Całkowita pochodna - Total derivative

Część serii artykułów o
Rachunek różniczkowy
Twierdzenie podstawowe integralna reguła Leibniza Granice funkcji Ciągłość Twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie Rolle'a
Mechanizm różnicowy Definicje Pochodna  ( uogólnienia ) Mechanizm różnicowy nieskończenie mały funkcji całkowity Koncepcje Notacja różniczkowa Druga pochodna Niejawne zróżnicowanie Różnicowanie logarytmiczne Powiązane stawki Twierdzenie Taylora Zasady i tożsamości Suma Produkt Łańcuch Moc Iloraz Zasada L'Hôpital Odwrotność Generał Leibniz Formuła Faà di Bruno
Całka Listy całek Transformacja całkowa Definicje Pochodna pierwotna Całka  ( niewłaściwa ) Całka Riemanna Integracja Lebesgue'a Integracja konturu Całka funkcji odwrotnych Integracja przez Części Dyski Cylindryczne muszle Podstawienie  ( trygonometryczne , Weierstrassa , Eulera ) Wzór Eulera Frakcje częściowe Zmiana kolejności Formuły redukcyjne Różniczkowanie pod znakiem całkowym Algorytm Richa
Seria Geometryczny  ( arytmetyczno-geometryczny ) Harmoniczny Zmienny Moc Dwumianowy Taylor Testy konwergencji Limit sumy (test terminowy) Stosunek Źródło Całka Bezpośrednie porównanie Porównanie limitów Seria naprzemienna Kondensacja Cauchy'ego Dirichlet Abel
Wektor Gradient Rozbieżność Kędzior Laplace'a Kierunkowa pochodna Tożsamości Twierdzenia Gradient Warzywa Stokesa Rozbieżność uogólniony Stokes
Wiele zmiennych Formalizmy Matryca Napinacz Zewnętrzny Geometryczny Definicje Częściowa pochodna Wielokrotna całka Całka liniowa Całka powierzchniowa Całka objętości Jakobian heski
Specjalistyczne Frakcyjny Maliavin Stochastyczny Wariacje
Różnorodny Wstępny rachunek różniczkowy Historia Słowniczek Lista tematów Pszczoła integracyjna Analiza
v T mi

W matematyce The całkowity pochodną z funkcji F w punkcie jest najlepiej liniowe przybliżenie w pobliżu tego punktu funkcji w odniesieniu do jej argumentów. W przeciwieństwie do pochodnych cząstkowych , pochodna całkowita przybliża funkcję w odniesieniu do wszystkich jej argumentów, a nie tylko jednego. W wielu sytuacjach jest to równoznaczne z równoczesnym rozpatrywaniem wszystkich pochodnych cząstkowych. Termin „pochodna całkowita” jest używany głównie, gdy f jest funkcją kilku zmiennych, ponieważ gdy f jest funkcją pojedynczej zmiennej, pochodna całkowita jest taka sama jak zwykła pochodna funkcji.

Całkowita pochodna jako odwzorowanie liniowe

Niech będzie otwartym podzbiorem . Wtedy mówi się, że funkcja jest ( całkowicie ) różniczkowalna w punkcie, jeśli istnieje transformacja liniowa taka, że ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f: U \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$${\displaystyle a\w U}$ ${\ Displaystyle df_ {a}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do {\ Frac {\ | f (x)-f (a)-df_ {a} (xa) \ |} {\ | xa \ |}} = 0.}$

Liniowym jest nazywana ( całkowity ) pochodną lub ( całkowity ) różnica w w . Inne oznaczenia całkowitej pochodnej obejmują i . Funkcja jest ( całkowicie ) różniczkowalna, jeśli jej całkowita pochodna istnieje w każdym punkcie jej dziedziny. ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D_{a}f}$${\ Displaystyle Df (a)}$

