Przejście stanu - Transition of state

Część serii na
Mechanika kwantowa
${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ kapelusz {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Równanie Schrödingera
Wprowadzenie Słownik Historia Podręczniki
tło Mechanika klasyczna Stara teoria kwantowa Notacja biustonosza Hamiltonian Ingerencja
Podstawy Urodzona zasada Długość fali Comptona Konsekwencja Dekoherencja Komplementarność Poziom energii Splątanie Hamiltonian Zasada nieoznaczoności Stan podstawowy Amplituda prawdopodobieństwa Rozkład prawdopodobieństwa Ingerencja Pomiary Słaby pomiar Nielokalność Zauważalny Operator Kwant Fluktuacja kwantowa Liczba kwantowa Szum kwantowy Stan kwantowy System kwantowy Teleportacja kwantowa Qubit Obracać Nałożenie Stan próżni kwantowej Symetria (Spontaniczne) złamanie symetrii Stan próżni Propagacja fal Funkcja falowa Upadek funkcji falowej Dualizm korpuskularno-falowy Fala materii Prostokątna bariera potencjału Przestrzeń Focka
Efekty Efekt Zeemana Efekt Starka Efekt Aharonova – Bohma Kwantyzacja Landaua Kwantowy efekt Halla Efekt kwantowego zenona Tunelowanie kwantowe Efekt fotoelektryczny Efekt Kazimierza
Eksperymenty Nierówność Bella Davisson – Germer Podwójna szczelina Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nierówność Leggetta – Garga Mach – Zehnder Popper Gumka kwantowa  ( opóźniony wybór ) Kot Schrödingera Stern – Gerlach Wheeler z opóźnieniem w wyborze
Receptury Przegląd Dynamiczne obrazy ( Heisenberg ; Interakcja ; Schrödinger ) Matryca Przestrzeń fazowa Suma nad historiami (całka po ścieżce)
Równania Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integracja funkcjonalna
Interpretacje Przegląd Bayesian Spójne historie Kopenhaga de Broglie – Bohm Ensemble Ukryta zmienna Wiele światów Cel upadku Logika kwantowa Relacyjny Transakcyjne
Zaawansowane tematy Hipoteza termalizacji stanu własnego Wyżarzanie kwantowe Chaos kwantowy Obliczenia kwantowe Geometria kwantowa Macierz gęstości Kwantowa teoria pola Ułamkowa mechanika kwantowa Grawitacja kwantowa Informatyka kwantowa Uczenie maszynowe kwantowe Teoria zaburzeń (mechanika kwantowa) Relatywistyczna mechanika kwantowa Teoria rozpraszania Teoria nadciekłej próżni Spontaniczna parametryczna konwersja w dół Kwantowa mechanika statystyczna
Naukowcy Aharonov dzwon Blackett Bloch Bohm Bohr Urodzony Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilberta Jordania Kramers Pauli owieczka Lando Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Ramana Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Mechanika kwantowa
v t mi

W mechanice kwantowej , w szczególności w teorii zaburzeń , przejście stanu to zmiana z początkowego stanu kwantowego w końcowy.

Przejścia między stanami stacjonarnymi

Poniższe traktowanie jest dość powszechne w literaturze (choć tutaj jest nieco zaadaptowane) i często nazywane jest teorią zaburzeń zależnych od czasu w bardziej zaawansowanej formie.

Model

Zakładamy jednowymiarowy kwantowy oscylator harmoniczny o masie m i ładunku e . Wyrażenie na energię potencjalną tego systemu to oscylator harmoniczny.

${\ displaystyle V = {\ dfrac {1} {2}} kx ^ {2}}$ .

Całkowita funkcja falowa jest oznaczona przez Ψ ( x, t ) (duże Psi ), a przestrzenna część funkcji falowej to ψ ( x ) (małe litery psi). Ponieważ mamy do czynienia ze stanami stacjonarnymi , całkowita funkcja falowa jest rozwiązaniem równania Schrödingera i czyta

${\ Displaystyle \ Psi (x, t) = \ psi (x) \ exp \ lewo (-i {\ dfrac {E} {\ hbar}} t \ prawej)}$ ,

z wartością własną . ${\ displaystyle \ textstyle i \ hbar {\ frac {\ częściowe \ Psi} {\ częściowe t}} = E \ Psi}$

Prawdopodobieństwo przejścia z poziomu podstawowego oznaczonego 0 do poziomu oznaczonego 1 pod wpływem stymulacji elektromagnetycznej jest analizowane poniżej.

