Prawo myśli - Law of thought

Te prawa myślenia są podstawowymi aksjomatyczne zasady, na których racjonalny dyskurs sama jest często uważane opierać. Formułowanie i wyjaśnianie takich reguł ma długą tradycję w historii filozofii i logiki . Generalnie są one traktowane jako prawa, które kierują i leżą u podstaw każdego myślenia, myśli , wyrażeń, dyskusji itp. Jednak takie klasyczne idee są często kwestionowane lub odrzucane w nowszych opracowaniach, takich jak logika intuicjonistyczna , dialeizm i logika rozmyta .

Zgodnie z Cambridge Dictionary of Philosophy z 1999 r. , prawa myślenia to prawa, według których lub zgodnie z którymi postępuje ważna myśl, lub które uzasadniają prawidłowe wnioskowanie, lub do których można sprowadzić wszystkie ważne dedukcje. Prawa myśli to reguły, które stosuje się bez wyjątku do każdego przedmiotu myśli itp.; czasami mówi się, że są przedmiotem logiki. Termin ten, rzadko używany dokładnie w tym samym znaczeniu przez różnych autorów, od dawna kojarzony jest z trzema równie niejednoznacznymi wyrażeniami: prawem tożsamości (ID), prawem sprzeczności (lub niesprzeczności; NC) i prawem wykluczenia środkowy (EM). Zdarza się, że te trzy wyrażenia są traktowane jako propozycje od formalnej ontologii o jak najszersze przedmiot propozycji, które mają zastosowanie do jednostek, takich jak: (ID), wszystko jest (czyli jest identyczny) sama; (NC) żadna rzecz mająca daną jakość nie ma również negatywu tej jakości (np. żadna parzysta liczba nie jest nieparzysta); (EM) każda rzecz albo ma daną cechę, albo ma negatyw tej cechy (np. każda liczba jest parzysta lub nieparzysta). Równie powszechne w starszych pracach jest użycie tych wyrażeń dla zasad metalogicznych dotyczących zdań: (ID) każde zdanie implikuje samo; (NC) żadne zdanie nie jest jednocześnie prawdziwe i fałszywe; (EM) każde twierdzenie jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

Od połowy do końca XIX wieku wyrażenia te były używane do oznaczania twierdzeń algebry Boole'a o klasach: (ID) każda klasa zawiera siebie; (NC) każda klasa jest taka, że ​​jej przecięcie („produkt”) z własnym uzupełnieniem jest klasą zerową; (EM) każda klasa jest taka, że ​​jej związek („suma”) z własnym uzupełnieniem jest klasą uniwersalną. Ostatnio dwa ostatnie z tych trzech wyrażeń zostały użyte w połączeniu z klasyczną logiką zdań iz tak zwaną logiką prototetyczną lub kwantyfikowaną logiką zdań ; w obu przypadkach prawo niesprzeczności obejmuje negację koniunkcji („i”) czegoś z jego własną negacją ¬(A∧¬A), a prawo wyłączonego środka obejmuje alternatywę („lub”) coś z własną negacją, A∨¬A. W przypadku logiki zdaniowej „coś” jest schematyczną literą pełniącą rolę zastępnika, podczas gdy w przypadku logiki prototetycznej „coś” jest prawdziwą zmienną. Wyrażenia „prawo niesprzeczności” i „prawo wyłączonego środka” są również używane w odniesieniu do zasad semantycznych teorii modeli dotyczących zdań i interpretacji: (NC) bez interpretacji jest dane zdanie zarówno prawdziwe, jak i fałszywe, (EM) pod dowolnym interpretacji, dane zdanie jest prawdziwe lub fałszywe.

Wyżej wymienione wyrażenia zostały użyte na wiele innych sposobów. Wiele innych twierdzeń zostało również wspomnianych jako prawa myślenia, w tym dictum de omni et nullo przypisywane Arystotelesowi , substytucyjność identycznych (lub równych) przypisywana Euklidesowi , tak zwana tożsamość nieodróżnialnych przypisywana Gottfriedowi Wilhelmowi Leibnizowi i inne. „prawdy logiczne”.

Wyrażenie „prawa myśli” zyskało na znaczeniu dzięki użyciu go przez Boole'a (1815-64) do oznaczenia twierdzeń jego „algebry logiki”; w rzeczywistości swoją drugą książkę logiczną nazwał Badaniem praw myśli, na których opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa (1854). Współcześni logicy, niemal jednogłośnie nie zgadzając się z Boole'em, uważają to wyrażenie za mylące; żadne z powyższych twierdzeń zaklasyfikowanych jako „prawa myślenia” nie dotyczy wprost myśli per se, zjawiska psychicznego badanego przez psychologię , ani nie zawiera wyraźnego odniesienia do myśliciela lub znawcy, jak miałoby to miejsce w pragmatyce lub w epistemologii . Rozróżnienie między psychologią (jako badanie zjawisk psychicznych) a logiką (jako badaniem prawomocnego wnioskowania) jest powszechnie akceptowane.

Trzy tradycyjne prawa

Historia

Hamilton oferuje historię trzech tradycyjnych przepisów, które rozpoczyna się z Platonem , przechodzi przez Arystotelesa, a kończy schoolmen tych średniowieczu ; dodatkowo oferuje czwarte prawo (patrz wpis poniżej, pod Hamilton ):

" Zasady sprzeczności i wyłączonego środka można prześledzić wstecz do Platona : Zasady sprzeczności i wyłączonego środka może być zarówno sięgają do Platona, przez kogo zostały one wypowiadane i często stosowane, choć nie było aż długo po tym, że albo z nich uzyskały charakterystyczną nazwę. Najpierw weźmy zasadę sprzeczności. Prawo to często stosuje Platon, ale najbardziej niezwykłe fragmenty można znaleźć w Phoedo, w Sophiście oraz w czwartej i siódmej księdze Republiki. [Hamilton LECT V. LOGIKA 62]

Prawo wykluczenia środka : prawo wykluczenia środka między dwiema sprzecznościami powraca, jak już powiedziałem, także do Platona, chociaż Drugi Alcybiades, dialog, w którym jest on najdobitniej wyrażony, musi być uznany za fałszywy. Znajduje się również we fragmentach Pseudo-Archytas, które można znaleźć w Stobæus . [Hamilton WYKŁAD. V. LOGIKA. 65]

Hamilton dalej zauważa, że ​​„Jest to wyraźnie i dobitnie wyrażone przez Arystotelesa w wielu fragmentach zarówno jego Metafizyki (l. III. (iv.) c.7), jak i jego Analityki, zarówno przed (lic 2), jak i po niej (1. ic 4) W pierwszym z nich mówi: „Niemożliwe jest, aby istniało jakiekolwiek medium między sprzecznymi przeciwieństwami, ale konieczne jest albo potwierdzać, albo zaprzeczyć wszystkiemu wszystkiemu” [Hamilton LEKT V. LOGIKA. 65]

" Prawo Tożsamości. [Hamilton nazywa to również "Zasadą wszelkiego logicznego afirmacji i definicji"] Antonius Andreas : Prawo Tożsamości, jak stwierdziłem, nie było wyjaśniane jako zasada koordynacyjna aż do stosunkowo niedawnego okresu. Najwcześniejszy autor, w którym Przekonałem się, że tak się stało, to Antonius Andreas , uczony Szkota, który rozkwitał na przełomie XIII i XIV w. Uczeń w czwartej księdze swojego Komentarza do Metafizyki Arystotelesa – komentarza, który jest pełen najbardziej pomysłowych i oryginalnych poglądów – nie tylko zapewnia prawu Tożsamości skoordynowaną godność z prawem Sprzeczności, ale wbrew Arystotelesowi utrzymuje, że zasada Tożsamości, a nie zasada Sprzeczności, jest absolutnie pierwsza Formuła, w której wyraził to Andreas, to Ens est ens . W ślad za tym autorem pytanie o względny priorytet dwóch praw tożsamości i sprzeczności stało się jednym znacznie w szkołach; chociaż znaleźli się też tacy, którzy zgodnie z prawem Wykluczonego Środka twierdzili, że ma najwyższą rangę.” [Z Hamilton LECT. V. LOGIC. 65-66]

Trzy tradycyjne prawa: tożsamość, niesprzeczność, wykluczony środek

Poniżej przedstawimy trzy tradycyjne „prawa” w słowach Bertranda Russella (1912):

Prawo tożsamości

Prawo tożsamości : „Cokolwiek to jest.”

Dla wszystkich a: a = a.

W związku z tym prawem Arystoteles napisał:

Najpierw więc przynajmniej jest to oczywiście prawdą, że słowo "być" lub "nie być" ma określone znaczenie, tak że nie wszystko będzie "tak a nie tak". I znowu, jeśli „człowiek” ma jedno znaczenie, niech będzie to „zwierzę dwunożne”; mając jedno znaczenie, rozumiem to: — jeśli „człowiek” oznacza „X”, to jeśli A jest mężczyzną, „X” będzie tym, co „bycie mężczyzną” oznacza dla niego. (Nie ma znaczenia nawet, jeśli ktoś powie, że słowo ma kilka znaczeń, jeśli tylko są one ograniczone w liczbie; ponieważ do każdej definicji można przypisać inne słowo. Na przykład możemy powiedzieć, że „człowiek” nie ma jednego oznacza to tylko kilka, z których jedna miałaby jedną definicję, mianowicie „zwierzę dwunożne”, podczas gdy mogłoby istnieć również kilka innych definicji, gdyby tylko ich liczba była ograniczona, gdyż każdej z definicji można by przypisać osobną nazwę. Gdyby jednak nie ograniczali się, ale mieliby powiedzieć, że słowo ma nieskończoną liczbę znaczeń, to oczywiście rozumowanie byłoby niemożliwe, gdyż nie mieć jednego znaczenia, to nie mieć żadnego znaczenia, a jeśli słowa nie mają znaczenia, nasze rozumowanie siebie nawzajem, a nawet z nami, zostało unicestwione, bo nie można myśleć o niczym, jeśli nie myślimy o jednej rzeczy; ale jeśli to jest możliwe, można tej rzeczy przypisać jedno imię).

