Struktura algebraiczna - Algebraic structure
Struktury algebraiczne |
---|
W matematyce An algebraiczna struktura składa się z niepusty zestaw A (zwanej odnośnego zestawu , zestaw nośny lub domeny ) zbiór operacji na A skończoną liczbę operandów (zwykle operacji binarnych ) i skończony zestaw identyfikatorów , znanych jako axioms , że te operacje muszą spełniać.
Struktura algebraiczna może być oparta na innych strukturach algebraicznych z operacjami i aksjomatami obejmującymi kilka struktur. Na przykład przestrzeń wektorowa obejmuje drugą strukturę zwaną polem oraz operację zwaną mnożeniem przez skalar między elementami pola (zwanymi skalarami ) a elementami przestrzeni wektorowej (zwanymi wektorami ).
W kontekście algebry uniwersalnej zbiór A o tej strukturze nazywamy algebrą , podczas gdy w innych kontekstach nazywa się ją (nieco niejednoznacznie) strukturą algebraiczną , przy czym termin algebra jest zarezerwowany dla określonych struktur algebraicznych, które są przestrzeniami wektorowymi nad pole lub moduły w pierścieniu przemiennym .
Właściwości określonych struktur algebraicznych są badane w algebrze abstrakcyjnej . Ogólna teoria struktur algebraicznych została sformalizowana w algebrze uniwersalnej. Język teorii kategorii służy do wyrażania i badania relacji między różnymi klasami obiektów algebraicznych i niealgebrycznych. Dzieje się tak, ponieważ czasami można znaleźć silne powiązania między niektórymi klasami obiektów, czasami różnego rodzaju. Na przykład teoria Galois ustanawia związek między pewnymi ciałami i grupami: dwiema strukturami algebraicznymi różnego rodzaju.
Wstęp
Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych to prototypowe przykłady operacji, które łączą dwa elementy zbioru w celu uzyskania trzeciego elementu zbioru. Operacje te podlegają kilku prawom algebraicznym. Na przykład a + ( b + c ) = ( a + b ) + c i a ( bc ) = ( ab ) c jako prawa asocjacyjne . Również a + b = b + a i ab = ba jako prawa przemienne. Wiele systemów badanych przez matematyków ma operacje, które są zgodne z niektórymi, ale niekoniecznie wszystkimi prawami zwykłej arytmetyki. Na przykład rotacje obiektu w przestrzeni trójwymiarowej można łączyć, na przykład wykonując pierwszy obrót na obiekcie, a następnie stosując drugi obrót w jego nowej orientacji dokonanej przez poprzedni obrót. Rotacja jako operacja podlega prawu skojarzeń, ale może nie spełniać prawa przemiennego.
Matematycy nadają nazwy zbiorom zawierającym jedną lub więcej operacji, które podlegają określonemu zbiorowi praw, i badają je w sposób abstrakcyjny jako struktury algebraiczne. Kiedy można wykazać, że nowy problem jest zgodny z prawami jednej z tych struktur algebraicznych, cała praca wykonana w przeszłości nad tą kategorią może być zastosowana do nowego problemu.
Ogólnie rzecz biorąc, struktury algebraiczne mogą obejmować dowolny zbiór operacji, w tym operacje, które łączą więcej niż dwa elementy ( operacje o większej arności ) oraz operacje, które przyjmują tylko jeden argument ( operacje jednoargumentowe ). Przykłady użyte tutaj nie są kompletną listą, ale mają być reprezentatywną listą i obejmują najczęstsze struktury. Dłuższe listy struktur algebraicznych można znaleźć w linkach zewnętrznych oraz w kategorii:Struktury algebraiczne . Struktury są wymienione w przybliżonej kolejności rosnącej złożoności.
Przykłady
Jeden zestaw z operacjami
Proste struktury : bez operacji binarnych :
- Zbiór : zdegenerowana struktura algebraiczna S bez operacji.