Koncepcyjnie definicja pochodnej całkowitej wyraża ideę, która jest najlepszym przybliżeniem liniowym do punktu . Można to precyzyjnie określić poprzez kwantyfikację błędu w aproksymacji liniowej wyznaczonej przez . Aby to zrobić, napisz ${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\ Displaystyle f (a + h) = f (a) + df_ {a} (h) + \ varepsilon (h)}$

gdzie równa się błędowi w przybliżeniu. Powiedzieć, że pochodna co to jest równoważne z oświadczeniem ${\ Displaystyle \ varepsilon (h)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon (h) = o (\ lVert h \ rVert),}$

gdzie jest notacją little-o i wskazuje, że jest znacznie mniejsza niż as . Całkowita pochodna jest unikalną transformacją liniową, dla której składnik błędu jest tak mały, iw tym sensie jest to najlepsze przybliżenie liniowe do . ${\displaystyle o}$${\ Displaystyle \ varepsilon (h)}$${\ Displaystyle \ lVert h \ rVert}$${\displaystyle h\do 0}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle f}$

Funkcja jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jej składników jest różniczkowalny, więc podczas badania pochodnych całkowitych często można obliczyć jedną współrzędną na raz w przeciwdziedzinie. Nie dotyczy to jednak współrzędnych w domenie. Prawdą jest, że jeśli jest różniczkowalna w , to każda pochodna cząstkowa istnieje w . Odwrotna jest fałszywe: Może się zdarzyć, że wszystkie pochodne cząstkowe w istnieje, ale nie jest różniczkowalna w . Oznacza to, że funkcja jest bardzo „szorstka” w , do takiego stopnia, że ​​jej zachowanie nie może być odpowiednio opisane przez jej zachowanie w kierunkach współrzędnych. Kiedy nie jest tak ciężko, to nie może się zdarzyć. Dokładniej, jeśli wszystkie pochodne cząstkowe w istnieją i są ciągłe w sąsiedztwie , to jest różniczkowalną na . Kiedy tak się dzieje, to dodatkowo pochodna całkowita jest transformacją liniową odpowiadającą jakobianowi macierzy pochodnych cząstkowych w tym punkcie. ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {i} \ dwukropek U \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\ Displaystyle \ częściowe f / \ częściowe x_ {i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

Pochodna zupełna jako forma różniczkowa

Gdy rozważana funkcja ma wartość rzeczywistą, pochodna całkowita może być przekształcona przy użyciu form różniczkowych . Załóżmy na przykład, że jest to różniczkowalna funkcja zmiennych . Całkowitą pochodną at można zapisać w postaci macierzy jakobianu, która w tym przypadku jest macierzą wierszową: ${\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$${\displaystyle x_{1},\ldots,x_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle Df_ {a} = {\ zacząć {bmatrix} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {1}}} (a) i \ cdots i {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy X_ {n}}}(a)\koniec{bmatrycy}}.}$

Własność aproksymacji liniowej całkowitej pochodnej implikuje, że jeśli

${\ Displaystyle \ Delta x = {\ zacząć {bmatrix} \ Delta x_ {1} i \ cdots i \ Delta x_ {n} \ koniec {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$

jest małym wektorem (gdzie oznacza transponowanie, więc ten wektor jest wektorem kolumnowym), wtedy ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\ Displaystyle f (a + \ delta x) - f (a) \ w przybliżeniu Df_ {a} \ cdot \ delta x = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

Heurystycznie sugeruje to, że jeśli są nieskończenie małe przyrosty w kierunkach współrzędnych, to ${\displaystyle dx_{1},\ldots,dx_{n}}$

${\ Displaystyle df_ {a} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {i}}} (a) \ cdot dx_ {i}.}$

W rzeczywistości pojęcie nieskończenie małe, które jest tutaj jedynie symboliczne, można wyposażyć w rozbudowaną strukturę matematyczną. Techniki, takie jak teoria form różniczkowych , skutecznie dają analityczne i algebraiczne opisy obiektów, takie jak nieskończenie małe przyrosty, . Na przykład może być wpisany jako funkcjonał liniowy w przestrzeni wektorowej . Obliczanie w wektorze w mierzy ile punktów w kierunku th współrzędnej. Pochodna całkowita jest kombinacją liniową funkcjonałów liniowych, a zatem sama jest funkcjonałem liniowym. Ocena mierzy ile punktów w kierunku wyznaczonym przez at , a ten kierunek jest gradientem . Ten punkt widzenia sprawia, że ​​pochodna całkowita jest instancją pochodnej zewnętrznej . ${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle df_{a}}$${\ Displaystyle df_ {a} (h)}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