—  Arystoteles, Metafizyka , Księga IV, część 4 (przekład WD Ross)

Ponad dwa tysiące lat później George Boole nawiązał do tej samej zasady, co Arystoteles, kiedy Boole poczynił następującą obserwację w odniesieniu do natury języka i tych zasad, które muszą w nim tkwić naturalnie:

Istnieją w istocie pewne ogólne zasady, oparte na samej naturze języka, które określają użycie symboli, które są jedynie elementami języka naukowego. Do pewnego stopnia te elementy są arbitralne. Ich interpretacja jest czysto konwencjonalna: wolno nam ich używać w dowolnym sensie. Ale to pozwolenie jest ograniczone przez dwa niezbędne warunki, po pierwsze, że od konwencjonalnie ustalonego sensu nigdy, w tym samym procesie rozumowania, nie odchodzimy; po drugie, że prawa, według których proces jest prowadzony, opierają się wyłącznie na wyżej ustalonym sensie lub znaczeniu użytych symboli.

—  George Boole, Badanie praw myśli

Prawo niesprzeczności

Prawo niesprzeczności (na przemian z „prawo sprzeczności”): „Nic nie może być jednocześnie i nie będzie.”

Innymi słowy: „dwa lub więcej sprzecznych zdań nie może być jednocześnie prawdziwych w tym samym sensie”: ¬ (A ∧ ¬A).

Mówiąc słowami Arystotelesa, „nie można powiedzieć o czymś, czym jest i że nie jest pod tym samym względem i w tym samym czasie”. Jako ilustrację tego prawa napisał:

Niemożliwe jest więc, aby „bycie człowiekiem” oznaczało właśnie nie bycie mężczyzną, skoro „człowiek” nie tylko oznacza coś o jednym przedmiocie, ale ma też jedno znaczenie… I nie będzie możliwe bycie i nie być tym samym, z wyjątkiem dwuznaczności, tak jakby ktoś, kogo nazywamy „człowiekiem”, a inni mieli nazywać „nie-człowiekiem”; nie chodzi jednak o to, czy ta sama rzecz może być jednocześnie i nie być człowiekiem z imienia, ale czy rzeczywiście może być.

—  Arystoteles, Metafizyka, księga IV, część 4 (przekład WD Ross)

Prawo wykluczonego środka

Prawo wyłączonego środka: „Wszystko musi być albo nie być”.

Zgodnie z prawem wykluczonej środkowego lub wykluczonej trzeciej, dla każdego zdania prawdziwa jest albo jego pozytywna, albo negatywna forma: A ∨ ¬A.

Odnośnie prawa wyłączonego środka Arystoteles pisał:

Ale z drugiej strony nie może być pośrednika między sprzecznościami, ale jednego podmiotu musimy albo afirmować, albo zaprzeczyć jednemu orzecznikowi. Po pierwsze, jest to jasne, jeśli zdefiniujemy, czym jest prawda, a czym fałsz. Powiedzenie o czym nie jest lub o czym nie jest, że jest, jest fałszywe, podczas gdy mówienie o tym, czym jest, a o czym nie jest, że nie jest, jest prawdą; aby ten, kto mówi o czymkolwiek, co jest lub że nie jest, powiedział albo co jest prawdą, albo co jest fałszem.”

—  Arystoteles, Metafizyka, księga IV, część 7 (przekład WD Ross)

Racjonalne uzasadnienie

Jak wskazują powyższe cytaty z Hamiltona, w szczególności wpis „prawa tożsamości”, uzasadnienie i wyrażenie „praw myśli” było podatnym gruntem dla debaty filozoficznej od czasów Platona. Dziś debata – o tym, jak „poznajemy” świat rzeczy i nasze myśli – trwa; przykłady uzasadnień znajdują się we wpisach poniżej.

Platon

W jednym z Platona sokratycznych dialogu , Sokrates opisano trzy zasady pochodzące od introspekcji :

Po pierwsze, że nic nie może stać się większe lub mniejsze, ani pod względem liczby, ani wielkości, pozostając sobie równym… Po drugie, że bez dodawania lub odejmowania nie ma niczego powiększania ani zmniejszania, ale tylko równość… Po trzecie, to, co nie było wcześniej, nie może być później, bez stawania się i bez stawania się.

—  Platon , Teajtet , 155

Indyjska logika

Prawo niesprzeczności występuje w starożytnych indyjskich logika jako meta-reguły w Shrauta Sutras , gramatyki panini , a Brahmasutry nadana Vyasy . Został później rozwinięty przez średniowiecznych komentatorów, takich jak Madhvacharya .

Locke

John Locke twierdził, że zasady tożsamości i sprzeczności (tj. prawo tożsamości i prawo niesprzeczności) są ogólnymi ideami i przychodzą im do głowy dopiero po znacznym, abstrakcyjnym, filozoficznym przemyśleniu. Scharakteryzował zasadę tożsamości jako „cokolwiek jest, jest”. Stwierdził zasadę sprzeczności: „Niemożliwe jest, aby ta sama rzecz była i nie była”. Dla Locke'a nie były to wrodzone ani a priori zasady.

Leibniz

Gottfried Leibniz sformułował dwie dodatkowe zasady, z których jedną lub obie można czasem uznać za prawo myślenia:

• zasada wystarczającego powodu
• tożsamość nieodróżnialnych

W myśli Leibniza, a także ogólnie w ujęciu racjonalizmu , te dwie ostatnie zasady uważane są za jasne i niepodważalne aksjomaty . Były powszechnie uznawane w myśli europejskiej XVII, XVIII i XIX wieku, choć w XIX wieku były przedmiotem większej debaty. Jak się okazało w przypadku prawa ciągłości , te dwa prawa dotyczą kwestii, które we współczesnym ujęciu są przedmiotem wielu dyskusji i analiz (odpowiednio na temat determinizmu i ekstensjonalizmu ). Zasady Leibniza miały szczególny wpływ na myśl niemiecką. We Francji Logika Port-Royal była przez nich mniej zachwycona. Hegel kłócił się z tożsamością nieodróżnialnych w swojej Science of Logic (1812-1816).

Schopenhauer

Cztery prawa

„Pierwotne prawa myślenia lub warunki tego, co możliwe do pomyślenia, to cztery: 1. Prawo tożsamości [A jest A]. 2. Prawo sprzeczności. 3. Prawo wykluczenia lub wykluczony środek. 4. Prawo wystarczającego powodu”. (Thomas Hughes, Idealna teoria Berkeley i realnego świata , część II, sekcja XV, przypis, s. 38 )

Arthur Schopenhauer omówił prawa myślenia i próbował wykazać, że są one podstawą rozumu. Wymienił je w następujący sposób w swoim O poczwórnym korzeniu zasady wystarczającego rozumu , §33:

1. Podmiot jest równy sumie jego orzeczników, czyli a = a.
2. Żaden orzecznik nie może być jednocześnie przypisany i zaprzeczony podmiotowi, czyli ≠ ~a.
3. Z każdych dwóch przeciwstawnych orzeczników jeden musi należeć do każdego podmiotu.
4. Prawda jest odniesieniem sądu do czegoś poza nim jako dostatecznej przyczyny lub podstawy.

Także:

Prawa myśli można w najbardziej zrozumiały sposób wyrazić w ten sposób:

1. Wszystko, co istnieje, istnieje.
2. Nic nie może być i nie być jednocześnie.
3. Każda rzecz jest albo nie jest.
4. Ze wszystkiego, co jest, można dowiedzieć się, dlaczego tak jest.

Do tego należałoby dodać tylko fakt, że raz na zawsze w logice chodzi o to, co się myśli, a więc o pojęcia, a nie o rzeczy rzeczywiste.

—  Schopenhauer, Pozostałości rękopisu , t. 4, „Pandectae II”, §163

Aby pokazać, że są one podstawą rozumu , podał następujące wyjaśnienie:

Dzięki refleksji, którą mógłbym nazwać samobadaniem władzy rozumu, wiemy, że sądy te są wyrazem warunków wszelkiej myśli i dlatego mają je jako podstawę. Tak więc podejmując próżne próby myślenia wbrew tym prawom, władza rozumu uznaje je za warunki możliwości wszelkiego myślenia. Przekonujemy się wtedy, że myślenie w opozycji do nich jest tak samo niemożliwe, jak poruszanie naszymi kończynami w kierunku przeciwnym do ich stawów. Gdyby podmiot mógł poznać samego siebie, powinniśmy znać te prawa od razu , a nie najpierw poprzez eksperymenty na przedmiotach, czyli reprezentacjach (obrazach mentalnych).

