Funkcja Greena - Green's function

Jeśli zna się rozwiązanie równania różniczkowego zależnego od źródła punktowego, a operator różniczkowy jest liniowy, to można je nałożyć, aby znaleźć rozwiązanie dla źródła ogólnego .${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,y)=\delta (xy)}$${\textstyle {\hat {L}}(x)}$${\textstyle u(x)=\int f(y)G(x,y)\,\mathrm {d} y}$${\textstyle {\kapelusz {L}}(x)u(x)=f(x)}$

W matematyce , A Funkcja Greena jest odpowiedzią impulsową o niejednorodnym liniowego operatora różnicowej zdefiniowanej w domenie z określonych warunków początkowych lub warunków brzegowych.

Oznacza to, że jeśli L jest liniowym operatorem różniczkowym, to

• funkcja Greena G jest rozwiązaniem równania LG  =  δ , gdzie δ jest funkcją delta Diraca ;
• rozwiązanie problemu wartości początkowej Ly  =  f jest splotem  ( G  *  f ), gdzie G jest funkcją Greena.

Dzięki zasadzie superpozycji , mając dane liniowe równanie różniczkowe zwyczajne (ODE), L (rozwiązanie) = źródło, można najpierw rozwiązać L (zielony) = δ _s , dla każdego s , i zdając sobie sprawę, że ponieważ źródło jest sumą delta funkcji , rozwiązanie jest również sumą funkcji Greena, przez liniowość L .

Funkcje Greena zostały nazwane na cześć brytyjskiego matematyka George'a Greena , który jako pierwszy opracował tę koncepcję w latach dwudziestych XIX wieku. We współczesnym badaniu liniowych równań różniczkowych cząstkowych funkcje Greena są badane głównie z punktu widzenia rozwiązań fundamentalnych .

W ramach teorii wielu ciał termin ten jest również używany w fizyce , w szczególności w kwantowej teorii pola , aerodynamice , aeroakustyce , elektrodynamice , sejsmologii i statystycznej teorii pola , w odniesieniu do różnych typów funkcji korelacji , nawet tych, które nie pasują do matematycznej definicji . W kwantowej teorii pola funkcje Greena pełnią rolę propagatorów .

Definicja i zastosowania

Funkcja Greena, G ( x , s ) liniowego operatora różniczkowego działającego na rozkłady w podzbiorze przestrzeni euklidesowej , w punkcie s , jest dowolnym rozwiązaniem ${\ Displaystyle \ operatorname {L} = \ operatorname {L} (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {L} \ G (x, s) = \ delta (sx) \ ,,}$

( 1 )

gdzie δ jest funkcją delta Diraca . Tę właściwość funkcji Greena można wykorzystać do rozwiązywania równań różniczkowych postaci

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \ u (x) = f (x) ~.}$

( 2 )

Jeśli jądro z L nie jest trywialne, to funkcja Greena nie jest wyjątkowa. Jednak w praktyce pewna kombinacja symetrii , warunków brzegowych i/lub innych zewnętrznie narzuconych kryteriów da unikalną funkcję Greena. Funkcje Greena można skategoryzować według typu warunków brzegowych spełnianych przez numer funkcji Greena . Ponadto funkcje Greena w ogólności są rozkładami , niekoniecznie funkcjami zmiennej rzeczywistej.

Funkcje Greena są również użytecznymi narzędziami w rozwiązywaniu równań falowych i równań dyfuzji . W mechanice kwantowej funkcja Greena hamiltonianu jest kluczowym pojęciem mającym ważne powiązania z pojęciem gęstości stanów .

Funkcja Greena stosowana w fizyce jest zwykle definiowana za pomocą przeciwnego znaku. To jest,

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \ G (x, s) = \ delta (xs) ~.}$

Definicja ta nie zmienia istotnie żadnej z właściwości funkcji Greena ze względu na równość delty Diraca.

Jeśli operator jest niezmiennikiem translacji , to znaczy, gdy ma stałe współczynniki względem x , to funkcję Greena można przyjąć za jądro splotu , czyli ${\displaystyle \operatorname {L}}$

${\ Displaystyle G (x, s) = G (xs) ~.}$

W tym przypadku funkcja Greena jest taka sama jak odpowiedź impulsowa liniowej teorii systemów niezmienniczych w czasie .

