Twierdzenie Baire'a o kategorii - Baire category theorem

Twierdzenie Baire'a o kategorii (BCT) jest ważnym wynikiem w ogólnej topologii i analizie funkcjonalnej . Twierdzenie zawiera dwie formy, z których każdy daje wystarczające warunki do topologii powierzchni do być przestrzeń baire'a (przestrzeń topologiczna taki sposób, że punkt przecięcia z przeliczalnie wielu zwartych otwartych odbiorników jeszcze gęste).

Wersje twierdzenia kategorii Baire'a zostały po raz pierwszy niezależnie udowodnione w 1897 i 1899 przez odpowiednio Osgooda i Baire'a . Twierdzenie to mówi, że każda pełna przestrzeń metryczna jest przestrzenią Baire'a .

Oświadczenie

Przestrzeń baire'a jest przestrzenią topologiczną z właściwości, że dla każdego policzalnych zbierania otwartych odbiorników gęstych ( U _n )^∞
_{n =1}, ich przecięcie jest gęste. ${\textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }U_{n}}$

• ( BCT1 ) Każda pełna przestrzeń pseudometryczna jest przestrzenią Baire'a. Zatem każda całkowicie metryzowalna przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Baire'a. Mówiąc bardziej ogólnie, każda przestrzeń topologiczna to homeomorficzny do otwartego podzbioru o całkowitym pseudometric przestrzeni jest przestrzeń baire'a.
• ( BCT2 ) Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenią Baire'a. Dowód jest podobny do poprzedniego stwierdzenia; własność skończonych przekrojów wciela się w rolę odgrywaną przez kompletności.

Żadne z tych stwierdzeń nie implikuje bezpośrednio drugiego, ponieważ istnieją zupełne przestrzenie metryczne, które nie są lokalnie zwarte ( liczby niewymierne ze zdefiniowaną poniżej metryką; także dowolna przestrzeń Banacha o nieskończonym wymiarze), oraz istnieją lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, które nie są metryzowalny (na przykład każdy niepoliczalny iloczyn nietrywialnych zwartych przestrzeni Hausdorffa jest taki; także kilka przestrzeni funkcyjnych używanych w analizie funkcjonalnej; niepoliczalna przestrzeń Forta ). Zobacz Steen i Seebach w odnośnikach poniżej.

• ( BCT3 ) Niepusta pełna przestrzeń metryczna z niepustym wnętrzem lub którykolwiek z jej podzbiorów z niepustym wnętrzem nie jest policzalną sumą zbiorów nigdzie gęstych .

Ten preparat jest odpowiednikiem BCT1 i czasami jest bardziej przydatny w zastosowaniach. Także: jeśli niepusta pełna przestrzeń metryczna jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych, to jeden z tych zbiorów ma niepuste wnętrze.

Związek z aksjomatem wyboru

Dowód BCT1 dla dowolnych pełnych przestrzeni metrycznych wymaga jakiejś formy aksjomatu wyboru ; i faktycznie BCT1 jest równoważne w stosunku ZF do aksjomatu zależnego wyboru , słabej postaci aksjomatu wyboru.

Ograniczona forma twierdzenia Baire'a o kategorii, w której zakłada się, że pełna przestrzeń metryczna jest również separowalna , jest dowodliwa w ZF bez dodatkowych zasad wyboru. Ta ograniczona forma odnosi się w szczególności do prostej rzeczywistej , przestrzeni Baire'a ω ^ω , przestrzeni Cantora 2 ^ω i oddzielnej przestrzeni Hilberta , takiej jak L ² ( ℝ ⁿ ) .

Zastosowania

BCT1 stosuje się analizę funkcjonalną udowodnić otwarty twierdzenie mapowania , w zamkniętej twierdzenie wykres i równomierne zasadę ograniczoność .

BCT1 pokazuje również, że każda pełna przestrzeń metryczna bez izolowanych punktów jest niepoliczalna . (Jeżeli X jest policzalną całkowitą przestrzenią metryczną bez punktów izolowanych, to każdy singleton { x } w X nie jest nigdzie gęsty , a więc X sam w sobie należy do pierwszej kategorii .) W szczególności dowodzi to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalne.

BCT1 pokazuje, że każde z poniższych jest przestrzenią Baire'a:

• Przestrzeń ℝ z liczb rzeczywistych
• W nieracjonalne numerów , z metryki zdefiniowane D ( x , y ) = 1/n + 1, gdzie n jest pierwszym indeksem, dla którego kontynuowane rozszerzenia ułamkowe x i y różnią się (jest to pełna przestrzeń metryczna)
• Zbiór Cantora

Według BCT2 każda skończenie wymiarowa rozmaitość Hausdorffa jest przestrzenią Baire'a, ponieważ jest lokalnie zwarta i Hausdorffa. Jest tak nawet w przypadku nie- parazwartych (stąd nonmetrizable) kolektorów, takich jak na długiej linie .

BCT służy do udowodnienia twierdzenia Hartogsa , fundamentalnego wyniku teorii kilku zmiennych zespolonych.

BCT3 służy do udowodnienia, że przestrzeń Banacha nie może mieć przeliczalnie nieskończonego wymiaru.

Dowód

Poniżej znajduje się standardowy dowód, że pełna przestrzeń pseudometryczna jest przestrzenią Baire'a. ${\displaystyle \scriptstyle X}$

Niech U _n będzie policzalnym zbiorem otwartych gęstych podzbiorów. Chcemy pokazać, że przecięcie ∩ U _n jest gęste. Podzbiór jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy przecina go każdy niepusty otwarty podzbiór. Tak więc, aby pokazać, że przecięcie jest gęste, wystarczy pokazać, że każdy niepusty zbiór otwarty W w X ma punkt x wspólny ze wszystkimi zbiorami U _n . Ponieważ U ₁ jest gęste, W przecina U ₁ ; zatem istnieje punkt x ₁ i 0 < r ₁ < 1 taki, że:

B ( x ₁ , r ₁ ) W  ∩ U ₁ 

gdzie B( x , r ) i B ( x , r ) oznaczają odpowiednio otwartą i zamkniętą kulę o środku w punkcie x o promieniu r . Ponieważ każdy U _n jest gęsty, możemy kontynuować rekursywnie, aby znaleźć parę ciągów x _n i 0 < r _n <1/n tak, że:

B ( x _n , r _n ) ⊆ B( x _{n −1} , r _{n −1} ) ∩ U _n  .

(Ten etap polega na aksjomatowi wyboru i tym, że skończona przecięcie zbiorów otwartych jest otwarty, a tym samym otwarta kulka znajduje się w środku wyśrodkowany x _n ). Ponieważ x _n ∈ B ( x _m , R _m ) , gdy n > m , mamy, że x _n to Cauchy , a zatem x _n zbiega się do pewnej granicy x przez zupełność. Dla każdego n , w closedness, x ∈ B ( x _n , R _n ) .

Dlatego też x ∈ W i x ∈ U _n dla każdego n .

Istnieje alternatywny dowód M. Bakera na dowód twierdzenia za pomocą gry Choqueta .

Zobacz też

• przestrzeń Baire
• Skromny zestaw
• Nigdzie gęsty zbiór
• Własność Baire

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Artykuł w Encyklopedii Matematyki dotyczący twierdzenia Baire'a