—  Schopenhauer, O poczwórnym korzeniu zasady wystarczającego rozumu , §33

Cztery prawa Schopenhauera można schematycznie przedstawić w następujący sposób:

1. A to A.
2. A nie jest A.
3. X jest albo A, albo nie-A.
4. Jeśli A to B (A implikuje B).

Dwa prawa

Później, w 1844 r., Schopenhauer twierdził, że cztery prawa myślenia można zredukować do dwóch. W dziewiątym rozdziale drugiego tomu Świat jako wola i reprezentacja pisał:

Wydaje mi się, że doktrynę praw myśli można by uprościć, gdybyśmy ustalili tylko dwa, prawo wyłączonego środka i prawo dostatecznego rozumu. Pierwszy tak: „Każdy orzeczenie może być albo potwierdzone, albo zaprzeczone dla każdego podmiotu”. Tu jest już zawarte w „albo, albo”, że jedno i drugie nie może wystąpić jednocześnie, a w konsekwencji właśnie to, co wyrażają prawa tożsamości i sprzeczności. W ten sposób zostałyby one dodane jako następstwa tej zasady, która rzeczywiście mówi, że każde dwie sfery pojęciowe muszą być uważane albo jako zjednoczone, albo jako oddzielone, ale nigdy jako obie naraz; a zatem, chociaż połączone są ze sobą słowa, które wyrażają to ostatnie, słowa te potwierdzają proces myślowy, którego nie można przeprowadzić. Świadomość tej niewykonalności jest uczuciem sprzeczności. Drugie prawo myślenia, zasada racji dostatecznej, potwierdzałoby, że powyższe przypisywanie lub odrzucanie musi być określone przez coś innego niż sam sąd, którym może być (czysta lub empiryczna) percepcja, albo po prostu inny sąd. Ta inna i inna rzecz nazywa się wtedy podstawą lub racją sądu. O ile sąd spełnia pierwsze prawo myśli, jest on do pomyślenia; o ile spełnia drugie, jest prawdziwe, a przynajmniej w przypadku, gdy podstawą wyroku jest tylko inny sąd, jest ona logicznie lub formalnie prawdziwa.

Boole (1854): Ze swoich „praw umysłu” Boole wywodzi „Prawo sprzeczności” Arystotelesa

Tytuł traktatu George'a Boole'a o logice z 1854 r . Dochodzenie nad prawami myśli wskazuje na alternatywną ścieżkę. Prawa są teraz włączone do algebraicznej reprezentacji jego „praw umysłu”, doskonalonych przez lata we współczesnej algebrze Boole'a .

Uzasadnienie: Jak rozróżnić „prawa umysłu”?

Boole rozpoczyna swój rozdział I „Natura i projekt tego Dzieła” od omówienia, jaka cecha odróżnia ogólnie „prawa umysłu” od „praw natury”:

„Ogólne prawa Natury nie są w większości bezpośrednimi przedmiotami percepcji. Są to albo indukcyjne wnioskowania z dużego zbioru faktów, powszechna prawda, w której wyrażają, albo, przynajmniej w ich pochodzeniu, fizyczne hipotezy przyczynowo-skutkowy... Są one we wszystkich przypadkach iw ścisłym tego słowa znaczeniu, prawdopodobnymi konkluzjami, zbliżającymi się w istocie coraz bardziej do pewności, w miarę jak otrzymują coraz więcej potwierdzeń doświadczenia... ”.

W przeciwieństwie do tego są to, co nazywa „prawami umysłu”: Boole twierdzi, że są one znane w pierwszej kolejności, bez potrzeby powtarzania:

„Z drugiej strony, znajomość praw umysłu nie wymaga jako podstawy żadnego obszernego zbioru obserwacji. Prawda ogólna jest widziana w konkretnym przypadku i nie jest potwierdzana przez powtarzanie przykładów. ... w konkretnym przykładzie widzimy nie tylko prawdę ogólną, ale widzimy ją także jako prawdę pewną – prawdę, do której nasza ufność nie będzie wzrastać wraz ze wzrostem doświadczenia jej praktycznej weryfikacji.” (Boole 1854:4)

Znaki Boole'a i ich prawa

Boole zaczyna się od pojęcia „znaków” reprezentujących „klasy”, „operacje” i „tożsamość”:

„Wszystkie znaki języka, jako narzędzie rozumowania, mogą być prowadzone przez system znaków złożony z następujących elementów:

„Pierwsze dosłowne symbole jako x, y, itp. reprezentujące rzeczy jako przedmioty naszych koncepcji,

„Drugie znaki działania, jak +, −, x oznaczają te operacje umysłu, za pomocą których koncepcje rzeczy są łączone lub rozwiązywane w celu utworzenia nowych koncepcji obejmujących te same elementy,

„3. Znak tożsamości, =.

A te symbole Logiki podlegają w ich użyciu określonym prawom, częściowo zgodnym, a częściowo różniącym się od praw odpowiadających im symboli w nauce algebry. (Boole 1854:27)

Boole następnie wyjaśnia, co reprezentuje „symbol dosłowny”, np. x, y, z,... — nazwa stosowana do zbioru instancji w „klasach”. Na przykład „ptak” reprezentuje całą klasę upierzonych, skrzydlatych stworzeń stałocieplnych. Dla swoich celów rozszerza pojęcie klasy o przynależność do „jednego”, „nic” lub „wszechświata”, tj. ogółu wszystkich jednostek:

„Zgódźmy się zatem reprezentować klasę jednostek, do których odnosi się konkretna nazwa lub opis, pojedynczą literą, jako z. ... Przez klasę rozumie się zwykle zbiór jednostek, z których każda ma konkretną nazwę lub opis może być zastosowany, ale w niniejszej pracy znaczenie terminu zostanie rozszerzone tak, aby objąć przypadek, w którym istnieje tylko jedna osoba, odpowiadając wymaganej nazwie lub opisowi, a także przypadki oznaczone terminami „ nic” i „wszechświat”, które jako „klasy” należy rozumieć jako obejmujące odpowiednio „żadne istoty”, „wszystkie istoty” (Boole 1854:28).

Następnie definiuje, co oznacza ciąg symboli, np. xy [współczesny logiczny &, spójnik]:

„Niech dalej zostanie uzgodnione, że przez kombinację xy będzie reprezentowana ta klasa rzeczy, do których nazwy lub opisy reprezentowane przez x i y są jednocześnie, ma zastosowanie. Tak więc, jeśli samo x oznacza „rzeczy białe”, a y oznacza „owca”, niech xy oznacza „białą owcę”” (Boole 1854:28)

Biorąc pod uwagę te definicje, teraz wymienia swoje prawa z ich uzasadnieniem oraz przykładami (zaczerpniętymi z Boole'a):

• (1) xy = yx [prawo przemienne]

„x reprezentuje 'estuaria', a y 'rzeki', wyrażenia xy i yx będą obojętnie reprezentować” 'rzeki będące estuariami' lub 'estuaria będące rzekami'”

• (2) xx = x, alternatywnie x ² = x [Absolutna tożsamość znaczenia, „podstawowe prawo myślenia” Boole'a, por. str. 49]

„Tak więc 'dobrzy, dobrzy' ludzie są równoważni 'dobrym' mężczyznom”.

Logiczne OR : Boole definiuje „zbieranie części w całość lub rozdzielanie całości na części” (Boole 1854:32). Tutaj spójnik „i” jest używany rozłącznie, podobnie jak „lub”; przedstawia prawo przemienne (3) i prawo rozdzielcze (4) dla pojęcia „zbieranie”. Pojęcie oddzielenia części od całości symbolizuje operacją „-”; definiuje prawo przemienne (5) i rozdzielcze (6) dla tego pojęcia:

• (3) y + x = x + y [prawo przemienne]

„Tak więc wyrażenie „mężczyźni i kobiety” jest… równoznaczne z wyrażeniem „kobiety i mężczyźni”. Niech x reprezentuje „mężczyzn”, y, „kobiety” i niech + oznacza „i” i „lub”...”

• (4) z(x + y) = zx + zy [prawo dystrybucji]

z = Europejczyk, (x = "mężczyźni, y = kobiety): Europejki i Europejki = Europejki i Europejki

• (5) x − y = −y + x [prawo komutacji: oddzielenie części od całości]

„Wszyscy mężczyźni (x) z wyjątkiem Azjatów (y)” są reprezentowane przez x − y. „Wszystkie stany (x) z wyjątkiem stanów monarchicznych (y)” są reprezentowane przez x − y

• (6) z(x − y) = zx − zy [prawo dystrybucji]

Wreszcie pojęcie „tożsamości” symbolizowane przez „=”. Pozwala to na dwa aksjomaty: (aksjomat 1): równa się dodana do równa się równa się równa się, (aksjomat 2): równa się odejmowana od równa się równa się równa się.

• (7) Tożsamość („jest”, „są”) np. x = y + z, „gwiazdy” = „słońce” i „planety”

Nic „0” i Wszechświat „1” : Zauważa, że ​​jedyne dwie liczby, które spełniają xx = x to 0 i 1. Następnie zauważa, że ​​0 reprezentuje „Nic”, podczas gdy „1” reprezentuje „Wszechświat” (z dyskursu).

Logiczne NIE : Boole definiuje przeciwieństwo (logiczne NIE) w następujący sposób (jego Propozycja III):

„Jeśli x reprezentuje dowolną klasę obiektów, to 1 − x będzie reprezentować przeciwną lub uzupełniającą klasę obiektów, tj. klasę zawierającą wszystkie obiekty, które nie są objęte klasą x” (Boole 1854:48)

Jeśli x = „ludzie”, to „1 − x” reprezentuje „wszechświat” bez „ludzi”, tj. „nie-ludzi”.

Pojęcie konkretu w przeciwieństwie do uniwersalnego : Aby przedstawić pojęcie „niektórzy mężczyźni”, Boole pisze małą literę „v” przed predykatem-symbolem „vx” niektórych mężczyzn.

Wyłączne i włączające OR : Boole nie używa tych nowoczesnych nazw, ale definiuje je następująco: odpowiednio x(1-y) + y(1-x) i x + y(1-x); zgadzają się one ze wzorami wyprowadzonymi za pomocą nowoczesnej algebry Boole'a.