Motywacja

Mówiąc ogólnie, jeśli taką funkcję G można znaleźć dla operatora , to jeśli pomnożymy równanie ( 1 ) dla funkcji Greena przez f ( s ) , a następnie scałkujemy względem s , otrzymamy, ${\displaystyle \operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ int \ operatorname {L} \ G (x, s) \ f (s) \ ds = \ int \ delta (xs) \ f (s) \ ds = f (x) ~ .}$

Ponieważ operator jest liniowy i działa tylko na zmienną x (a nie na zmienną całkowania s ), można go wyprowadzić poza całkowanie, otrzymując ${\ Displaystyle \ operatorname {L} = \ operatorname {L} (x)}$${\displaystyle \operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \ \ lewo (\ int G (x, s) \ f (s) \ ds \ prawo) = f (x) ~.}$

To znaczy że

${\ Displaystyle u (x) = \ int G (x, s) \ f (s) \ ds}$

( 3 )

jest rozwiązaniem równania ${\ Displaystyle \ Operatorname {L} u (x) = f (x) ~.}$

W ten sposób można uzyskać funkcję u ( x ) poprzez znajomość funkcji Greena w równaniu ( 1 ) oraz wyrazu źródłowego po prawej stronie w równaniu ( 2 ). Proces ten opiera się na liniowości operatora . ${\displaystyle \operatorname {L}}$

Innymi słowy, rozwiązanie równania ( 2 ), u ( x ) można wyznaczyć z całkowania podanego w równaniu ( 3 ). Chociaż f ( x ) jest znane, to całkowanie nie może być przeprowadzone, chyba że znane jest również G. Problem polega teraz na znalezieniu funkcji Greena G, która spełnia równanie ( 1 ). Z tego powodu funkcja Greena bywa też nazywana rozwiązaniem podstawowym związanym z operatorem . ${\displaystyle \operatorname {L}}$

Nie każdy operator przyznaje funkcję Greena. Funkcja zielonym może być również traktowane jako prawo odwrotności z . Oprócz trudności w znalezieniu funkcji Greena dla konkretnego operatora, całka w równaniu ( 3 ) może być dość trudna do oszacowania. Jednak metoda daje teoretycznie dokładny wynik. ${\displaystyle \operatorname {L}}$${\displaystyle \operatorname {L}}$

Można to traktować jako rozwinięcie f zgodnie z podstawą funkcji delta Diraca (rzutowanie f na ; i superpozycję rozwiązania na każdym rzucie . Takie równanie całkowe jest znane jako równanie całkowe Fredholma , którego badanie stanowi Fredholma teoria . ${\ Displaystyle \ delta (xs) \,}$

Funkcje Greena do rozwiązywania problemów z niejednorodnymi wartościami brzegowymi

Podstawowym zastosowaniem funkcji Greena w matematyce jest rozwiązywanie problemów z niejednorodnymi wartościami brzegowymi . We współczesnej fizyce teoretycznej funkcje Greena są również zwykle używane jako propagatory w diagramach Feynmana ; termin funkcja Greena jest często używany dla dowolnej funkcji korelacji .

Struktura

Niech będzie operatorem Sturma-Liouville'a , liniowym operatorem różniczkowym postaci ${\displaystyle \operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {L} = {\ dfrac {d} {dx}} \ lewo [p (x) {\ dfrac {d} {dx}} \ prawej] + q (x)}$

i niech będzie wektorowym operatorem warunków brzegowych${\displaystyle {\vec {\operator {D}}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \ u = {\ zacząć {bmatrix} \ alfa _ {1} u' (0) + \ beta _ {1} u (0) \ \ \ alfa _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}~.}$

Niech będzie funkcją ciągłą w Dalej załóżmy, że problem ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [0,\ell]~.}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ nazwa operatora {L} \ u& = f \ \ {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \ u& = {\ vec {0}} \ koniec {wyrównane}}}$

jest „regularny”, tzn. jedynym rozwiązaniem dla wszystkich x jest . ${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle u (x) = 0}$

