Zagęszczanie (matematyka) - Compactification (mathematics)
W matematyce , w ogólnej topologii , kompaktowanie jest procesem lub wynikiem przekształcania przestrzeni topologicznej w zwartą przestrzeń . Przestrzeń kompaktowa to przestrzeń, w której każda otwarta pokrywa przestrzeni zawiera skończoną część podrzędną. Metody zagęszczania są różne, ale każda z nich jest sposobem kontrolowania punktów przed „odejściem w nieskończoność” poprzez w jakiś sposób dodawanie „punktów w nieskończoności” lub zapobieganie takiej „ucieczce”.
Przykład
Rozważ prawdziwą linię z jej zwykłą topologią. Ta przestrzeń nie jest zwarta; w pewnym sensie punkty mogą rozciągać się w nieskończoność w lewo lub w prawo. Możliwe jest przekształcenie rzeczywistej prostej w zwartą przestrzeń poprzez dodanie pojedynczego „punktu w nieskończoności”, który oznaczymy przez ∞. Wynikające z tego zagęszczenie można traktować jako okrąg (który jest zwarty jako zamknięty i ograniczony podzbiór płaszczyzny euklidesowej). Każda sekwencja, która biegła do nieskończoności w linii rzeczywistej, zbiegnie się następnie do ∞ w tym zagęszczeniu.
Intuicyjnie proces można zobrazować następująco: najpierw zmniejsz linię rzeczywistą do przedziału otwartego (- π , π) na osi x ; następnie wygnij końce tego przedziału do góry (w dodatnim kierunku y ) i przesuń je do siebie, aż pojawi się okrąg z brakującym jednym punktem (najwyższym). Ten punkt jest naszym nowym punktem - „w nieskończoności”; dodanie go zamyka zwarte koło.
Nieco bardziej formalnie: punkt na okręgu jednostkowym przedstawiamy za pomocą jego kąta , w radianach , od -π do π dla uproszczenia. Zidentyfikuj każdy taki punkt θ na okręgu z odpowiadającym mu punktem na rzeczywistej linii tan (θ / 2). Ta funkcja jest niezdefiniowana w punkcie π, ponieważ tan (π / 2) jest niezdefiniowany; utożsamiamy ten punkt z naszym punktem ∞.
Ponieważ zarówno styczne, jak i styczne odwrotne są ciągłe, naszą funkcją identyfikacji jest homeomorfizm między prostą rzeczywistą a okręgiem jednostkowym bez ∞. To, co skonstruowaliśmy, nazywa się jednopunktowym zagęszczeniem Alexandroffa linii rzeczywistej, omówione bardziej ogólnie poniżej. Możliwe jest również kompaktowanie rzeczywistej linii poprzez dodanie dwóch punktów + ∞ i -∞; skutkuje to wydłużeniem linii rzeczywistej .
Definicja
Osadzanie przestrzeni topologicznej X jako gęsty podzbiór przestrzeni zwartej nazywany jest zwarte z X . Często przydatne jest osadzanie przestrzeni topologicznych w zwartych przestrzeniach , ze względu na specjalne właściwości, jakie mają te przestrzenie kompaktowe.
Szczególnie interesujące mogą być osadzenia w zwartych przestrzeniach Hausdorffa . Ponieważ każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią Tychonowa , a każda podprzestrzeń przestrzeni Tychonowa jest Tychonowem, dochodzimy do wniosku, że każda przestrzeń posiadająca zwartość Hausdorffa musi być przestrzenią Tychonowa. W rzeczywistości odwrotna sytuacja jest również prawdą; bycie przestrzenią Tychonowa jest zarówno konieczne, jak i wystarczające do uzyskania zwartości Hausdorffa.
Fakt, że duże i interesujące klasy przestrzeni niekompaktowych w rzeczywistości mają zwartości określonego rodzaju, sprawia, że kompaktowanie jest powszechną techniką w topologii.