Załóżmy teraz, że jest to funkcja o wartości wektorowej, czyli . W tym przypadku, komponenty o to funkcje o wartościach rzeczywistych, tak oni mają związane różniczkowych formy . Pochodna całkowita łączy te formy w jeden obiekt i dlatego jest instancją postaci różniczkowej o wartościach wektorowych . ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df_{i}}$${\displaystyle df}$

Reguła łańcucha dla całkowitych pochodnych

Reguła łańcucha ma szczególnie eleganckie zestawienie pod względem całkowitych pochodnych. Mówi, że dla dwóch funkcji i , całkowita pochodna funkcji złożonej w spełnia ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle d (g \ circ f) _ {a} = dg_ {f (a)} \ cdot df_ {a}.}$

Jeśli całkowite pochodne i są utożsamiane z ich macierzami jakobianu, to złożenie po prawej stronie jest po prostu mnożeniem macierzy. Jest to niezwykle przydatne w aplikacjach, ponieważ umożliwia uwzględnienie zasadniczo dowolnych zależności między argumentami funkcji złożonej. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Przykład: różnicowanie z bezpośrednimi zależnościami

Załóżmy, że f jest funkcją dwóch zmiennych x i y . Jeśli te dwie zmienne są niezależne, tak że dziedziną f jest , to zachowanie f można rozumieć w kategoriach jego pochodnych cząstkowych w kierunkach x i y . Jednak w niektórych sytuacjach x i y mogą być zależne. Na przykład może się zdarzyć, że f jest ograniczone do krzywej . W tym przypadku interesuje nas zachowanie funkcji złożonej . Pochodna cząstkowa f względem x nie daje rzeczywistej szybkości zmian f względem zmiany x, ponieważ zmiana x z konieczności zmienia y . Jednak reguła łańcucha dla całkowitej pochodnej uwzględnia takie zależności. Napisz . Wtedy zasada łańcucha mówi: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle y = y (x)}$${\displaystyle f(x,y(x))}$${\ Displaystyle \ gamma (x) = (x, y (x))}$

${\ Displaystyle d (f \ circ \ gamma ) _ {x_ {0}} = df_ {(x_ {0}, y (x_ {0}))} \ cdot d \ gamma _ {x_ {0}}.}$

Wyrażając pochodną całkowitą za pomocą macierzy Jakobian, otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x, y (x))} {dx}} (x_ {0}) = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} (x_ {0}, y ( x_{0}))\cdot {\frac {\częściowy x}{\częściowy x}}(x_{0})+{\frac {\częściowy f}{\częściowy y}}(x_{0},y (x_{0}))\cdot {\frac {\częściowy y}{\częściowy x}}(x_{0}).}$

Ukrywając ocenę przy dla czytelności, możemy też napisać to jako ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\częściowy f}{\częściowy x}}{\frac {\częściowy x}{\częściowy x}} +{\frac {\częściowy r}{\częściowy r}}{\frac {\częściowy r}{\częściowy x}}.}$

Daje to prosty wzór na pochodną w kategoriach pochodnych cząstkowych i pochodnej . ${\displaystyle f(x,y(x))}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle y (x)}$

Załóżmy na przykład

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

Szybkość zmiany f względem x jest zwykle pochodną cząstkową f względem x ; w tym przypadku,

${\displaystyle {\frac {\częściowy f}{\częściowy x}}=y.}$

Jednakże, jeśli T zależy od x , częściowe pochodne nie daje rzeczywisty wskaźnik zmiany f jako x zmian, ponieważ zakłada się, że częściowe pochodne Y jest stała. Załóżmy, że jesteśmy ograniczeni do linii

${\displaystyle y=x.}$

Następnie

${\ Displaystyle f (x, y) = f (x, x) = x ^ {2},}$

a całkowita pochodna f względem x to

${\ Displaystyle {\ Frac {df} {dx}} = 2x,}$

które widzimy nie jest równe pochodnej cząstkowej . Zamiast od razu podstawiać y za x , możemy również użyć reguły łańcucha, jak powyżej: ${\displaystyle \częściowe f/\częściowe x}$