Boole wyprowadza prawo sprzeczności

Uzbrojony w swój „system” wywodzi „zasadę [nie]sprzeczności”, zaczynając od swojego prawa tożsamości: x ² = x. Odejmuje x od obu stron (jego aksjomat 2), otrzymując x ² − x = 0. Następnie wylicza x: x(x − 1) = 0. Na przykład, jeśli x = „mężczyzna”, to 1 − x reprezentuje NIE-mężczyźni. Mamy więc przykład „Prawa sprzeczności”:

„Stąd: x(1 − x) będzie reprezentować klasę, której członkowie są jednocześnie „mężczyznami” i „nie ludźmi”, a równanie [x(1 − x)=0] wyraża zatem zasadę, że klasa, której członkowie są jednocześnie ludźmi, a nie ludzie nie istnieją. Innymi słowy, niemożliwym jest, aby ta sama jednostka była jednocześnie człowiekiem, a nie człowiekiem. ... jest to identycznie owa „zasada sprzeczności „który Arystoteles opisał jako podstawowy aksjomat wszelkiej filozofii… to, co powszechnie uważano za podstawowy aksjomat metafizyki, jest jedynie konsekwencją prawa myślenia, matematycznego w swej formie”. (więcej wyjaśnień na temat tej „dychotomii” dotyczy por. Boole 1854:49ff)

Boole definiuje pojęcie „domena (wszechświat) dyskursu”

Pojęcie to można znaleźć w „Prawach myśli” Boole’a, np. 1854:28, gdzie symbol „1” (liczba całkowita 1) jest używany do reprezentowania „wszechświata”, a „0” do reprezentowania „Nic”, a o wiele bardziej szczegółowo później (strony 42 i następne):

„Otóż, bez względu na zasięg pola, w którym znajdują się wszystkie przedmioty naszego dyskursu, pole to można właściwie nazwać wszechświatem dyskursu. ... Co więcej, ten wszechświat dyskursu jest w najściślejszym sensie podmiotem ostatecznym dyskursu”.

W swoim rozdziale „Rachunek predykatów” Kleene zauważa, że ​​określenie „dziedziny” dyskursu „nie jest trywialnym założeniem, ponieważ nie zawsze jest ono wyraźnie spełnione w zwykłym dyskursie… Podobnie w matematyce logika może stać się dość śliska, gdy żadne D [domena] nie zostało określone bezpośrednio lub pośrednio, lub określenie D [domeny] jest zbyt niejasne (Kleene 1967:84).

Hamilton (1837-38 wykłady z logiki, opublikowane 1860): 4. „Prawo rozumu i konsekwencji”

Jak wspomniano powyżej, Hamilton określa cztery prawa — trzy tradycyjne oraz czwarte „Prawo Rozumu i Konsekwencji” — w następujący sposób:

„XIII. Podstawowe Prawa Myśli lub warunki tego, co możliwe do pomyślenia, jak powszechnie przyjmuje się, są cztery: 1. Prawo Tożsamości; 2. Prawo Sprzeczności; 3. Prawo Wykluczenia lub Wykluczonego Środka; oraz 4. Prawo Rozumu i Konsekwencji, czyli Rozumu Dostatecznego ”.

Uzasadnienie: „Logika jest nauką o prawach myśli jako myśli”

Hamilton uważa, że ​​myśl przybiera dwie formy: „konieczne” i „warunkowe” (Hamilton 1860:17). W odniesieniu do formy „niezbędnej” definiuje ją jako „logikę”: „Logika jest nauką o koniecznych formach myślenia” (Hamilton 1860:17). Aby zdefiniować „konieczne”, twierdzi, że implikuje to następujące cztery „cechy”:

(1) „zdeterminowany lub wymuszony przez naturę samego myślącego podmiotu […] jest subiektywnie, a nie obiektywnie określony;

(2) „oryginalne i nie nabyte;

(3) „uniwersalny; to znaczy, nie może być tak, że wymaga przy pewnych okazjach, a nie wymaga przy innych.

(4) „musi to być prawo; ponieważ prawo jest tym, które stosuje się do wszystkich przypadków bez wyjątku i od którego odstępstwo jest zawsze i wszędzie niemożliwe lub przynajmniej niedopuszczalne… Ten ostatni warunek, podobnie, pozwala nam na najbardziej jednoznaczne wypowiedzenie przedmiotu-materii logiki, mówiąc, że logika jest nauką o prawach myśli jako myśli lub nauką o formalnych prawach myśli lub nauką o prawach myśli. forma myśli, ponieważ wszystko to są tylko różnymi wyrażeniami tej samej rzeczy”.

Czwarte prawo Hamiltona: „Nie wywnioskować niczego bez podstawy i powodu”

Oto czwarte prawo Hamiltona z jego LECT. V. LOGIKA. 60-61:

„Przechodzę teraz do czwartego prawa.

„ Par. XVII. Prawo rozumu dostatecznego lub rozumu i konsekwencji :

„XVII. Myślenie przedmiotu, który faktycznie charakteryzuje się pozytywnymi lub negatywnymi atrybutami, nie jest pozostawione kaprysowi Zrozumienia – władzy myślenia; ale ta władza musi być potrzebna do tego czy innego zdeterminowanego aktu myślenia przez wiedzę czegoś innego i niezależnego od samego procesu myślenia. Ten stan naszego rozumienia wyraża się w prawie rozumu dostatecznego ( principium Rationis sufficientis ), ale właściwiej określa się go jako prawo rozumu i Consequent ( principium Rationis et Consecutionis ). Ta wiedza, dzięki której umysł jest zmuszony potwierdzić lub postulować coś innego, nazywa się logiczną podstawą rozumu lub antecedentem ; to coś innego, co umysł musi potwierdzić lub postulować, nazywa się logiczny następnik , a relacja między rozumem a następnikiem nazywana jest logicznym związkiem lub konsekwencją . Prawo to wyraża się w formule – Wywnioskować nic bez podstawa lub powód. ¹

Relacje między Rozumem a Konsekwentem Relacje pomiędzy Rozumem a Konsekwentem, gdy są rozumiane w czystej myśli, są następujące:

1. Gdy powód jest podany w sposób jawny lub niejawny, musi istnieć następnik; i vice versa , gdy dany jest następnik, musi również istnieć powód.

¹ Zob. Schulze, Logik , §19 i Krug, Logik , §20, – ED.

2. Tam, gdzie nie ma powodu, nie może być konsekwencji; i vice versa , gdzie nie ma konsekwencji (albo w sposób dorozumiany lub jawny), nie może być też powodu. Oznacza to, że pojęcia rozumu i konsekwencji, jako wzajemnie względne, wiążą się i zakładają.

Logiczne znaczenie tego prawa : Logiczne znaczenie prawa Rozumu i Konsekwencji polega na tym, że na mocy tego myśl składa się z szeregu czynów, które są nierozerwalnie połączone; każdy z nich koniecznie implikuje drugi. Tak więc rozróżnienie i przeciwstawienie materii możliwej, aktualnej i koniecznej, wprowadzone do logiki, jest doktryną całkowicie obcą tej nauce.

Welton

W XIX wieku arystotelesowskie prawa myśli, a czasem także leibnizowskie prawa myślenia, były standardowym materiałem w podręcznikach logiki, a J. Welton opisał je w ten sposób:

Prawa Myśli, Reguły Regulacyjne Myśli lub Postulaty Wiedzy to te fundamentalne, konieczne, formalne i aprioryczne prawa, zgodnie z którymi wszelka ważna myśl musi być kontynuowana. Są one a priori, to znaczy wynikają bezpośrednio z procesów rozumu, jakie wywierają na fakty świata rzeczywistego. Są formalne; ponieważ jako konieczne prawa wszelkiego myślenia, nie mogą one jednocześnie ustalić określonych właściwości jakiejkolwiek określonej klasy rzeczy, ponieważ jest opcjonalne, czy myślimy o tej klasie rzeczy, czy nie. Są one konieczne, ponieważ nikt nigdy nie robi ani nie może pojąć ich odwrócenia, ani naprawdę ich nie pogwałcić, ponieważ nikt nigdy nie akceptuje sprzeczności, która jako taka przedstawia się w jego umyśle.

—  Welton, Podręcznik logiki , 1891, tom. ja, s. 30.

Russell (1903-1927)

Kontynuacją „Zasad matematyki” Bertranda Russella z 1903 roku stało się trzytomowe dzieło zatytułowane Principia Mathematica (odtąd PM), napisane wspólnie z Alfredem North Whiteheadem . Natychmiast po tym, jak on i Whitehead opublikowali PM, napisał swoje 1912 „Problemy filozofii”. Jego „Problemy” odzwierciedlają „centralne idee logiki Russella”.

Zasady matematyki (1903)

W swoich „Zasadach” z 1903 r. Russell definiuje logikę symboliczną lub formalną (używa terminów jako synonimy) jako „badanie różnych ogólnych typów dedukcji” (Russell 1903:11). Twierdzi, że „Logika symboliczna jest zasadniczo związana z wnioskowaniem w ogóle” (Russell 1903:12) i przypisem wskazuje, że nie rozróżnia między wnioskowaniem a dedukcją ; ponadto uważa, że indukcja „jest albo zakamuflowaną dedukcją, albo zwykłą metodą dokonywania wiarygodnych domysłów” (Russell 1903:11). Opinia ta zmieni się do roku 1912, kiedy uzna, że ​​jego „zasada indukcji” jest zgodna z różnymi „zasadami logicznymi”, które obejmują „Prawa Myśli”.