Alexandroff jednopunktowe zagęszczanie
Dla każdego niezagęszczonych topologicznej przestrzeni X przycisk ( Aleksandrowa ) jednopunktowym zwartym α X z X, otrzymuje się przez dodanie jednego dodatkowego punktu ∞ (często nazywany punktem w nieskończoności ), a określenie otwarte zestawy nowego miejsca, aby otwarte zespoły X razem ze zbiorami postaci G ∪ {∞}, gdzie G jest podzbiorem otwartym X takim, że X \ G jest zamknięty i zwarty. Jednopunktowe zagęszczenie X to Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy X jest Hausdorffem, niekompaktowym i lokalnie zwartym .
Zagęszczanie kamienia – Čecha
Szczególnie interesujące są zagęszczania Hausdorffa, tj. Zagęszczania, w których zwarta przestrzeń to Hausdorff . Przestrzeń topologiczna ma zwartość Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy jest to Tychonoff . W tym przypadku, nie jest wyjątkowa ( do homeomorfizmu ) „najbardziej ogólne” Hausdorff zwartym The zwartym kamienny Čech z X , oznaczony przez p X ; formalnie przedstawia to kategorię zwartych przestrzeni Hausdorffa i ciągłych map jako refleksyjną podkategorię kategorii przestrzeni Tychonowa i ciągłych map.
„Najbardziej ogólny” lub formalnie „odblaskowy” oznacza, że przestrzeń β X charakteryzuje się uniwersalną własnością polegającą na tym, że dowolna funkcja ciągła od X do zwartej przestrzeni Hausdorffa K może zostać rozszerzona do funkcji ciągłej od β X do K w wyjątkowy sposób. Bardziej szczegółowo, β X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa zawierającą X w taki sposób, że indukowana topologia na X przez β X jest taka sama, jak dana topologia na X , i dla dowolnej ciągłej mapy f : X → K , gdzie K jest zwartą przestrzenią Hausdorffa , istnieje unikalna ciągła mapa g : β X → K, dla której g ograniczone do X jest identycznie f .
Zagęszczenie Stone – Čech można skonstruować jednoznacznie następująco: niech C będzie zbiorem funkcji ciągłych od X do przedziału zamkniętego [0,1]. Następnie każdy punkt X mogą być identyfikowane za pomocą funkcji oceny na C . Zatem X można utożsamić z podzbiorem [0,1] C , przestrzenią wszystkich funkcji od C do [0,1]. Ponieważ ta ostatnia jest zwarta według twierdzenia Tychonoffa , zamknięcie X jako podzbioru tej przestrzeni również będzie zwarte. To jest zagęszczenie Stone – Čech.
Zagęszczanie czasoprzestrzenne
Walter Benz i Isaak Yaglom pokazali, jak można wykorzystać projekcję stereograficzną na hiperboloidę z pojedynczym arkuszem, aby zapewnić zagęszczenie podzielonych liczb zespolonych . W rzeczywistości hiperboloida jest częścią kwadry w prawdziwej rzutowej czteroprzestrzeni. Metoda jest podobna do stosowanej w celu zapewnienia kolektor bazowy działania grupy z grupy konforemnej czasoprzestrzeni .
Przestrzeń rzutowa
Rzeczywista przestrzeń rzutowa RP n jest zwartością przestrzeni euklidesowej R n . Dla każdego możliwego „kierunku”, w którym punkty w R n mogą „uciekać”, dodawany jest jeden nowy punkt w nieskończoności (ale każdy kierunek jest identyfikowany ze swoim przeciwnym). Jednopunktowe zagęszczenie Alexandroffa R, które skonstruowaliśmy w powyższym przykładzie, jest w rzeczywistości homeomorficzne do RP 1 . Należy jednak zauważyć, że płaszczyzna rzutowa RP 2 nie jest jednopunktowym zwartością płaszczyzny R 2, ponieważ dodaje się więcej niż jeden punkt.