Twierdzenie

Jest jedno i tylko jedno rozwiązanie, które satysfakcjonuje ${\ Displaystyle u (x)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ nazwa operatora {L} \ u& = f \ \ {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \ u& = {\ vec {0}} \ koniec {wyrównane}}}$

i jest to podane przez

${\ Displaystyle u (x) = \ int _ {0} ^ {\ ell} f (s) \ G (x, s) \ ds ~,}$

gdzie jest funkcją Greena spełniającą następujące warunki: ${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$jest ciągła w i .${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$
2. Dla , .${\displaystyle x\neq s~}$${\ Displaystyle \ quad \ Operatorname {L} \ G (x, s) = 0 ~}$
3. Dla , .${\displaystyle s\neq 0~}$${\ Displaystyle \ quad {\ vec {\ nazwa operatora {D}}} \, G (x, s) = {\ vec {0}} ~}$
4. Pochodna „skok”: .${\ Displaystyle \ quad G '(s_ {0+} s) -G '(s_ {0-} s) = 1 / p (s) ~}$
5. Symetria: .${\ Displaystyle \ quad G (x, s) = G (s, x) ~}$

Zaawansowane i opóźnione funkcje Greena

Czasami funkcję Greena można podzielić na sumę dwóch funkcji. Jeden ze zmienną dodatnią (+), a drugi ze zmienną ujemną (-). Są to zaawansowane i opóźnione funkcje Greena, a gdy badane równanie zależy od czasu, jedna z części jest przyczynowa, a druga anty-przyczynowa. W tych problemach zwykle najważniejsza jest część przyczynowa. Są to często rozwiązania równania niejednorodnej fali elektromagnetycznej .

Znajdowanie funkcji Greena

Jednostki

Chociaż nie ustala to jednoznacznie formy, jaką przybierze funkcja Greena, wykonanie analizy wymiarowej w celu znalezienia jednostek, jakie musi mieć funkcja Greena, jest ważnym sprawdzeniem poczytalności każdej funkcji Greena znalezionej innymi sposobami. Szybkie sprawdzenie równania definiującego,

${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs)}$

pokazuje, że jednostki o zależą nie tylko od jednostek, ale także od liczby i jednostek przestrzeni, której wektory położenia i są elementami. Prowadzi to do związku: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle [[G]] = [[L]] ^ {-1} [[\ operatorname {d} x]] ^ {-1}}$

gdzie jest zdefiniowane jako „fizyczne jednostki ” i jest elementem objętości przestrzeni (lub czasoprzestrzeni ). ${\ Displaystyle [[G]]}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {d} x}$

Na przykład, jeśli i czas jest jedyną zmienną to: ${\ Displaystyle L = \ częściowy _ {t} ^ {2}}$

${\ Displaystyle [[L]] = [[\ operatorname {czas}]] ^ {-2}}$

${\ Displaystyle [[\ operatorname {d} x]] = [[\ operatorname {czas}]], \ \ operatorname {i}}$

${\displaystyle [[G]]=[[\mathrm {czas}]].}$

Jeśli , operator d'Alemberta i przestrzeń ma 3 wymiary, to: ${\ Displaystyle L = \ kwadrat = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowy _ {t} ^ {2} - \ nabla ^ {2}}$

${\ Displaystyle [[L]] = [[\ operatorname {długość}]] ^ {-2}}$

${\displaystyle [[\mathrm {d} x]]=[[\mathrm {czas} ]][[\mathrm {długość}]]^{3},\ \ operatorname {i}}$

${\ Displaystyle [[G]] = [[\ operatorname {czas}]] ^ {-1} [[\ operatorname {długość}]] ^ {-1}.}$

Rozszerzenia wartości własnej

Jeśli operator różniczkowy L dopuszcza zbiór wektorów własnych Ψ _n ( x ) (tj. zbiór funkcji Ψ _n i skalarów λ _n taki, że L Ψ _n = λ _n Ψ _n ), który jest zupełny, to można skonstruować Funkcja Greena z tych wektorów własnych i wartości własnych .

„Zupełny” oznacza, że ​​zbiór funkcji {Ψ _n } spełnia następującą relację zupełności ,

${\ Displaystyle \ delta (x-x ') = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {\ sztylet} (x) \ psi _ {n} (x'). }$

Następnie następujące trzyma,

gdzie reprezentuje złożoną koniugację. ${\ Displaystyle \ sztylet}$

Zastosowanie operatora L do każdej strony tego równania daje w wyniku założoną zależność zupełności.