Model dwupoziomowy

W tej sytuacji zapisujemy całkowitą funkcję falową jako kombinację liniową dla systemu dwupoziomowego:

${\ Displaystyle \ Psi (x, t) = c_ {0} (t) \ psi _ {0} (x, t) + c_ {1} (t) \ psi _ {1} (x, t)}$

Współczynniki c _0,1 są zależne od czasu. Reprezentują one udział stanu (0,1) w całkowitej funkcji falowej w czasie, a zatem reprezentują prawdopodobieństwo, że funkcja falowa znajdzie się w jednym z dwóch stanów, gdy obserwator zapadnie się w funkcję falową.

Ponieważ mamy do czynienia z systemem dwupoziomowym, mamy relację normalizacji:

${\ Displaystyle \ langle \ Psi (x, t) | \ Psi (x, t) \ rangle = 1 \ Leftrightarrow {\ sqrt {| c_ {0} (t) | ^ {2} + | c_ {1} ( t) | ^ {2}}} = 1}$

Perturbacja

Stymulacja elektromagnetyczna będzie jednorodnym polem elektrycznym , oscylującym z częstotliwością ω. Jest to bardzo podobne do półklasycznej analizy zachowania atomu lub cząsteczki pod spolaryzowaną elektromagnetyczną falą płaską .

Zatem energia potencjalna będzie sumą niezakłóconego potencjału i perturbacji i odczytuje:

${\ Displaystyle V (x) = {\ dfrac {1} {2}} kx ^ {2} + e \ epsilon (t) x}$

Z równania Schrödingera do zależności c _{1 od} czasu

Równanie Schrödingera zostanie zapisane:

${\ Displaystyle \ lewo (- {\ dfrac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ dfrac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + V (x) \ prawej ) \ Psi (x, t) = i \ hbar {\ dfrac {\ części \ Psi (x, t)} {\ częściowe t}}}$

Operator energii w równaniu Schrödingera

Pochodna po czasie w prawej części równania Schrödingera brzmi:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ dfrac {\ częściowe \ Psi (x, t)} {\ częściowe t}} = ja \ hbar \ lewo (\ psi _ {0} \ exp \ lewo (-i {\ dfrac { E_ {0} t} {\ hbar}} \ right) \ left ({c_ {0}} '(t) -i {\ dfrac {E_ {0}} {\ hbar}} c_ {0} (t) \ right) + \ psi _ {1} \ exp \ left (-i {\ dfrac {E_ {1} t} {\ hbar}} \ right) \ left ({c_ {1}} '(t) -i {\ dfrac {E_ {1}} {\ hbar}} c_ {1} (t) \ right) \ right)}$

${\ Displaystyle ja \ hbar {\ dfrac {\ częściowe \ Psi (x, t)} {\ częściowe t}} = ja \ hbar \ lewo (\ Psi _ {0} \ lewo ({c_ {0}} '( t) -i {\ dfrac {E_ {0}} {\ hbar}} c_ {0} (t) \ right) + \ Psi _ {1} \ left ({c_ {1}} '(t) -i {\ dfrac {E_ {1}} {\ hbar}} c_ {1} (t) \ right) \ right)}$

Niezakłócony hamiltonian

Po prawej stronie, całkowity hamiltonian jest sumą niezakłóconego hamiltonianu (bez zewnętrznego pola elektrycznego) i zewnętrznego zaburzenia. Pozwala to na zastąpienie wartości własnych stanów stacjonarnych w całkowitym hamiltonianie. Tak piszemy:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} \ Psi (x, t) = \ lewo (E_ {0} c_ {0} (t) \ psi _ {0} (x, t) + E_ {1} c_ { 1} (t) \ Psi _ {1} (x, t) + e \ epsilon (t) x \ Psi (x, t) \ right)}$

Korzystając z powyższego równania Schrödingera, otrzymujemy

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) x \ psi (x, t) = ja \ hbar (c_ {1} '(t) \ psi _ {1} (x, t) + c_ {0}' (t) \ Psi _ {0} (x, t))}$

Wyodrębnij zależność czasu c ₁ ( t )

Używamy teraz notacji bra-ket, aby uniknąć kłopotliwych całek. To brzmi:

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) (c_ {1} (t) x | \ Psi _ {1} (x, t) \ rangle + c_ {0} (t) x | \ Psi _ {0} (x , t) \ rangle = i \ hbar (c_ {1} '(t) | \ Psi _ {1} (x, t) \ rangle + c_ {0}' (t) | \ Psi _ {0} (x , t) \ rangle)}$

Następnie mnożymy przez i otrzymujemy następujące ${\ displaystyle \ langle \ Psi _ {1} |}$

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) (c_ {1} (t) \ langle \ psi _ {1} | x | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {0} (t) \ langle \ psi _ { 1} | x | \ Psi _ {0} \ rangle) = i \ hbar \ left (c_ {1} '(t) \ langle \ Psi _ {1} | \ Psi _ {1} \ rangle + c_ {0 } '(t) \ langle \ Psi _ {1} | \ Psi _ {0} \ rangle \ right)}$