- Zestaw spiczasty : S ma jeden lub więcej wyróżnionych elementów, często 0, 1 lub oba.
- System jednoargumentowy: S i pojedyncza operacja jednoargumentowa nad S .
- Zaostrzony układ jednoargumentowy : układ jednoargumentowy z S zbiorem ostro zakończonym.
Struktury grupopodobne : jedna operacja binarna. Operacja binarna może być oznaczona dowolnym symbolem lub bez symbolu (zestawienie), jak to ma miejsce w przypadku zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych.
- Magma lub groupoid : S i pojedyncza operacja binarna nad S .
- Półgrupa : magma asocjacyjna .
- Monoid : półgrupa z elementem tożsamości .
- Grupa : monoid o działaniu jednoargumentowym (odwrotnym), dający początek elementom odwrotnym .
- Grupa abelowa : grupa, której działanie binarne jest przemienne .
- Semilattice : półgrupa, której działanie jest idempotentne i przemienne. Operację binarną można nazwać albo meet lub join .
- Quasigroup : magma podlegająca własności kwadratu łacińskiego. Quasigrupa może być również reprezentowana za pomocą trzech operacji binarnych.
- Pętla : quasigrupa z tożsamością .
Struktury podobne do pierścienia lub Ringoidy : dwie operacje binarne, często nazywane dodawaniem i mnożeniem , z rozłożeniem mnożenia na dodawanie.
- Semiring : ringoid taki, że S jest monoidem w każdej operacji. Zazwyczaj zakłada się, że dodawanie jest przemienne i asocjacyjne, i zakłada się, że produkt monoidowy rozprowadza się po dodaniu po obu stronach, a tożsamość dodatku 0 jest elementem absorbującym w tym sensie, że 0 x = 0 dla wszystkich x .
- Near-ring : semiring, którego addytywny monoid jest (niekoniecznie abelową) grupą.
- Ring : półpierścień, którego monoidem addycyjnym jest grupa abelowa.
- Pierścień kłamstwa : ringoid, którego addytywny monoid jest grupą abelową, ale którego działanie multiplikatywne spełnia raczej tożsamość Jacobiego niż asocjatywność.
- Pierścień przemienny : pierścień, w którym operacja mnożenia jest przemienna.
- Pierścień Boole'a : pierścień przemienny z idempotentną operacją mnożenia.
- Pole : pierścień przemienny zawierający odwrotność multiplikatywną dla każdego elementu niezerowego.
- Algebry Kleene : półpierścień z dodawaniem idempotentnym i jednoargumentowym działaniem, gwiazda Kleene , spełniająca dodatkowe własności.
- *-algebra : pierścień z dodatkową operacją jednoargumentową (*) spełniającą dodatkowe własności.
Struktury kratowe : dwie lub więcej operacji binarnych, w tym operacje zwane meet i join , połączone prawem absorpcji .
- Pełna krata : krata, w której istnieją arbitralne spotkania i połączenia .
- Krata ograniczona : krata z największym i najmniejszym elementem.
- Dopełniona krata : ograniczona krata z jednoargumentową operacją, dopełnieniem, oznaczona przyrostkiem ⊥ . Połączenie elementu z jego dopełnieniem jest elementem największym, a spotkanie tych dwóch elementów jest elementem najmniejszym.
- Krata modułowa : krata, której elementy spełniają dodatkową tożsamość modułową .
- Rozdzielnia kratownica : kratą, w której każdy z spotykają się i dołącz dystrybuuje ponad drugą. Kraty rozdzielcze są modułowe, ale odwrotność się nie sprawdza.
- Algebra Boole'a : uzupełniona siatka rozdzielcza. Jedno ze spotkań lub dołączenia można zdefiniować w kategoriach drugiego i komplementarności. Można wykazać, że jest to równoważne ze strukturą podobną do pierścienia o tej samej nazwie powyżej.