Ogólne studium funkcji Greena zapisanej w powyższej formie i jej związku z przestrzeniami funkcyjnymi utworzonymi przez wektory własne jest znane jako teoria Fredholma .

Istnieje kilka innych metod znajdowania funkcji Greena, w tym metoda obrazów , separacja zmiennych i przekształcenia Laplace'a .

Łączenie funkcji Greena

Jeśli operator różniczkowy można rozłożyć na czynniki, to funkcję Greena o można skonstruować z funkcji Greena dla i : ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\ Displaystyle G (x, s) = \ int G_ {2} (x s_ {1}) \ G_ {1} (s_ {1} s) \ \ operatorname {d} s_ {1}. }$

Powyższa identyczność wynika bezpośrednio z przyjęcia za reprezentację prawego operatora odwrotnego do , analogicznie do tego, jak odwracalny operator liniowy , zdefiniowany przez , jest reprezentowany przez jego elementy macierzowe . ${\displaystyle G(x,s)}$${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C = (AB) ^ {-1} = B ^ {-1} A ^ {-1}}$${\displaystyle C_{i,j}}$

Dalsza identyczność następuje dla operatorów różniczkowych, które są wielomianami skalarnymi pochodnej, . Podstawowym twierdzenie Algebra , w połączeniu z faktem, że dojazdy ze sobą , zapewnia, że wielomian mogą zostać uwzględnione, umieszczenie w postaci: ${\ Displaystyle L = P_ {N} (\ częściowy _ {x})}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {x}}$ ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ prod _ {i = 1} ^ {N} (\ częściowy _ {x}-z_ {i}),}$

gdzie są zera . Biorąc transformatę Fouriera w odniesieniu do obu i daje: ${\displaystyle z_{i}}$${\ Displaystyle P_ {N} (z)}$${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (k_ {x}, k_ {s}) = {\ Frac {\ delta (k_ {x}-k_ {s})} {\ prod _ {i = 1} ^ {N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$

Ułamek można następnie podzielić na sumę za pomocą częściowego rozkładu ułamków przed transformacją Fouriera z powrotem do przestrzeni i przestrzeni. Proces ten daje tożsamości, które wiążą całki funkcji Greena i ich sumy. Na przykład, jeśli jedna forma funkcji Greena to: ${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\ Displaystyle L = (\ częściowy _ {x} + \ gamma) (\ częściowy _ {x} + \ alfa) ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} G (x, s) i = {\ Frac {1} {(\ alfa - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ gamma (xs )}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (xs)e^{-\alpha (xs)}+{\frac {1}{\gamma -\ alpha }}\Theta (xs)\,(xs)e^{-\alpha (xs)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1}) e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,\mathrm {d} s_{1 }.\end{wyrównany}}}$

Chociaż przedstawiony przykład jest wykonalny analitycznie, ilustruje proces, który działa, gdy całka nie jest trywialna (na przykład, gdy jest operatorem w wielomianu). ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Tabela funkcji Greena

Poniższa tabela zawiera przegląd funkcji Greena często występujących operatorów różniczkowych, gdzie , , jest funkcją skokową Heaviside'a , jest funkcją Bessela , jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju i jest zmodyfikowaną funkcją Bessela drugiego rodzaju . Tam, gdzie czas ( t ) pojawia się w pierwszej kolumnie, wymieniona jest zaawansowana (przyczynowa) funkcja Greena. ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\textstyle \Theta (t)}$${\textstyle J_{\nu }(z)}$${\textstyle I_{\nu }(z)}$${\textstyle K_{\nu }(z)}$