Złożona przestrzeń rzutowa CP n jest również zwartością C n ; jednopunktowe zagęszczenie Alexandroffa na płaszczyźnie C jest (homeomorficzną do) złożoną linią rzutową CP 1 , którą z kolei można utożsamiać ze sferą, sferą Riemanna .
Przejście do przestrzeni rzutowej jest powszechnym narzędziem w geometrii algebraicznej, ponieważ dodatkowe punkty w nieskończoności prowadzą do prostszych formuł wielu twierdzeń. Na przykład dowolne dwie różne linie w RP 2 przecinają się dokładnie w jednym punkcie, co nie jest prawdą w R 2 . Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie Bézouta , które jest fundamentalne dla teorii przecięć , obowiązuje w przestrzeni rzutowej, ale nie afinicznej. Ta wyraźna zachowanie skrzyżowaniach w afinicznej przestrzeni i przestrzeni rzutowej znajduje odzwierciedlenie w topologii algebraicznej w pierścienie kohomologii - kohomologii z afinicznej przestrzeni jest trywialne, natomiast cohomology projekcyjnej przestrzeni jest nietrywialne i odzwierciedla najważniejsze cechy teorii przecięć (wymiar i stopień podgrupy, gdzie przecięcie jest podwójne Poincarégo do produktu kubkowego ).
Zagęszczanie przestrzeni modułowych generalnie wymaga dopuszczenia pewnych degeneracji - na przykład dopuszczenia pewnych osobliwości lub redukowalnych odmian. Jest to szczególnie wykorzystywane w zagęszczaniu Deligne-Mumforda przestrzeni modułów krzywych algebraicznych .
Zagęszczanie i dyskretne podgrupy grup Liego
W badaniu dyskretnych podgrupy grup Lie The przestrzeń iloraz z cosets często jest kandydatem do bardziej subtelnych zwartego w celu zachowania struktury na poziomie bogatsze niż tylko topologicznych.
Na przykład krzywe modułowe są zagęszczane przez dodanie pojedynczych punktów dla każdego wierzchołka , tworząc z nich powierzchnie Riemanna (a więc, ponieważ są zwartymi, krzywymi algebraicznymi ). Tutaj guzki istnieją nie bez powodu: krzywe parametryzują przestrzeń krat , które mogą się zdegenerować („odejść w nieskończoność”), często na kilka sposobów (biorąc pod uwagę pomocniczą strukturę poziomu ). Guzki zastępują te różne „kierunki do nieskończoności”.
To wszystko dla krat w samolocie. W n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej można postawić te same pytania, na przykład o SO (n) \ SL n ( R ) / SL n ( Z ). To jest trudniejsze do zagęszczenia. Istnieje wiele różnych zagęszczeń, takich jak zagęszczanie Borela-Serre'a , redukcyjne zagęszczanie Borela-Serre'a i zagęszczanie Satake'a , które można formować.
Inne teorie zagęszczania
- Teorie końca przestrzeni i końca pierwszego .
- Niektóre teorie „brzegowe”, takich jak kołnierzowania otwartego kolektora , Martin granicy , brzeg szyłowa i granicy Fürstenberg .
- Bohr zwartym z grupy topologicznej wynika z uwzględnieniem funkcji prawie okresowych .
- Linia rzutowa nad pierścieniem dla pierścienia topologicznego może go zagęścić.
- Bailly-Borel zwartym ilorazu z hermitowskiego powierzchni symetrycznej .
- Wspaniałym zwartym stanowi iloraz grup algebraicznych.
- Zwartości, które są jednocześnie podzbiorami wypukłymi w przestrzeni lokalnie wypukłej, nazywane są zwartościami wypukłymi , ich dodatkowa struktura liniowa pozwala np. Na opracowanie rachunku różniczkowego i bardziej zaawansowane rozważania, np. W relaksacji w rachunku wariacyjnym czy teorii optymalizacji.