Te dwa różne poziomy są ortogonalne , więc . Pracujemy również ze znormalizowanymi funkcjami falowymi, więc . ${\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {1} | \ Psi _ {0} \ rangle = 0}$${\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {1} | \ Psi _ {1} \ rangle = 1}$

Wreszcie,

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) \ lewo (c_ {1} (t) \ langle \ psi _ {1} | x | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {0} (t) \ langle \ psi _ {1} | x | \ Psi _ {0} \ rangle \ right) = i \ hbar c_ {1} '(t)}$

To ostatnie równanie wyraża zmianę czasu c ₁ w czasie. To jest sedno naszych obliczeń, ponieważ do tego czasu możemy dokładnie wydedukować jego wyrażenie z otrzymanego równania różniczkowego.

Rozwiązywanie równania różniczkowego zależnego od czasu

Ogólnie rzecz biorąc , nie ma właściwego sposobu oceny , chyba że mamy dokładną wiedzę o dwóch niezakłóconych funkcjach falowych, to znaczy, jeśli nie możemy rozwiązać niezakłóconego równania Schrödingera. W przypadku potencjału harmonicznego rozwiązania funkcji falowych jednowymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego są znane jako wielomiany Hermite'a . ${\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {1} | x | \ Psi _ {0} \ rangle}$

Ustalenie równania różniczkowego pierwszego rzędu

Zrobiliśmy kilka założeń, aby dojść do efektu końcowego. Najpierw zakładamy, że c ₁ (0) = 0, ponieważ w chwili t = 0 interakcja pola z materią nie rozpoczęła się. To nakłada na normalizację całej funkcji falowej, że c ₀ (0) = 1. Używamy tych warunków i możemy napisać, przy t = 0:

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) \ langle \ Psi _ {1} | x | \ Psi _ {0} \ rangle = ja \ hbar c_ {1} '(t)}$

Ponownie, w tym nierelatywistycznym obrazie usuwamy zależność czasową na zewnątrz.

${\ Displaystyle e \ epsilon (t) \ exp \ lewo (-i {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ prawo) \ langle \ psi _ {1} | x | \ psi _ {0} \ rangle = i \ hbar c_ {1} '(t)}$

Wielkość nazywana jest całką momentu przejścia . Jej wymiary to [ładunek] · [długość] i jednostki SI A · s · m. ${\ Displaystyle e \ langle \ psi _ {1} | x | \ psi _ {0} \ rangle}$

Można go zmierzyć eksperymentalnie lub obliczyć analitycznie, jeśli zna się wyrażenie funkcji fali przestrzennej dla obu poziomów energii. Może tak być, jeśli mamy do czynienia z oscylatorem harmonicznym, tak jak tutaj. Nie zrobimy tego: jako moment przejścia z poziomu 0 na poziom 1. ${\ displaystyle \ mu _ {01}}$

Wreszcie kończymy

${\ Displaystyle c_ {1} '(t) = {\ dfrac {\ mu _ {01}} {i \ hbar}} \ epsilon (t) \ exp \ lewo (-i {\ dfrac {E_ {0} - E_ {1}} {\ hbar}} t \ right) \ Rightarrow c_ {1} (t ') = {\ dfrac {\ mu _ {01}} {i \ hbar}} \ int _ {0} ^ { t '} \ epsilon (t) \ exp \ left (-i {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ right) \ mathrm {d} t}$

Rozwiązywanie równania różniczkowego pierwszego rzędu

Pozostałym zadaniem jest całkowanie tego wyrażenia w celu uzyskania c ₁ ( t ). Musimy jednak przypomnieć sobie z poprzednich przybliżeń, które zrobiliśmy, że jesteśmy tutaj w czasie t = 0. Zatem rozwiązanie, które otrzymamy z całkowania będzie ważne tylko tak długo, jak długo | c ₀ ( t ) | ² jest nadal bardzo blisko 1, to znaczy przez bardzo krótki czas po tym, jak perturbacja zaczęła działać.

Przypuszczamy, że zaburzenie zależne od czasu ma następującą postać, aby ułatwić obliczenia.

${\ Displaystyle \ epsilon (t) = \ epsilon _ {0} \ exp (i \ omega t)}$

Jest to wielkość skalarna, ponieważ od początku zakładaliśmy skalarną cząstkę naładowaną i jednowymiarowe pole elektryczne.