-
Algebra Heytinga : ograniczona siatka rozdzielcza z dodaną operacją binarną, względnym pseudodopełnieniem , oznaczona przez wrostek → i zarządzana przez aksjomaty:
- x → x = 1
- x ( x → y ) = x y
- y ( x → y ) = y
- x → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )
Arytmetyka : dwie operacje binarne , dodawanie i mnożenie. S jest zbiorem nieskończonym . Arytmetyka to wskazywane systemy jednoargumentowe, których jednoargumentowe działanie jest następcą iniektywnym i z wyróżnionym elementem 0.
- Arytmetyka Robinsona . Dodawanie i mnożenie są rekurencyjnie definiowane za pomocą następcy. 0 jest elementem tożsamości dla dodawania i anihilacji mnożenia. Arytmetyka Robinsona jest tutaj wymieniona, mimo że jest odmianą, ze względu na jej bliskość do arytmetyki Peano.
- Arytmetyka Peano . Robinson arytmetyczna z schemat aksjomatu o indukcji . Większość aksjomatów pierścienia i pola odnoszących się do własności dodawania i mnożenia to twierdzenia arytmetyki Peano lub jej odpowiednich rozszerzeń.
Dwa zestawy z operacjami
Moduł -jak struktury: układy kompozytowe obejmujące dwa zestawy, w których pracuje na co najmniej dwóch operacji binarnych.
- Grupa z operatorami : grupa G ze zbiorem Ω i operacją binarną Ω × G → G spełniającą pewne aksjomaty.
- Moduł : grupa abelowa M i pierścień R działające jako operatory na M . Elementy R są czasami nazywane skalarami , a binarną operacją mnożenia przez skalar jest funkcja R × M → M , która spełnia kilka aksjomatów. Licząc operacje pierścieniowe, te systemy mają co najmniej trzy operacje.
- Przestrzeń wektorowa : moduł , w którym pierścień R jest pierścieniem podziału lub polem .
- Gradowana przestrzeń wektorowa : przestrzeń wektorowa z rozkładem sumy bezpośredniej, dzielącym przestrzeń na „stopnie”.
- Przestrzeń kwadratowa : przestrzeń wektorowa V nad ciałem F z formą kwadratową na V przyjmującą wartości w F .
Algebra -jak struktury : zespolonych zdefiniowane w dwóch zestawach, pierścień R i R -module M wyposażony w operacji zwanej mnożenia. Można to postrzegać jako system z pięcioma operacjami binarnymi: dwie operacje na R , dwie na M i jedna obejmująca zarówno R jaki M .
- Algebra nad pierścieniem (również R-algebra ): moduł nad przemiennym pierścieniem R , który również wykonuje operację mnożenia, która jest zgodna ze strukturą modułu. Obejmuje to rozdzielność względem dodawania i liniowości w odniesieniu do mnożenia przez elementy R . Szczególnie dobrze rozwinięta jest teoria algebry nad ciałem .
- Algebra asocjacyjna : algebra na pierścieniu , w której mnożenie jest asocjacyjne .
- Algebra nieasocjacyjna : moduł nad pierścieniem przemiennym, wyposażony w operację mnożenia pierścienia, która niekoniecznie jest asocjacyjna. Często asocjatywność jest zastępowana inną tożsamością, taką jak alternacja , tożsamość Jacobiego lub tożsamość Jordana .
- Coalgebra : przestrzeń wektorowa z „współmnożeniem” zdefiniowanym podwójnie do algebr asocjacyjnych.
- Algebra Liego : specjalny rodzaj algebry nieskojarzeniowej , której iloczyn spełnia tożsamość Jacobiego .
- Lie cogebra : przestrzeń wektorowa z „współmnożeniem” zdefiniowanym podwójnie do algebr Liego.
- Algebra stopniowana : stopniowana przestrzeń wektorowa ze strukturą algebry zgodną ze stopniowaniem. Chodzi o to, że jeśli znane są stopnie dwóch pierwiastków a i b, to znany jest stopień ab , a więc położenie iloczynu ab jest określane podczas rozkładu.