W części I „Niedefiniowalne matematyki” Rozdział II „Logika symboliczna” Część A „Rachunek zdań” Russell redukuje dedukcję („rachunek zdań”) do 2 „niedefiniowalnych” i 10 aksjomatów:

„17. Nie wymagamy zatem w rachunku zdań nic niedefiniowalnego poza dwoma rodzajami implikacji [prosta alias „materialna” i „formalna”] – pamiętając jednak, że formalna implikacja jest pojęciem złożonym, którego analiza pozostaje do Co się tyczy naszych dwóch niedefiniowalnych, wymagamy pewnych twierdzeń nie do udowodnienia, których dotychczas nie udało mi się zredukować do mniej dziesięciu (Russell 1903:15).

Z nich on twierdzi, aby móc czerpać z Prawo wyłączonego środka i prawo sprzeczności , ale nie wykazują jego pozyskiwaniu (Russell 1903: 17). Następnie on i Whitehead dopracowali te „prymitywne zasady” i aksjomaty do dziewięciu znalezionych w PM, a tutaj Russell faktycznie wykazuje te dwie derywacje odpowiednio przy ❋1,71 i ❋3,24.

Problemy filozofii (1912)

Do roku 1912 Russell w swoich „Problemach” zwraca szczególną uwagę na „indukcję” (rozumowanie indukcyjne) oraz „dedukcję” (wnioskowanie), z których oba stanowią tylko dwa przykłady „oczywistych zasad logicznych”, które obejmują „Prawa Myśl."

Zasada indukcji : Russell poświęca rozdział swojej „zasadzie indukcji”. Opisuje to w dwóch częściach: po pierwsze, jako powtarzający się zbiór dowodów (bez znanych błędów powiązania), a zatem rosnące prawdopodobieństwo, że za każdym razem, gdy dzieje się A, następuje B; po drugie, w nowym przypadku, gdy rzeczywiście nastąpi A, nastąpi rzeczywiście B: tj. „wystarczająca liczba przypadków skojarzeń sprawi, że prawdopodobieństwo nowego skojarzenia będzie prawie pewne i zbliży się do pewności bez granic”.

Następnie zbiera wszystkie przypadki (instancje) zasady indukcji (np. przypadek 1: A ₁ = "wschodzące słońce", B ₁ = "niebo wschodnie"; przypadek 2: A ₂ = "zachodzące słońce", B ₂ = „zachodnie niebo”; przypadek 3: itd.) w „ogólne” prawo indukcji, które wyraża następująco:

„(a) Im większa liczba przypadków, w których rzecz typu A została znaleziona powiązana z rzeczą typu B, tym bardziej prawdopodobne jest (jeśli znane są przypadki niepowodzenia powiązania), że A jest zawsze powiązany z B;

„(b) W tych samych okolicznościach wystarczająca liczba przypadków skojarzenia A z B sprawi, że będzie prawie pewne, że A jest zawsze skojarzone z B, i sprawi, że to ogólne prawo zbliży się do pewności bez ograniczeń”.

Argumentuje, że tej zasady indukcji nie można ani obalić, ani udowodnić doświadczeniem, ponieważ brak dowodu ma miejsce, ponieważ prawo dotyczy raczej prawdopodobieństwa sukcesu niż pewności; niepowodzenie dowodu z powodu niezbadanych przypadków, które mają dopiero wystąpić, tj. wystąpią (lub nie) w przyszłości. „W związku z tym musimy albo zaakceptować zasadę indukcyjną na podstawie jej wewnętrznych dowodów, albo zrezygnować z wszelkiego uzasadnienia naszych oczekiwań dotyczących przyszłości”.

W następnym rozdziale („O naszej wiedzy o zasadach ogólnych”) Russell przedstawia inne zasady, które mają podobną właściwość: „które nie mogą być udowodnione ani obalone przez doświadczenie, ale są używane w argumentacji, która zaczyna się od tego, co jest doświadczane”. Twierdzi, że te „mają jeszcze większe dowody niż zasada indukcji... wiedza o nich ma ten sam stopień pewności co wiedza o istnieniu danych zmysłowych. Stanowią one sposób wyciągania wniosków z tego, co jest podane w uczucie".

Zasada wnioskowania : Russell podaje następnie przykład, który nazywa „logiczną” zasadą. Dwukrotnie wcześniej potwierdził tę zasadę, najpierw jako czwarty aksjomat w 1903 r., a następnie jako swoją pierwszą „prymitywną tezę” PM: „❋1,1 Wszystko, co implikuje prawdziwe zdanie elementarne, jest prawdziwe”. Teraz powtarza to w swoim 1912 w wyrafinowanej formie: „Tak więc nasza zasada głosi, że jeśli to implikuje, a to jest prawdą, to jest to prawdą. Innymi słowy, „wszystko, co sugeruje prawdziwe zdanie, jest prawdziwe” lub „ wszystko, co wynika z prawdziwego twierdzenia, jest prawdziwe". Tę zasadę kładzie duży nacisk, stwierdzając, że „ta zasada jest rzeczywiście zaangażowana – przynajmniej w konkretnych przypadkach – we wszystkie demonstracje".

Nie nazywa on swojej zasady wnioskowania modus ponens , ale jego formalnym, symbolicznym wyrażeniem w PM (2 wydanie 1927) jest modus ponens ; współczesna logika nazywa to „regułą” w przeciwieństwie do „prawa”. W poniższym cytacie symbol „⊦” jest „znakiem potwierdzenia” (por. PM s. 92); „⊦” oznacza „prawda, że”, dlatego „⊦p” gdzie „p” to „słońce wschodzi” oznacza „prawdą jest, że słońce wschodzi”, naprzemiennie „Stwierdzenie „Słońce wschodzi” to prawda". Symbol „implikacji” „⊃” jest powszechnie czytany „jeśli p to q” lub „p implikuje q” (por. PM s. 7). W tym pojęciu „implikacji” zawarte są dwie „prymitywne idee”, „Funkcja sprzeczna” (symbolizowana przez NIE, „~”) i „Suma logiczna lub alternatywa” (symbolizowana przez LUB, „⋁”); pojawiają się one jako „prymitywne zdania” 1,7 i ❋1,71 w PM (PM s. 97). Za pomocą tych dwóch „prymitywnych zdań” Russell definiuje „p ⊃ q” jako formalną równoważność logiczną „NOT-p OR q” symbolizowaną przez „~p ⋁ q”:

„ Wnioskowanie ” . Proces wnioskowania przebiega następująco: stwierdza się zdanie „p” i zdanie „p implikuje q”, a następnie w dalszej kolejności stwierdza się zdanie „q”. Zaufanie do wnioskowania jest przekonaniem że jeśli dwa poprzednie twierdzenia nie są błędne, ostateczne twierdzenie nie jest błędne.W związku z tym, ilekroć w symbolach, gdzie p i q mają oczywiście specjalne określenie

" "⊦p" i "⊦(p ⊃ q)"

", wtedy "⊦q" wystąpi, jeśli chce się to zapisać. Procesu wnioskowania nie można sprowadzić do symboli. Jedynym zapisem jest wystąpienie "⊦q". ... Wnioskowanie jest porzucenie prawdziwej przesłanki, to rozwiązanie implikacji”.

Innymi słowy, w długim „ciągu” wnioskowań, po każdym wnioskowaniu możemy odłączyć „następnik” „⊦q” od ciągu symboli „⊦p, ⊦(p⊃q)” i nie przenosić tych symboli do przodu w stale wydłużający się ciąg symboli.

Trzy tradycyjne „prawa” (zasady) myślenia : Russell przechodzi dalej do innych zasad, z których powyższa logiczna zasada jest „tylko jedna”. Twierdzi, że „niektóre z nich muszą być przyznane, zanim jakikolwiek argument lub dowód stanie się możliwy. Kiedy niektóre z nich zostaną przyznane, inne można udowodnić”. Spośród tych różnych „praw” twierdzi, że „bez bardzo dobrego powodu trzy z tych zasad zostały wyróżnione przez tradycję pod nazwą „Prawa myśli”. Wymienia je w następujący sposób:

„(1) Prawo tożsamości : 'Cokolwiek jest, jest'.

(2) Prawo sprzeczności : „Nic nie może być i nie być”.

(3) Prawo wyłączonego środka : „Wszystko musi być albo nie być”.

Uzasadnienie : Russell wyraża opinię, że „nazwa 'prawa myślenia' jest... myląca, ponieważ ważny nie jest fakt, że myślimy zgodnie z tymi prawami, ale fakt, że rzeczy zachowują się zgodnie z nimi; innymi słowy , że myśląc zgodnie z nimi, myślimy prawdziwie ”. Ale ocenia to jako „duże pytanie” i rozwija je w dwóch kolejnych rozdziałach, w których zaczyna od badania pojęcia wiedzy „a priori” (wrodzonej, wbudowanej) i ostatecznie dochodzi do akceptacji platońskiego „świata”. uniwersaliów”. W swoim dochodzeniu powraca od czasu do czasu do trzech tradycyjnych praw myślenia, wyróżniając w szczególności prawo sprzeczności: „Konkluzja, że ​​prawo sprzeczności jest prawem myśli, jest jednak błędna… [raczej], prawo sprzeczności dotyczy rzeczy, a nie tylko myśli… fakt dotyczący rzeczy na świecie”.