Operator różnicowy L	Funkcja Greena G	Przykład zastosowania
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {n + 1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {t ^ {n}} {n!}} \ Theta (t)}$
${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} + \ gamma}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ operatorname {e} ^ {-\ gamma t}}$
${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowy _ {t} + \ gamma \ prawo) ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) t \ operatorname {e} ^ {-\ gamma t}}$
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma <\ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ operatorname {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ Frac {\ sin (\ omega t)} {\ omega}}}$   z   ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$	Oscylator harmoniczny z niedotłumieniem 1D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma > \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ operatorname {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ Frac {\ sinh (\ omega t)} {\ omega}}}$   z   ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}$	Przetłumiony oscylator harmoniczny 1D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ gamma = \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ operatorname {e} ^ {-\ gamma t} t}$	Krytycznie tłumiony oscylator harmoniczny 1D
Operator Laplace'a 2D ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2} = \ częściowy _ {x} ^ {2} + \ częściowy _ {y} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ rho}$   z   ${\ Displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2}}}}$	Równanie Poissona 2D
Operator 3D Laplacea ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2} = \ częściowy _ {x} ^ {2} + \ częściowy _ {y} ^ {2} + \ częściowy _ {z} ^ {2} }$	${\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}}$   z   ${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2}}}}$	Równanie Poissona
Operator Helmholtza ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2} + k ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {- \ operatorname {e} ^ {-ikr}} {4 \ pi r}} = ja {\ sqrt {\ Frac {k} {32 \ pi r}}}}$${\ Displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)}$${\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi}}\,}$${\ Displaystyle h_ {0}^ {(2)} (kr)}$	stacjonarne równanie Schrödingera 3D dla cząstki swobodnej
${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}-k ^ {2}}$w wymiarach${\ Displaystyle n}$	${\ Displaystyle - (2 \ pi) ^ {-n/2} \ lewo ({\ Frac {k} {r}} \ po prawej) ^ {n/2-1} K_ {n/2-1} (kr )}$	Potencjał Yukawy , propagator Feynman
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2}-c ^ {2} \ częściowy _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2c}} \ Theta (t-| x / c |)}$	Równanie falowe 1D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2}-c ^ {2} \ \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi c {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}} \ Theta (t - \ rho / c)}$	Równanie falowe 2D
Operator d'Alembert ${\ Displaystyle \ kwadrat = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowy _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta (t-{\ Frac {r} {c}}) {4 \ pi r}}}$	Równanie fali 3D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t}-k \ częściowy _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) ^ {1/2} \ operatorname {e} ^ {-x ^ {2}/4 kt}}$	Dyfuzja 1D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t}-k \, \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) \ operatorname {e} ^ {- \ rho ^ {2}/4 kt}}$	Dyfuzja 2D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t}-k \ \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ lewo ({\ Frac {1} {4 \ pi kt}} \ prawej) ^ {3/2} \ operatorname {e} ^ {-r ^ {2}/4 kt}}$	Dyfuzja 3D
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowy _ {t} ^ {2} - \ częściowy _ {x} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo [\ lewo (1-\ sin {\ mu ct} \ prawo) (\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x)) + \ mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2}-x ^ {2}}}}$	1D równanie Kleina-Gordona
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ częściowy _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [(1 + \ cos (\ mu ct)) {\ Frac {\ delta (ct- \ rho)} {\ rho}} + \ mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	Równanie Kleina-Gordona 2D
${\ Displaystyle \ kwadrat + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [{\ Frac {\ delta \ lewo (t-{\ Frac {r} {c}} \ po prawej)} {r}} + \ mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2}-r ^ {2}}}}$	Równanie Kleina-Gordona 3D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t}-c ^ {2} \ częściowy _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} e ^ {- \ gamma t} \ lewo [\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x) + \ Theta (ct- | x |) \ lewo({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\lewo({\frac {\gamma u}{c}}\prawo)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\lewo({\frac {\gamma u}{c}}\prawo)\prawo)\prawo]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2}-x ^ {2}}}}$	równanie telegrafisty
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t}-c ^ {2} \ \ nabla _ {\ tekst {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {- \ gamma t}} {4 \ pi}} \ lewo [(1 + e ^ {- \ gamma t} + 3 \ gamma t) {\ Frac {\ delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \ po lewej({\frac {\gamma u}{c}}\po prawej)}{u^{3}}}\po prawej)\po prawej]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	Relatywistyczne przewodzenie ciepła 2D
${\ Displaystyle \ częściowy _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ częściowy _ {t}-c ^ {2} \ \ nabla _ {\ tekst {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {- \ gamma t}} {20 \ pi}} \ lewo [\ lewo (8-3e ^ {- \ gamma t} + 2 \ gamma t + 4 \ gamma ^ {2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\lewo({\frac {\gamma u}{c}}\prawo)\prawo)\prawo]}$   z   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2}-r ^ {2}}}}$	Relatywistyczne przewodzenie ciepła 3D

Funkcje Greena dla Laplace'a

Funkcje Greena dla liniowych operatorów różniczkowych z udziałem Laplace'a mogą być łatwo użyte przy użyciu drugiej z tożsamości Greena .