- Wewnętrzna przestrzeń produktu : przestrzeń wektorów F V o określonej postaci dwuliniowej V × V → F .
Cztery lub więcej operacji binarnych:
- Bialgebra : algebra asocjacyjna z kompatybilną strukturą koalgebry.
- Bialgebra Liego : algebra Liego z kompatybilną strukturą biagebry.
- Algebra Hopfa : bialgebra z aksjomatem połączenia (antypoda).
- Algebra Clifforda : stopniowana algebra asocjacyjna wyposażona w iloczyn zewnętrzny, z którego można wyprowadzić kilka możliwych iloczynów wewnętrznych. Algebry zewnętrzne i algebry geometryczne są szczególnymi przypadkami tej konstrukcji.
Konstrukcje hybrydowe
Struktury algebraiczne mogą również współistnieć z dodanymi strukturami o charakterze niealgebraicznym, takimi jak porządek częściowy lub topologia . Dodana struktura musi być w pewnym sensie zgodna ze strukturą algebraiczną.
- Grupa topologiczna : grupa o topologii zgodnej z działaniem grupy.
- Grupa Liego : grupa topologiczna o kompatybilnej gładkiej strukturze rozmaitości .
- Uporządkowane grupy , uporządkowane pierścienie i uporządkowane pola : każdy typ struktury z kompatybilnym porządkiem częściowym .
- Grupa Archimedesa : liniowo uporządkowana grupa, dla której obowiązuje własność Archimedesa .
- Topologiczna przestrzeń wektorowa : przestrzeń wektorowa, której M ma zgodną topologię.
- Znormalizowana przestrzeń wektorowa : przestrzeń wektorowa ze zgodną normą . Jeżeli taka przestrzeń jest zupełna (jako przestrzeń metryczna) to nazywamy ją przestrzenią Banacha .
- Przestrzeń Hilberta : przestrzeń iloczynu wewnętrznego nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, której iloczyn wewnętrzny daje początek strukturze przestrzeni Banacha.
- Algebra operatorów wierzchołków
- Algebra von Neumanna : *-algebra operatorów w przestrzeni Hilberta wyposażona w topologię słabych operatorów .
Algebra uniwersalna
Struktury algebraiczne są definiowane poprzez różne konfiguracje aksjomatów . Algebra uniwersalna abstrakcyjnie bada takie obiekty. Jedna z głównych dychotomii dotyczy struktur, które są całkowicie zaksjomatyzowane przez tożsamości i struktur, które nie są. Jeśli wszystkie aksjomaty określające klasę algebr są tożsamości, to klasa jest różnorodność (nie mylić z algebraicznych odmian z geometrii algebraicznej ).
Tożsamości są równaniami sformułowanymi przy użyciu tylko operacji, na które pozwala struktura, oraz zmiennych, które są milcząco uniwersalnie kwantyfikowane w odpowiednim wszechświecie . Tożsamości nie zawierają spójników , egzystencjalnie ilościowo zmienne lub relacji jakiegokolwiek rodzaju innych niż dozwolonych operacji. Badanie rozmaitości jest ważną częścią algebry uniwersalnej . Strukturę algebraiczną w rozmaitości można rozumieć jako algebra ilorazu algebry terminów (zwanej również „ algebrą całkowicie swobodną ”) podzieloną przez relacje równoważności generowane przez zbiór tożsamości. Tak więc zbiór funkcji o podanych sygnaturach generuje algebrę swobodną, termin algebra T . Mając zbiór identyczności równań (aksjomaty), można rozważyć ich symetryczne, przechodnie domknięcie E . Algebra ilorazu T / E jest więc strukturą algebraiczną lub rozmaitością. I tak np. grupy mają sygnaturę zawierającą dwa operatory: operator mnożenia m , przyjmujący dwa argumenty i operator odwrotny i , przyjmujący jeden argument oraz element tożsamości e , stałą, którą można uznać za operator przyjmujący zero argumenty. Mając (policzalny) zbiór zmiennych x , y , z , itd. termin algebra jest zbiorem wszystkich możliwych terminów obejmujących m , i , e oraz zmienne; więc na przykład m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) będzie elementem terminu algebra. Jednym z aksjomatów definiujących grupę jest tożsamość m ( x , i ( x ))= e ; innym jest m ( x , e ) = x . Aksjomaty mogą być reprezentowane jako drzewa . Te równania indukują klasy równoważności w algebrze swobodnej; algebra ilorazów ma wtedy strukturę algebraiczną grupy.