Jego argumentacja zaczyna się od stwierdzenia, że ​​trzy tradycyjne prawa myślenia są „próbkami oczywistych zasad”. Dla Russella sprawa „oczywistego” jedynie wprowadza szersze pytanie, w jaki sposób czerpiemy naszą wiedzę o świecie. Cytuje on „historyczny spór […] między dwiema szkołami zwanymi odpowiednio „empirystami” [ Locke , Berkeley i Hume ] oraz „racjonalistami” [ Descartes i Leibniz ]” (ci filozofowie są jego przykładem). Russell twierdzi, że racjonaliści „utrzymywali, że oprócz tego, co wiemy z doświadczenia, istnieją pewne „wrodzone idee” i „wrodzone zasady”, które znamy niezależnie od doświadczenia”; aby wyeliminować możliwość posiadania przez dzieci wrodzonej wiedzy o „prawach myślenia”, Russell zmienia nazwę tego rodzaju wiedzy a priori . I choć Russell zgadza się z empirystów że „Nic nie może być znane istnieją wyjątkiem pomocą doświadczenia”, zgadza się również z racjonalistów, że pewna wiedza jest a priori , konkretnie”twierdzenia logiki i matematyki czystej, a także podstawowe założenia etyki”.

To pytanie o to, jak taka wiedza a priori może istnieć, kieruje Russella do dociekania nad filozofią Immanuela Kanta , które po uważnym rozważeniu odrzuca, co następuje:

„…jest jeden główny zarzut, który wydaje się fatalny dla jakiejkolwiek próby rozwiązania problemu wiedzy a priori jego metodą. Rzeczą, którą należy rozliczyć, jest nasza pewność, że fakty muszą zawsze być zgodne z logiką i arytmetyzmem… Tak więc rozwiązanie Kanta niesłusznie ogranicza zakres zdań apriorycznych , a ponadto zawodzi w próbie wyjaśnienia ich pewności”.

Jego obiekcje wobec Kanta prowadzą Russella do zaakceptowania „teorii idei” Platona , „moim zdaniem... jednej z najbardziej udanych prób, jakie dotychczas podjęto”; twierdzi, że „… musimy zbadać naszą wiedzę o uniwersaliach… gdzie odkryjemy, że [ta uwaga] rozwiązuje problem wiedzy a priori ”.

Principia Mathematica (część I: 1910 pierwsze wydanie, 1927 drugie wydanie)

Niestety, „Problemy” Russella nie oferują przykładu „minimalnego zestawu” zasad, które miałyby zastosowanie do ludzkiego rozumowania, zarówno indukcyjnego, jak i dedukcyjnego. Ale PM robi przynajmniej zapewniają takie przykładowy zestaw (ale nie minimalną, patrz post poniżej), która jest wystarczająca do dedukcyjnego rozumowania za pomocą rachunku zdań (w przeciwieństwie do rozumowania poprzez bardziej skomplikowane predykatów ) -a sumie 8 zasad na początku „Części I: Logika matematyczna”. Każda ze wzorów :❋1.2 do :❋1.6 jest tautologią (prawdziwą niezależnie od wartości prawdziwości p, q, r...). To, czego brakuje w leczeniu premiera, to formalna zasada substytucji; w swojej pracy doktorskiej z 1921 r. Emil Post naprawia ten brak (patrz post poniżej). W dalszej części formuły są napisane w bardziej nowoczesnym formacie niż ten używany w PM; imiona są podane w PM).

*1.1 Wszystko, co wynika z prawdziwego zdania elementarnego, jest prawdziwe.

❋1.2 Zasada tautologii: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 Zasada [logicznego] dodawania: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 Zasada permutacji: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 Zasada asocjacji: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ redundantne ]

❋1.6 Zasada [logicznego] Sumowania: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [logiczne NIE]: Jeśli p jest zdaniem elementarnym, ~p jest zdaniem elementarnym.

❋1.71 [logiczne LUB]: Jeśli p i q są zdaniami elementarnymi, (p ⋁ q) jest zdaniem elementarnym.

Russell podsumowuje te zasady w następujący sposób: „To uzupełnia listę zdań pierwotnych wymaganych dla teorii dedukcji w zastosowaniu do zdań elementarnych” (PM s. 97).

Wychodząc od tych ośmiu tautologii i milczącego użycia „reguły” substytucji, PM wyprowadza ponad sto różnych formuł, wśród których są Prawo Wykluczonego Środka – 1,71 i Prawo Sprzeczności – 3,24 (to ostatnie wymaga definicji). logicznego AND symbolizowanego przez współczesne ⋀: (p ⋀ q) = _def ~(~p ⋁ ~q) (PM używa symbolu „kropki” _▪ dla logicznego AND)).

Ladd-Franklin (1914): „zasada wykluczenia” i „zasada wyczerpania”

Mniej więcej w tym samym czasie (1912), gdy Russell i Whitehead kończyli ostatni tom ich Principia Mathematica i opublikowali „Problemy filozofii” Russella, co najmniej dwóch logików ( Louis Couturat , Christine Ladd-Franklin ) twierdziło, że dwaj „Prawa” (zasady) sprzeczności” i „wykluczony środek” są niezbędne do określenia „sprzeczności”; Ladd-Franklin przemianował te zasady na zasady wykluczenia i wyczerpania . Poniższy tekst pojawia się jako przypis na stronie 23 Couturat 1914:

„Jak naprawdę zauważyła pani LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artykuł „Prawa myśli”), zasada sprzeczności nie wystarcza do zdefiniowania sprzeczności; należy dodać zasadę wykluczonego środka, która w równym stopniu zasługuje na nazwa zasady sprzeczności, dlatego pani LADD-FRANKLIN proponuje nazwać je odpowiednio zasadą wykluczenia i zasadą wyczerpania, ponieważ według pierwszego dwa sprzeczne terminy są wykluczające (jeden z drugiego); i, zgodnie z drugim, są wyczerpujące (wszechświata dyskursu)”.

Innymi słowy, tworzenie „sprzeczności” reprezentuje dychotomię , czyli „podział” uniwersum dyskursu na dwie klasy (zbiory), które mają następujące dwie właściwości: są (i) wzajemnie wykluczające się i (ii) (zbiorczo ) wyczerpujący. Innymi słowy, żadna rzecz (zaczerpnięta z uniwersum dyskursu) nie może być jednocześnie członkiem obu klas (prawo niesprzeczności), ale [i] każda rzecz (w uniwersum dyskursu) musi być członkiem jedna lub druga klasa (prawo wyłączonego środka).

Post (1921): Rachunek zdań jest spójny i kompletny

W ramach swojej pracy doktorskiej „Wprowadzenie do ogólnej teorii zdań elementarnych” Emil Post dowiódł, że „system zdań elementarnych Principia [PM]”, tj. jego „rachunek zdań” opisany w pierwszych 8 „zdaniach pierwotnych” PM, jest spójny . Definicja „spójnego” jest taka: za pomocą dedukcyjnego „systemu” (jego stwierdzonych aksjomatów, praw, reguł) nie można wyprowadzić (wyświetlić) zarówno formuły S, jak i jej sprzecznego ~S (tj. negacja) (Nagel i Newman 1958:50). Aby to formalnie zademonstrować, Post musiał dodać prymitywne twierdzenie do 8 prymitywnych twierdzeń PM, „regułę” określającą pojęcie „substytucji”, którego brakowało w oryginalnym PM z 1910 roku.

Biorąc pod uwagę niewielki zestaw „prymitywnych zdań” PM i dowód ich spójności, Post następnie udowadnia, że ​​ten system („rachunek zdań” PM) jest kompletny , co oznacza, że w „systemie” można wygenerować każdą możliwą tabelę prawdy :

„...każdy system prawdy ma swoją reprezentację w systemie Principia, podczas gdy każdy system kompletny, to znaczy taki, który posiada wszystkie możliwe tablice prawdy, jest mu równoważny. ... Widzimy zatem, że kompletne systemy są równoważne systemowi Principia nie tylko w rozwoju tabeli prawdy, ale także postulacyjnie. Ponieważ inne systemy są w pewnym sensie zdegenerowanymi formami kompletnych systemów, możemy stwierdzić, że nie wprowadza się żadnych nowych systemów logicznych.”

Minimalny zestaw aksjomatów? Sprawa ich niezależności

Następnie jest kwestia „niezależności” aksjomatów. W swoim komentarzu przed Post 1921 van Heijenoort stwierdza, że Paul Bernays rozwiązał sprawę w 1918 roku (ale opublikowany w 1926) – można dowieść formuły ❋1.5 Zasada asocjacji: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) z pozostałymi czterema. Co do tego, jaki system „prymitywnych propozycji” jest minimum, van Heijenoort stwierdza, że ​​sprawę „badali Żyliński (1925), sam Post (1941) i Wernick (1942)”, ale van Heijenoort nie odpowiada na to pytanie.

Teoria modeli a teoria dowodu: dowód Posta

Kleene (1967:33) zauważa, że ​​„logikę” można „ufundować” na dwa sposoby, po pierwsze jako „teorię modeli”, a po drugie przez formalny „dowód” lub „teorię aksjomatyczną”; „dwa sformułowania, teoria modeli i teoria dowodu, dają równoważne wyniki” (Kleene 1967:33). Ten fundamentalny wybór i ich równoważność stosuje się również do logiki predykatów (Kleene 1967:318).

We wstępie do Post 1921 van Heijenoort zauważa, że ​​zarówno „tablica prawdy, jak i podejście aksjomatyczne są wyraźnie przedstawione”. Kwestia dowodu spójności w obie strony (poprzez teorię modelu, przez aksjomatyczną teorię dowodu) pojawia się w bardziej zgodnej wersji dowodu spójności Posta, którą można znaleźć u Nagela i Newmana 1958 w ich rozdziale V „Przykład Udany absolutny dowód spójności”. W głównej części tekstu posługują się modelem, aby uzyskać dowód spójności (stwierdzają również, że system jest kompletny, ale nie oferują dowodu) (Nagel i Newman 1958: 45–56). Ale ich tekst obiecuje czytelnikowi dowód aksjomatyczny, a nie oparty na modelu, a w dodatku dostarczają tego dowodu opartego na pojęciach podziału formuł na dwie klasy K ₁ i K ₂ , które wzajemnie się wykluczają i wyczerpują ( Nagel i Newman 1958: 109–113).