Aby wyprowadzić twierdzenie Greena, zacznij od twierdzenia o rozbieżności (inaczej znanego jako twierdzenie Gaussa ),

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ dV = \ int _ {S} {\ vec {A}} \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} ~.}$

Niech i podstaw do prawa Gaussa. ${\ Displaystyle {\ vec {A}} = \ varphi \ \ nabla \ psi - \ psi \ \ nabla \ varphi}$

Oblicz i zastosuj regułę iloczynu dla operatora ∇, ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} i = \ nabla \ cdot (\ varphi \, \ nabla \ psi \; - \; \ psi \ \ nabla \ varphi) \ \&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\ varphi .\end{wyrównany}}}$

Wstawienie tego do twierdzenia o dywergencji daje twierdzenie Greena ,

${\ Displaystyle \ int _ {V} (\ varphi \ \ nabla ^ {2} \ psi - \ psi \ \ nabla ^ {2} \ varphi) \ dV = \ int _ {S} (\ varphi \ ,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi )\cdot d{\widehat {\sigma}}.}$

Załóżmy, że liniowy operator różniczkowy L jest Laplace'em , ∇² i że istnieje funkcja Greena G dla Laplace'a. Właściwość definiująca funkcję Greena nadal obowiązuje,

${\ Displaystyle LG (x, x ') = \ nabla ^ {2} G (x, x ') = \ delta (x-x').}$

Wpuśćmy drugą tożsamość Greena , zobacz tożsamości Greena . Następnie, ${\ Displaystyle \ psi = G}$

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ lewo [\ varphi (x ') \ delta (x-x ') -G (x, x ') \ {\ nabla '} ^ {2} \ \ varphi ( x')\right]\ d^{3}x'=\int _{S}\left[\varphi (x')\,{\nabla '}G(x,x')-G(x,x ')\,{\nabla '}\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'.}$

Używając tego wyrażenia, można rozwiązać równanie Laplace'a ∇ ² φ ( x ) = 0 lub równanie Poissona ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ), z zastrzeżeniem warunków brzegowych Neumanna lub Dirichleta . Innymi słowy, możemy znaleźć φ ( x ) wszędzie wewnątrz objętości, gdzie (1) wartość φ ( x ) jest określona na powierzchni granicznej objętości (warunki brzegowe Dirichleta) lub (2) pochodna normalna od cp ( X ) jest określona na powierzchni ograniczającej (Neumann i warunki brzegowe).

Załóżmy, że problem polega na rozwiązaniu φ ( x ) wewnątrz regionu. Wtedy całka

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ varphi (x ') \ delta (x-x ') \ d ^ {3}x'}$

redukuje się po prostu do φ ( x ) ze względu na właściwość definiującą funkcji delta Diraca i mamy

${\ Displaystyle \ varphi (x) = - \ int _ {V} G (x, x ') \ rho (x ') \ d ^ {3} x' + \ int _ {S} \ lewo [\ varphi ( x')\,\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\,\nabla '\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'. }$

Forma ta wyraża dobrze znaną właściwość funkcji harmonicznych , że jeśli wartość lub pochodna normalna jest znana na powierzchni ograniczającej, to wartość funkcji wewnątrz objętości jest znana wszędzie .