${\ Displaystyle {\ Frac {df} {dx}} = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} + {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy y}} {\ Frac {dy} dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Przykład: różnicowanie z zależnościami pośrednimi

Chociaż często można wykonać podstawienia, aby wyeliminować pośrednie zależności, reguła łańcucha zapewnia bardziej wydajną i ogólną technikę. Załóżmy, że jest funkcją czasu i zmiennych, które same zależą od czasu. Wtedy pochodna po czasie wynosi ${\ Displaystyle L (t, x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dL} {dt}} = {\ Frac {d} {dt}} L {\ Bigl (} t, x_ {1} (t), \ ldots, x_ {n} (t) {\duży )}.}$

Reguła łańcucha wyraża tę pochodną w kategoriach pochodnych cząstkowych i pochodnych czasowych funkcji : ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x_{i}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {DL} {dt}} = {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy t}} + \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy L} \partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^ {n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Wyrażenie to jest często używane w fizyce na przemian o grubości od Lagrange'a jako dwie Lagrangians które różnią się tylko przez całkowitą pochodnej czasowej zależności od czasu i uogólnionych współrzędnych prowadzi do tych samych równań ruchu. Interesujący przykład dotyczy rozwiązania przyczynowości w teorii symetryczności czasowej Wheelera–Feynmana . Operator w nawiasach (w końcowym wyrażeniu powyżej) jest również nazywany całkowitym operatorem pochodnej (w odniesieniu do ). ${\ Displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Na przykład pochodna całkowita is ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$

${\ Displaystyle {\ Frac {df} {dt}} = {\ częściowe f \ nad \ częściowe x} {dx \ nad DT} + {\ częściowe f \ nad \ częściowe y} {dy \ nad dt}.}$

Tutaj nie ma terminu, ponieważ sam nie zależy bezpośrednio od zmiennej niezależnej . ${\ Displaystyle \ częściowe f/\ częściowe t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

Całkowite równanie różniczkowe

Całkowitej różnicy równanie jest A różnica równanie wyraża się w odniesieniu do sumy pochodne. Ponieważ pochodna zewnętrzna jest wolna od współrzędnych, w pewnym sensie, któremu można nadać znaczenie techniczne, takie równania są wewnętrzne i geometryczne .

Zastosowanie do układów równań

W ekonomii powszechne jest, że pochodna całkowita powstaje w kontekście układu równań. Na przykład prosty system podażowo-popytowy może określać ilość q produktu, na który popyt jest, jako funkcję D jego ceny p i dochodu konsumentów I , przy czym ten ostatni jest zmienną egzogeniczną , i może określać ilość dostarczaną przez producentów jako funkcję S jego ceny i dwie egzogeniczne zmienne kosztu zasobów r i w . Powstały układ równań

${\displaystyle q=D(p,I)}$

${\displaystyle q=S(p,r,w)}$

wyznacza wartości równowagi rynkowej zmiennych p i q . Całkowita pochodną o s w odniesieniu do R , na przykład, daje znak i wielkość reakcji ceny rynkowej do egzogennego zmienna R . We wskazanym systemie istnieje w sumie sześć możliwych pochodnych całkowitych, znanych również w tym kontekście jako porównawcze pochodne statyczne : dp / dr , dp / dw , dp / dl , dq / dr , dq / dw i dq / dl . Całkowite pochodne znajdują się przez całkowite zróżnicowanie układu równań, dzielenie przez, powiedzmy dr , traktując dq / dr i dp / dr jako niewiadome, ustawiając dI = dw = 0 i jednocześnie rozwiązując dwa całkowicie zróżnicowane równania, zwykle przez stosując regułę Cramera . ${\displaystyle dp/dr}$

Zobacz też

• Kierunkowa pochodna
• Gradient#Całkowita pochodna
• Pochodna Frécheta - uogólnienie pochodnej całkowitej

Bibliografia

• AD Polyanin i VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (wydanie 2) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2
• Z thesaurus.maths.org całkowita pochodna

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Całkowita pochodna” . MatematykaŚwiat .
• Ronald D. Kriz (2007) Przewidywanie całkowitych pochodnych funkcji skalarnych dwóch wymiarów przy użyciu podniesionych powierzchni i płaszczyzn stycznych z Virginia Tech