Gödel (1930): Rachunek predykatów pierwszego rzędu jest kompletny

(Zastrzeżony) „rachunek predykatów pierwszego rzędu” jest „systemem logiki”, który dodaje do logiki zdań (por. Post powyżej) pojęcie „przedmiotu-orzecznika”, tj. podmiot x jest zaczerpnięty z dziedziny (wszechświata) dyskursu i predykatu jest funkcją logiczną f(x): x jako podmiot i f(x) jako orzeczenie (Kleene 1967:74). Chociaż dowód Gödla zawiera to samo pojęcie „kompletności”, co dowód Posta, dowód Gödla jest znacznie trudniejszy; poniżej znajduje się omówienie zbioru aksjomatów.

Kompletność

Kurt Gödel w swojej rozprawie doktorskiej z 1930 r. „Pełność aksjomatów funkcjonalnego rachunku logiki” dowiódł, że w tym „rachunku” (tj. ograniczonej logice predykatów z równością lub bez), że każda ważna formuła jest „albo obalalna, albo spełnialna” albo co sprowadza się do tego samego: każda poprawna formuła jest dowodowa, a zatem logika jest kompletna. Oto definicja Gödla określająca, czy „ograniczony rachunek czynnościowy” jest „kompletny”:

„… czy rzeczywiście wystarcza to do wyprowadzenia każdego zdania logiczno-matematycznego, czy też, być może, można sobie wyobrazić, że istnieją zdania prawdziwe (które mogą być udowodnione za pomocą innych zasad), których nie można wyprowadzić w systemie w ramach namysł."

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Ten szczególny rachunek predykatów jest „ograniczony do pierwszego rzędu”. Do rachunku zdań dodaje dwa specjalne symbole, które symbolizują uogólnienia „ dla wszystkich ” i „istnieje (przynajmniej jeden)”, które rozciągają się na domenę dyskursu . Rachunek wymaga tylko pierwszego pojęcia „dla wszystkich”, ale zazwyczaj obejmuje oba: (1) pojęcie „dla wszystkich x” lub „dla każdego x” jest symbolizowane w literaturze tak różnie jak (x), ∀x, Πx itd. ., a (2) pojęcie „istnieje (co najmniej jeden x)” różnie symbolizowane jako Ex, ∃x.

Ograniczeniem jest to, że uogólnienie „dla wszystkich” ma zastosowanie wyłącznie do zmiennych (obiektów X, Y, Z itd wyciągniętych z dziedziny dyskursu), a nie do funkcji, innymi słowy rachunek pozwoli ∀xf (x) (” dla wszystkich stworzeń x, x jest ptakiem”), ale nie ∀f∀x(f(x)) [ale jeśli dodamy „równość” do rachunku różniczkowego, pozwoli to ∀f:f(x); patrz niżej pod Tarskim ]. Przykład:

Niech predykat „funkcja” f(x) będzie „x jest ssakiem”, a dziedziną podmiotową (lub uniwersum dyskursu ) (por. Kleene 1967:84) będzie kategoria „nietoperze”:

Formuła ∀xf(x) daje wartość prawdy "prawda" (czytaj: "Dla wszystkich przypadków x obiektów 'nietoperze', 'x jest ssakiem'" jest prawdą, tj. "Wszystkie nietoperze to ssaki");

Ale jeśli instancje x są pobierane z domeny „skrzydlatych stworzeń”, wtedy ∀xf(x) daje wartość prawdy „fałsz” (tj. „Dla wszystkich przypadków x „skrzydlatych stworzeń”, „x jest ssakiem”” wartość prawdy „fałszu”; „Latające owady to ssaki” jest fałszem);

Jednak nad szerokiej dziedziny dyskursu „wszystkich skrzydlatych stworzeń” (na przykład „ptaków” + „owadów latających” + „latających wiewiórek” + „nietoperze”) to można twierdzą, ∃xf (x) (czytaj: „Istnieje co najmniej jeden skrzydlate istota, która jest ssakiem”; daje wartość prawdy „prawdy”, ponieważ przedmioty x mogą pochodzić z kategorii „nietoperze” i być może „latających wiewiórek” (w zależności od tego, jak zdefiniujemy „skrzydlaty”). „fałsz”, gdy domena dyskursu jest ograniczona do „latających owadów” lub „ptaków” lub zarówno „owadów”, jak i „ptaków”.

Kleene zauważa, że ​​„rachunek predykatów (bez równości lub z równością) w pełni realizuje (w przypadku teorii pierwszego rzędu) to, co zostało pomyślane jako rola logiki” (Kleene 1967:322).

Nowy aksjomat: powiedzenie Arystotelesa – „maksa wszystkich i nikogo”

Ta pierwsza połowa tego aksjomatu – „maksyma wszystkich” pojawi się jako pierwszy z dwóch dodatkowych aksjomatów w zbiorze aksjomatów Gödla. „Dyktum Arystotelesa” ( dictum de omni et nullo ) jest czasami nazywane „maksymą wszystkich i nikogo”, ale w rzeczywistości jest to dwie „maksymalne” twierdzenia: „To, co jest prawdziwe dla wszystkich (członków domeny), jest prawdą dla niektórych (członków domeny)” oraz „To, co nie jest prawdą w przypadku wszystkich (członków domeny), dotyczy żadnego (członków domeny)”.

„Dictum” pojawia się w Boole 1854 w kilku miejscach:

„Może być pytanie, czy ta formuła rozumowania, zwana dictum Arystotelesa, de Omni et nullo , wyraża pierwotne prawo ludzkiego rozumowania, czy nie; ale nie ulega wątpliwości, że wyraża ogólną prawdę w logice” ( 1854:4)

Ale później wydaje się, że się temu sprzeciwia:

„[Niektóre zasady] ogólnej zasady natury aksjomatycznej, takie jak „dictum Arystotelesa”: „Cokolwiek jest potwierdzone lub zaprzeczone co do rodzaju, może w tym samym sensie zostać potwierdzone lub zaprzeczone w każdym gatunku należącym do tego rodzaju. … albo przedstawiają bezpośrednio, ale w abstrakcyjnej formie, argument, który mają wyjaśnić, i stwierdzając w ten sposób ten argument, potwierdzają jego słuszność, albo włączają do swojego wyrażenia terminy techniczne, które po zdefiniowaniu prowadzą nas ponownie do tego samego punktu, tj. abstrakcyjne stwierdzenie domniemanych dopuszczalnych form wnioskowania.”

Ale pierwszą połowę tego „dictum” ( dictum de omni ) podejmują Russell i Whitehead w PM oraz Hilbert w swojej wersji (1927) „logiki predykatów pierwszego rzędu”; jego (system) zawiera zasadę, którą Hilbert nazywa „Dyktum Arystotelesa”

(x)f(x) → f(y)

Aksjomat ten pojawia się również we współczesnym zestawie aksjomatów zaproponowanym przez Kleene'a (Kleene 1967:387), jako jego „schemat ∀”, jeden z dwóch aksjomatów (nazywa je „postulatami”) wymaganych dla rachunku predykatów; drugi to „schemat ∃” f(y) ⊃ ∃xf(x), który uzasadnia istnienie co najmniej jednego podmiotu x, który spełnia predykat f(x); jedno i drugie wymaga przynależności do określonej domeny (wszechświata) dyskursu.

Rachunek predykatów ograniczonych Gödla

Aby uzupełnić cztery (od pięciu; patrz Post ) aksjomaty rachunku zdań, Gödel 1930 dodaje dictum de omni jako pierwszy z dwóch dodatkowych aksjomatów. Zarówno to „dictum”, jak i drugi aksjomat, jak twierdzi w przypisie, wywodzą się z Principia Mathematica . Rzeczywiście, PM obejmuje zarówno jako

❋10.1 ⊦ ∀xf(x) ⊃ f(y) ["Tj. to, co jest prawdziwe we wszystkich przypadkach, jest prawdą w każdym przypadku" ("Dyktum Arystotelesa", przepisane w bardziej nowoczesnych symbolach)]

❋10,2 ⊦∀x(p ⋁ f(x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf(x)) [przepisane w bardziej nowoczesnych symbolach]

Ten ostatni twierdzi, że suma logiczna (tj. ⋁, OR) prostego zdania p i predykatu ∀xf(x) implikuje sumę logiczną każdego z nich z osobna. Ale PM wyprowadza oba te twierdzenia z sześciu prymitywnych twierdzeń ❋9, które w drugim wydaniu PM zostały odrzucone i zastąpione czterema nowymi „Pp” (zasadami pierwotnymi) ❋8 (patrz w szczególności ❋8.2, a Hilbert wyprowadza pierwsze nie jest jasne, w jaki sposób Hilbert i Gödel przyjęli te dwa aksjomaty jako aksjomaty.

Wymagane są również dwie dodatkowe „zasady” oddzielenia („modus ponens”) mające zastosowanie do predykatów.

Tarski (1946): Prawo Leibniza

Alfred Tarski w swoim 1946 (wydanie drugie) „Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych” przytacza szereg tego, co uważa za „uniwersalne prawa” rachunku zdań, trzy „zasady” wnioskowania i jedno podstawowe prawo tożsamość (z której wywodzi jeszcze cztery prawa). Tradycyjne „prawa myślenia” są zawarte w jego długiej liście „praw” i „reguł”. Jego leczenie ogranicza się, jak sugeruje tytuł jego książki, do „Metodologii nauk dedukcyjnych”.

