupę pod kompozycją odwzorowań. Ta grupa ruchów jest znana ze swoich właściwości. Na przykład, euklidesowa grupa jest znany z normalnym podgrupy z tłumaczeń . W płaszczyźnie bezpośredni ruch euklidesowy jest albo translacją, albo obrotem , podczas gdy w przestrzeni każdy bezpośredni ruch euklidesowy może być wyrażony jako przemieszczenie śruby zgodnie z twierdzeniem Chaslesa . Gdy przestrzeń leżąca u jej podstaw jest rozmaitością Riemanna , grupa ruchów jest grupą Liego . Co więcej, rozmaitość ma stałą krzywiznę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów i każdej izometrii występuje ruch przechodzący z jednego punktu do drugiego, dla którego ruch wywołuje izometrię.

Idea grupy ruchów dla szczególnej teorii względności została wysunięta jako ruchy Lorentzowskie. Na przykład w American Mathematical Monthly przedstawiono podstawowe idee dotyczące płaszczyzny charakteryzującej się formą kwadratową . Ruchy przestrzeni Minkowskiego opisał Siergiej Nowikow w 2006 roku: ${\ Displaystyle \ x ^ {2}-y ^ {2} \ }$

Fizyczną zasadę stałej prędkości światła wyraża wymóg, aby przejście z jednego układu inercjalnego do drugiego determinował ruch przestrzeni Minkowskiego, czyli przekształcenie

${\ Displaystyle \ phi: R ^ {1,3} \ mapsto R ^ {1,3}}$

zachowanie interwałów czasoprzestrzennych. To znaczy że

${\ Displaystyle \ langle \ phi (x) - \ phi (y), \ \ phi (x) - \ phi (y) \ rangle \ = \ \ langle xy, \ xy \ rangle}$

dla każdej pary punktów x i y w R ^1,3 .

Historia

Wcześnie docenił rolę ruchu w geometrii Alhazen (965-1039). Jego praca „Przestrzeń i jej natura” wykorzystuje porównania wymiarów ciała ruchomego do ilościowego określenia próżni wyobrażonej przestrzeni.

W XIX wieku Felix Klein stał się zwolennikiem teorii grup jako metody klasyfikacji geometrii według ich „grup ruchów”. Zaproponował użycie grup symetrii w swoim programie Erlangen , sugestia, która została powszechnie przyjęta. Zauważył, że każda kongruencja euklidesowa jest odwzorowaniem afinicznym , a każda z nich jest transformacją projekcyjną ; dlatego grupa rzutowań zawiera grupę map afinicznych, która z kolei zawiera grupę kongruencji euklidesowych. Termin ruch , krótszy niż transformacja , kładzie większy nacisk na przymiotniki: rzutowy, afiniczny, euklidesowy. Kontekst został więc rozszerzony do tego stopnia, że ​​„w topologii dozwolone ruchy to ciągłe, odwracalne odkształcenia, które można nazwać ruchami sprężystymi”.

Nauka o kinematyce zajmuje się przekształceniem ruchu fizycznego w wyrażenie jako transformację matematyczną. Często transformację można zapisać za pomocą algebry wektorowej i mapowania liniowego. Prostym przykładem jest zwrot zapisany jako mnożenie liczb zespolonych : gdzie . Obrót w przestrzeni osiąga się poprzez korzystanie z kwaterniony i Transformacja Lorentza z czasoprzestrzeni przy użyciu biquaternions . Na początku XX wieku zbadano hiperzłożone systemy liczbowe . Później ich grupy automorficzne doprowadziły do ​​wyjątkowych grup, takich jak G2 . ${\displaystyle z\mapsto \omega z\}$${\ Displaystyle \ \ omega = \ cos \ theta + ja \ sin \ theta \ quad ja ^ {2} = -1}$

W 1890 logicy zmniejszało pierwotne pojęcia o geometrii syntetycznej do absolutnego minimum. Giuseppe Peano i Mario Pieri użyli ruchu ekspresji dla kongruencji par punktów. Alessandro Padoa w swoim raporcie na Międzynarodowy Kongres Filozoficzny w 1900 roku celebrował redukcję pojęć prymitywnych do zaledwie punktu i wniosku . To właśnie na tym kongresie Bertrand Russell został wystawiony na logikę kontynentalną za pośrednictwem Peano. W swojej książce Principles of Mathematics (1903) Russell uznał ruch za izometrię euklidesową, która zachowuje orientację .

W 1914 r. DMY Sommerville wykorzystał ideę ruchu geometrycznego, aby ustalić ideę odległości w geometrii hiperbolicznej, pisząc Elementy geometrii nieeuklidesowej . On tłumaczy:

Przez ruch lub przemieszczenie w sensie ogólnym nie rozumie się zmiany położenia pojedynczego punktu lub jakiejkolwiek ograniczonej figury, ale przemieszczenie całej przestrzeni lub, jeśli mamy do czynienia tylko z dwoma wymiarami, całej płaszczyzny. Ruch to transformacja, która zmienia każdy punkt P w inny punkt P ′ w taki sposób, że odległości i kąty pozostają niezmienione.

Aksjomaty ruchu

László Rédei podaje jako aksjomaty ruchu:

1. Każdy ruch jest odwzorowaniem jeden do jednego przestrzeni R na siebie tak, że każde trzy punkty na linii zostaną przekształcone w (trzy) punkty na linii.
2. Identyczne odwzorowanie przestrzeni R jest ruchem.
3. Iloczynem dwóch ruchów jest ruch.
4. Odwrotne odwzorowanie ruchu to ruch.
5. Jeśli mamy dwie płaszczyzny A, A' dwie proste g, g' i dwa punkty P, P' takie, że P leży na g, g na A, P' na g' i g' na A' to istnieje odwzorowanie ruchu A na A', g na g' i P na P'
6. Istnieje płaszczyzna A, prosta g i punkt P taki, że P leży na g, a g na A, to istnieją cztery ruchy odwzorowujące odpowiednio A, g i P na siebie, i nie więcej niż dwa z tych ruchów mogą mieć każdy punkt g jako punkt stały, podczas gdy jest jeden z nich (tj. tożsamość), dla którego każdy punkt A jest ustalony.
7. Istnieją trzy punkty A, B, P na linii g takie, że P jest pomiędzy A i B i dla każdego punktu C (nierównego P) pomiędzy A i B istnieje punkt D pomiędzy C i P, dla którego nie ma ruchu z P jako ustalonym można znaleźć punkt, który zmapuje C na punkt leżący między D i P.

Aksjomaty od 2 do 4 sugerują, że ruchy tworzą grupę

Aksjomat 5, że istnieje ruch, który odwzorowuje każdą linię na każdą linię

Uwagi i referencje

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis , ruch euklidesowy, str. 34, ruch prosty , str. 36, ruch przeciwny, str. 36, ruch sferyczny, str. 279, ruch hiperboliczny, str. 306, Clarendon Press , ISBN  0-19-853447-7 .
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Geometria i topologia , Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .

Linki zewnętrzne

• Ruch. IP Egorov (pomysłodawca), Encyklopedia Matematyki .
• Grupa wniosków. IP Egorov (pomysłodawca), Encyklopedia Matematyki .