Niektóre struktury nie tworzą odmian, ponieważ albo:
- Konieczne jest, aby 0 1, 0 było addytywnym elementem tożsamościowym, a 1 multiplikatywnym elementem tożsamościowym, ale jest to nietożsamość;
- Struktury, takie jak pola, mają pewne aksjomaty, które dotyczą tylko niezerowych członków S . Aby struktura algebraiczna była rozmaitością, jej działania muszą być zdefiniowane dla wszystkich elementów S ; nie może być operacji częściowych.
Struktury, których aksjomaty nieuchronnie zawierają nietożsamości, należą do najważniejszych w matematyce, np. pola i pierścienie podziału . Struktury z nietożsamościami stanowią wyzwanie, którego nie mają odmiany. Na przykład iloczyn bezpośredni dwóch zmiennych nie jest zmienną, ponieważ , ale pola nie mają dzielników zera .
Teoria kategorii
Teoria kategorii to kolejne narzędzie do badania struktur algebraicznych (patrz na przykład Mac Lane 1998). Kategoria to zbiór obiektów z powiązanymi morfizmami. Każda struktura algebraiczna ma swoje własne pojęcie homomorfizmu , a mianowicie dowolną funkcję zgodną z operacjami definiującymi strukturę. W ten sposób każda struktura algebraiczna daje początek kategorii . Na przykład kategoria grup zawiera wszystkie grupy jako obiekty i wszystkie homomorfizmy grup jako morfizmy. Ta konkretna kategoria może być postrzegana jako kategoria zbiorów z dodaną strukturą teoretyczno-kategoriową. Podobnie kategoria grup topologicznych (których morfizmy są homomorfizmami grup ciągłych) jest kategorią przestrzeni topologicznych o dodatkowej strukturze. Zapominalski funktor między kategoriami struktur algebraicznych „zapomina” częścią struktury.
W teorii kategorii istnieją różne koncepcje, które próbują uchwycić algebraiczny charakter kontekstu, na przykład
- kategoria algebraiczna
- zasadniczo kategoria algebraiczna
- reprezentacyjna kategoria
- lokalnie prezentowana kategoria
- funktory i kategorie monadyczne
- własność powszechna .
Różne znaczenia „struktury”
W przypadku lekkiego nadużycia notacji słowo „struktura” może również odnosić się tylko do operacji na strukturze, a nie do samego zbioru. Na przykład zdanie „Zdefiniowaliśmy strukturę pierścienia na zestawie ” oznacza, że zdefiniowaliśmy operacje pierścieniowe na zestawie . Na inny przykład grupę można traktować jako zbiór wyposażony w strukturę algebraiczną, a mianowicie operację .
Zobacz też
- Bezpłatny obiekt
- Lista struktur algebraicznych
- Struktura matematyczna
- Zarys struktur algebraicznych
- Podpis (logika)
- Struktura (logika matematyczna)
Uwagi
Bibliografia
- Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Algebra stosowana i analiza funkcjonalna , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
- Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), A Course in Universal Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3
- Teoria kategorii
- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (wyd. 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
- Taylor, Paul (1999), Praktyczne podstawy matematyki , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5
Zewnętrzne linki
- Struktury algebry Jipsena. Zawiera wiele struktur nie wymienionych tutaj.
- Strona Mathworld na algebrze abstrakcyjnej.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy : Algebra autorstwa Vaughana Pratta .