Uzasadnienie : We wstępie (wydanie drugie) zauważa, że ​​to, co zaczęło się od zastosowania logiki w matematyce, zostało poszerzone do „całości ludzkiej wiedzy”:

„[Chcę przedstawić] jasną ideę tego potężnego nurtu współczesnej myśli, który koncentruje się na nowoczesnej logice. Trend ten powstał pierwotnie z nieco ograniczonego zadania stabilizacji podstaw matematyki. W obecnej fazie ma jednak wiele szersze cele, ponieważ dąży do stworzenia jednolitego aparatu pojęciowego, który stanowiłby wspólną podstawę dla całej ludzkiej wiedzy”.

Prawo tożsamości (prawo Leibniza, równość)

Aby dodać pojęcie „równość” do „rachunku zdań” (tego nowego pojęcia nie należy mylić z równoważnością logiczną symbolizowaną przez ↔, ⇄, „jeżeli i tylko wtedy, gdy (iff)”, „dwuwarunkowy” itd.) Tarski ( por. s. 54-57 symbolizuje to, co nazywa „prawem Leibniza” symbolem „=”. Rozszerza to dziedzinę (wszechświat) dyskursu i rodzaje funkcji o liczby i formuły matematyczne (Kleene 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).

W skrócie: zakładając, że „x ma każdą właściwość, jaką ma y”, możemy napisać „x = y”, a ta formuła będzie miała wartość logiczną „prawdy” lub „fałszu”. Tarski stwierdza to prawo Leibniza w następujący sposób:

• I. Prawo Leibniza: x = y, wtedy i tylko wtedy, gdy x ma każdą własność, którą ma y, a y ma każdą własność, którą ma x.

Następnie wyprowadza z tego prawa kilka innych „praw”:

• II. Prawo refleksyjności: Wszystko jest sobie równe: x = x. [Udowodniono na PM ❋ 13.15]
• III. Prawo symetrii: Jeśli x = y, to y = x. [Udowodniono na PM ❋ 13.16]
• IV. Prawo przechodniości: Jeśli x = y i y = z, to x = z. [Udowodniono na PM ❋ 13.17]
• V. Jeśli x = z i y = z, to x = y. [Udowodniono na PM ❋ 13.172]

Principia Mathematica definiuje pojęcie równości w następujący sposób (we współczesnych symbolach); zauważ, że uogólnienie „dla wszystkich” rozciąga się na funkcje predykatów f():

❋ 13.01. x = y = _def ∀f:(f(x) → f(y)) ("Ta definicja mówi, że x i y mają być nazywane identycznymi, gdy każda funkcja predykatu spełniana przez x jest spełniona przez y"

Hilbert 1927:467 dodaje tylko dwa aksjomaty równości, pierwszy to x = x, drugi to (x = y) → ((f(x) → f(y)); brakuje „dla wszystkich f” (lub Gödel 1930 definiuje równość podobnie jak PM: 13,01 Kleene 1967 przejmuje dwa z Hilberta 1927 plus jeszcze dwa (Kleene 1967:387).

Współczesne wydarzenia

Wszystkie powyższe „systemy logiki” są uważane za „klasyczne” zdania znaczeniowe i wyrażenia predykatów mają dwie wartości, z wartością prawdziwości „prawda” lub „fałsz”, ale nie obie (Kleene 1967:8 i 83). Podczas gdy logika intuicjonistyczna należy do kategorii „klasycznej”, sprzeciwia się rozszerzeniu operatora „dla wszystkich” na prawo wykluczonego środka; dopuszcza przypadki „Prawa”, ale nie jego uogólniania na nieskończoną dziedzinę dyskursu.

Logika intuicjonistyczna

„ Logika intuicjonistyczna ”, czasami bardziej ogólnie nazywana logiką konstruktywną , jest parapełną logiką symboliczną, która różni się od logiki klasycznej tym, że tradycyjne pojęcie prawdy zastępuje pojęciem konstruktywnej dowodliwości .

Uogólnione prawo wyłączonego środka nie jest częścią realizacji intuicjonistycznej logiki , ale nie jest on negowany. Logika intuicjonistyczna zabrania jedynie używania tej operacji jako części tego, co określa jako „ konstruktywny dowód ”, co nie jest równoznaczne z wykazaniem jej nieważności (jest to porównywalne z użyciem określonego stylu budowlanego, w którym wkręty są zakazane i tylko gwoździe są dozwolone, niekoniecznie obala czy wręcz kwestionuje istnienie lub przydatność wkrętów, a jedynie pokazuje, co można bez nich zbudować).

Logika parakonsystentna

„ Logika parakonsystentna ” odnosi się do tak zwanych tolerujących sprzeczności systemów logicznych, w których sprzeczność niekoniecznie prowadzi do trywializmu . Innymi słowy, w takiej logice nie obowiązuje zasada eksplozji . Niektórzy (m.in. dialetyści) twierdzą, że prawo niesprzeczności jest negowane przez logikę dialetyczną . Motywują je pewne paradoksy, które zdają się implikować granicę prawa niesprzeczności, czyli paradoks kłamcy . Aby uniknąć trywialnego systemu logicznego i nadal pozwalać na prawdziwość pewnych sprzeczności, dialeteiści będą posługiwać się pewnego rodzaju logiką parakonsystentną.

Logika trójwartościowa

TBD cf Logika trójwartościowa wypróbuj to A Arytmetyka i logika trójwartościowa – uczony semantyczny

Modalne rachunki zdań

(por. Kleene 1967:49): Te „ rachunki ” zawierają symbole ⎕A, co oznacza „A jest konieczne” i ◊A oznaczające „A jest możliwe”. Kleene stwierdza, że:

„Pojęcia te wchodzą w sferę myślenia, w której rozumie się, że istnieją dwa różne rodzaje „prawdy”, jedna bardziej uniwersalna lub przekonująca niż druga… Zoolog może stwierdzić, że niemożliwe jest, aby salamandry lub jakiekolwiek inne żywe stworzenia mogły przetrwać ogień, ale możliwe (choć nieprawdziwe), że istnieją jednorożce i możliwe (choć nieprawdopodobne), że istnieją obrzydliwe bałwany”.

Logika rozmyta

„ Logika rozmyta ” jest formą logiki wielowartościowej ; zajmuje się rozumowaniem, które jest przybliżone, a nie ustalone i dokładne.

Zobacz też

• Algebra pojęć

Bibliografia

• Arystoteles , „Kategorie”, Harold P. Cooke (tłum.), s. 1-109 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann , Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Arystoteles, „O interpretacji”, Harold P. Cooke (tłum.), s. 111-179 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Arystoteles, „ Prior Analytics ”, Hugh Tredennick ( tłum .), s. 181-531 w Arystoteles, tom. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londyn, Wielka Brytania, 1938.
• Boole, George , An Investigation of the Laws of Thought, na których ufundowane są matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa , Macmillan , 1854. Przedruk z poprawkami, Dover Publications , Nowy Jork, NY, 1958.
• Louis Couturat , przekład Lydii Gillingham Robinson, 1914, The Algebra of Logic , The Open Court Publishing Company, Chicago i Londyn. Pobrane przez googlebooks.
• Gödel 1944 logika matematyczna Russella w Kurt Gödel: Collected Works Volume II , Oxford University Press, New York, NY, ISBN  978-0-19-514721-6
• Sir William Hamilton, 9. baronet , ( Henry L. Mansel i John Veitch , red.), 1860 Wykłady z metafizyki i logiki, w dwóch tomach. Tom. II. Logika , Boston: Gould i Lincoln. Pobrane przez googlebooks.
• Stephen Cole Kleene , 1967, przedruk Logic matematyczny 2002, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN  0-486-42533-9 (pbk.)
• Ernest Nagel , James R. Newman , 1958, Dowód Gödla , New York University Press, LCCCN: 58-5610.
• Bertrand Russell , Problemy filozofii (1912), Oxford University Press, Nowy Jork, 1997, ISBN  0-19-511552-X .
• Arthur Schopenhauer , Świat jako wola i reprezentacja , tom 2, Dover Publications , Mineola, Nowy Jork, 1966, ISBN  0-486-21762-0
• Alfred Tarski , 1946 (wydanie drugie), wznowione 1995, Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych przetłumaczone przez Olafa Helmera, Dover Publications, Inc., Nowy Jork, ISBN  0-486-28462-X (pbk.)
• Jean van Heijenoort , 1967, Od Frege do Gödla: książka źródłowa w logice matematycznej, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  978-0-674-32449-7 (pbk)

• Emil Post , 1921, Wstęp do ogólnej teorii zdań elementarnych z komentarzem van Heijenoorta, s. 264 i nast.
• David Hilbert , 1927, Podstawy matematyki z komentarzem van Heijenoorta, s. 464nn
• Kurt Gödel , 1930a, Kompletność aksjomatów funkcjonalnego rachunku logicznego z komentarzem van Heijenoorta, s. 592 n.

• Alfred North Whitehead , Bertrand Russell . Principia Mathematica , 3 tomy, Cambridge University Press, 1910, 1912 i 1913. Wydanie drugie, 1925 (t. 1), 1927 (t. 2, 3). Skrócony jako Principia Mathematica do * 56 (wydanie drugie) , Cambridge University Press, 1962, bez LCCCN lub ISBN

Zewnętrzne linki

• James Danaher, „ Prawa myśli ” , Filozof , tom LXXXXII nr 1
• Peter Suber, „ Niesprzeczność i wykluczenie środka ” , Earlham College