Musimy więc zintegrować następujące wyrażenie:

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = {\ dfrac {\ mu _ {01} \ epsilon _ {0}} {i \ hbar}} \ int _ {0} ^ {t'} \ mathrm {d } t \ exp \ left (-i \ left ({\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} - \ omega \ right) t \ right)}$

Możemy pisać

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = {\ dfrac {\ mu _ {01} \ epsilon _ {0}} {i \ hbar}} \ int _ {0} ^ {t'} \ mathrm {d } t \ exp \ left (-i {\ frac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ right) \ exp ({i \ omega t}) = \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} t \ exp \ left (-i {\ frac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ right) H \ left ({\ frac {t} {t '}} - {\ frac {1} {2}} \ right) \ exp \ left (i \ omega t \ right)}$

i dokonując zmiany zmiennej otrzymujemy poprawną postać transformaty Fouriera: ${\ displaystyle t \ rightarrow -t}$

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} t \ exp \ left (ja {\ frac {E_ {0} -E_ {1 }} {\ hbar}} t \ right) H \ left (- {\ frac {t} {t '}} - {\ frac {1} {2}} \ right) \ exp \ left (-i2 \ pi \ nu t \ right)}$

Korzystanie z transformaty Fouriera

gdzie jest funkcja prostokątna . Z poprzedniego równania zauważamy, że c ₁ ( t ) jest transformatą Fouriera iloczynu cosinusa o kwadracie o szerokości t ' . Odtąd formalizm transformat Fouriera ułatwi pracę. ${\ displaystyle H}$

Mamy

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = \ mathrm {TF} \ lewo [\ exp {\ lewo (ja {\ Frac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ prawo) } H \ left (- {\ frac {t} {t '}} - {\ dfrac {1} {2}} \ right) \ right] = \ mathrm {TF} \ left [\ exp {\ left (i {\ frac {E_ {0} -E_ {1}} {\ hbar}} t \ right)} \ right] \ otimes \ mathrm {TF} \ left [H \ left (- {\ frac {t} {t '}} - {\ dfrac {1} {2}} \ right) \ right]}$

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = \ delta \ lewo (f - {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {h}} \ prawo) \ otimes \ mathrm {TF} \ lewo [ H \ left ({\ frac {t} {t '}} - {\ dfrac {1} {2}} \ right) \ right]}$

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = \ delta \ lewo (f - {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {h}} \ prawej) \ otimes (\ exp ({i \ pi ft '}) \ mathrm {sinc} (t'f))}$

Gdzie sinc jest funkcją zatoki kardynalnej w jej znormalizowanej formie. Splot z rozkładem Diraca przetłumaczy termin po lewej stronie znaku. ${\ displaystyle \ otimes}$

W końcu otrzymujemy

${\ Displaystyle c_ {1} (t ') = \ exp \ lewo ({i \ pi \ lewo (f - {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {h}} \ prawo) t'} \ right) \ mathrm {sinc} \ left (t '\ left (f - {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} {h}} \ right) \ right)}$

Interpretacja

Prawdopodobieństwo przejścia określa się ogólnie dla systemu wielopoziomowego za pomocą następującego wyrażenia:

${\ Displaystyle P_ {k} = \ suma _ {n \ neq k} c_ {n} ^ {*} (t) c_ {n} (t)}$

Ostateczny wynik

Odpowiada prawdopodobieństwu znalezienia się w stanie 1 . Jest to naprawdę łatwe do obliczenia na podstawie wszystkich żmudnych obliczeń, które wykonaliśmy wcześniej. Obserwujemy w równaniu, które ma bardzo proste wyrażenie. Rzeczywiście, czynnik fazowy, zmieniający się wraz z t , znika w sposób naturalny. ${\ Displaystyle | c_ {1} (t) | ^ {2}}$${\ Displaystyle | c_ {1} (t) | ^ {2}}$

Więc otrzymujemy wyrażenie

${\ Displaystyle | c_ {1} (t) | ^ {2} = \ mathrm {sinc} ^ {2} \ lewo (t \ lewo (f - {\ dfrac {E_ {0} -E_ {1}} { h}} \ right) \ right)}$

Wniosek

Postawiliśmy hipotezę, że stymulacja była złożonym wykładnikiem. Jednak prawdziwe pole elektryczne jest naprawdę cenne. Powinna to wziąć pod uwagę dalsza analiza. Ponadto zawsze zakładamy, że t jest bardzo małe. Powinniśmy o tym pamiętać przed zakończeniem.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Mechanika kwantowa , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 1998, ISBN   007-0540187
• Mechanika kwantowa , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN   007-145533-7 ISBN   978-007-145533-6
• Mechanika kwantowa Demystified , D.McMahon , McGraw Hill (USA), 2006, ISBN   0-07-145546 9
• Mechanika kwantowa , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN   978-0-13-146100-0
• Stacjonarne Stany , A. Holden, College Physics Monographs (USA), Oxford University Press, 1971, ISBN   0-19-851121-3

Zobacz też

• Liczba kwantowa
• Mechaniczna próżnia kwantowa lub stan próżni
• Wirtualna cząstka
• Stan stabilny
• Operator (fizyka)
• Prawdopodobieństwo
• Integracja
• Równanie różniczkowe
• Analiza numeryczna