W elektrostatycznej , φ ( x ) jest interpretowany jako potencjał elektryczny , p ( x ) jako ładunek elektryczny gęstości , a normalną pochodnej jako składowej normalnej pola elektrycznego. ${\ Displaystyle \ nabla \ varphi (x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '}$

Jeśli problemem jest rozwiązanie problemu z wartością brzegową Dirichleta, funkcja Greena powinna być tak dobrana, że G ( x , x ′) znika, gdy x lub x ′ znajduje się na powierzchni ograniczającej. W ten sposób pozostaje tylko jeden z dwóch składników całki powierzchniowej . Jeśli problemem jest rozwiązanie problemu wartości brzegowej Neumanna, funkcja Greena jest wybierana tak, że jej pochodna normalna znika na powierzchni granicznej, ponieważ wydaje się to być najbardziej logicznym wyborem. (Patrz Elektrodynamika klasyczna Jacksona JD, str. 39). Jednak zastosowanie twierdzenia Gaussa do równania różniczkowego definiującego funkcję Greena daje:

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ nabla 'G (x, x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '= \ int _ {V} \ nabla '^ {2} G (x, x ')d^{3}x'=\int _{V}\delta (x-x')d^{3}x'=1~,}$

co oznacza, że ​​pochodna normalna G ( x , x ′) nie może zniknąć na powierzchni, ponieważ musi całkować do 1 na powierzchni. (Ponownie, patrz Elektrodynamika klasyczna Jacksona JD, strona 39 dla tego i następnego argumentu).

Najprostszą postacią, jaką może przyjąć pochodna normalna, jest stała, a mianowicie 1/ S , gdzie S jest polem powierzchni. Termin powierzchniowy w rozwiązaniu staje się

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ varphi (x ') \ \ nabla 'G (x, x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '= \ langle \ varphi \ rangle _ {S} }$

gdzie jest średnia wartość potencjału na powierzchni. Liczba ta nie jest ogólnie znana, ale często jest nieistotna, ponieważ celem jest często uzyskanie pola elektrycznego danego gradientem potencjału, a nie samego potencjału. ${\ Displaystyle \ langle \ varphi \ rangle _ {S}}$

Bez warunków brzegowych, funkcja Greena dla Laplace'a ( funkcja Greena dla równania Laplace'a z trzema zmiennymi ) jest

${\ Displaystyle G (x, x ') = - {\ dfrac {1} {4 \ pi | x-x '|}}.}$

Zakładając, że powierzchnia graniczna wychodzi do nieskończoności i podłączając to wyrażenie dla funkcji Greena w końcu otrzymujemy standardowe wyrażenie na potencjał elektryczny w postaci gęstości ładunku elektrycznego jako

Przykład

Znajdź funkcję Greena dla następującego problemu, którego numer funkcji Greena to X11:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} Lu i = u ''+ k ^ {2} u = f (x) \ \ u (0) i = 0 \ quad u \ lewo ({\ tfrac {\ pi} 2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$

Pierwszy krok: funkcja Greena dla operatora liniowego jest zdefiniowana jako rozwiązanie

${\ Displaystyle G ''(x, s) + k ^ {2} G (x, s) = \ delta (xs).}$

(Równanie * )

Jeśli , to funkcja delta daje zero, a ogólnym rozwiązaniem jest ${\displaystyle x\neq s}$

${\ Displaystyle G (x, s) = c_ {1} \ cos kx + c_ {2} \ sin kx.}$

Dla warunku brzegowego w implikuje ${\displaystyle x<s}$${\displaystyle x=0}$

${\ Displaystyle G (0, s) = c_ {1} \ cdot 1 + c_ {2} \ cdot 0 = 0 \ quad c_ {1} = 0}$

jeśli i . ${\displaystyle x<s}$${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi}{2k}}}$

Dla warunku brzegowego w implikuje ${\displaystyle x>s}$${\ Displaystyle x = {\ tfrac {\ pi }{2k}}}$

${\ Displaystyle G \ lewo ({\ tfrac {\ pi {2 k}} s \ po prawej) = c_ {3} \ cdot 0 + c_ {4} \ cdot 1 = 0 \ quad c_ {4} = 0 }$

Równanie z jest pomijane z podobnych powodów. ${\ Displaystyle G (0, s) = 0}$

Podsumowując dotychczasowe wyniki:

${\ Displaystyle G (x, s) = {\ zacząć {przypadki} c_ {2} \ sin kx i {\ tekst {dla}} x < s \ \ c_ {3} \ cos kx {\ tekst {dla }}s<x.\end{przypadki}}}$

Drugi krok: Kolejnym zadaniem jest określenie i . ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

Zapewnienie ciągłości funkcji Zielonych w implikacjach ${\displaystyle x=s}$

${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$

Właściwą nieciągłość w pierwszej pochodnej można zapewnić całkując definiujące równanie różniczkowe (tzn . równanie * ) od do i przyjmując granicę jako zerową. Zauważ, że integrujemy tylko drugą pochodną, ​​ponieważ pozostały wyraz będzie ciągły przez konstrukcję. ${\displaystyle x=s-\varepsilon}$${\displaystyle x=s+\varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon}$

${\ Displaystyle c_ {3} \ cdot (-k \ sin ks) - c_ {2} \ cdot (k \ cos ks) = 1}$

Można rozwiązać dwa równania (nie)ciągłości i uzyskać ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$

Tak więc funkcja Greena dla tego problemu to:

${\ Displaystyle G (x, s) = {\ zacząć {przypadki} - {\ Frac {\ cos ks} {k}} \ sin kx, & x < s \ \- {\ Frac {\ sin ks} {k }}\cos kx,&s<x.\end{przypadki}}}$

Dalsze przykłady

• Niech n = 1 i niech podzbiór będzie cały R . Niech L będzie . Wtedy funkcja skokowa Heaviside'a H ( x − x ₀ ) jest funkcją L Greena przy x ₀ .${\ Displaystyle \ operatorname {d} /\ operatorname {d} x}$
• Niech n = 2 i niech podzbiór będzie ćwiartką płaszczyzny {( x , y ): x , y ≥ 0} , a L będzie Laplace'em . Załóżmy również, że warunek brzegowy Dirichleta jest nałożony na x = 0 i warunek brzegowy Neumanna na y = 0 . Następnie funkcja X10Y20 Green jest

  ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} G (x, y, x_ {0}, y_ {0}) = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} i \ lewo [\ ln {\ sqrt {(x -x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{ 0})^{2}}}\prawo.\\[5pt]&\lewo.{}+\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0} )^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\,\right].\end{ wyrównany}}}$

• Niech , a wszystkie trzy są elementami liczb rzeczywistych. Wtedy dla dowolnej funkcji od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych , z -tą pochodną całkowalną na przedziale :${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle [a,b]}$
  $${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f (x) i = \ suma _ {m = 0} ^ {n-1} {\ Frac {(xa) ^ {m}} {m!}} \ lewo [{ \frac {\mathrm {d} ^{m}f}{\mathrm {d} x^{m}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[ {\frac {(xs)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (xs)\right]\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{ \mathrm {d} x^{n}}}\right]_{x=s}\mathrm {d} s\end{wyrównany}}~.}$$

  
  Funkcja Greena w powyższym równaniu, , nie jest wyjątkowa. W jaki sposób modyfikowane jest równanie, jeśli zostanie dodane do , gdzie spełnia wszystkie wymagania (na przykład z )? Porównaj także powyższe równanie z postacią szeregu Taylora wyśrodkowanego na .${\ Displaystyle G (x, s) = {\ Frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs)}$${\displaystyle g(xs)}$${\displaystyle G(x,s)}$${\displaystyle g(x)}$${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}g}{\mathrm {d} x^{n}}}=0}$${\displaystyle x\in [a,b]}$${\ Displaystyle g (x) = -x/2}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x=a}$

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Zielona funkcja” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Funkcja Greena” . MatematykaŚwiat .
• Funkcja Greena dla operatora różnicowego w PlanetMath .
• Funkcja Greena w PlanetMath .
• Zielone funkcje i mapowanie konforemne w PlanetMath .
• Wprowadzenie do Techniki Funkcji Zielonego Nierównowagi Keldysha autorstwa AP Jauho
• Biblioteka funkcji Greena
• Samouczek dotyczący funkcji Greena
• Metoda elementów brzegowych (dla pewnego pomysłu na to, jak funkcje Greena mogą być używane z metodą elementów brzegowych do numerycznego rozwiązywania potencjalnych problemów)
• Na Obywatelstwie
• Wykład wideo MIT na temat funkcji Greena
• Bowley, Roger. „Funkcje George'a Greena i Greena” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran dla Uniwersytetu w Nottingham .