Czworościan - Tetrahedron
Czworościan regularny | |
---|---|
(Kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy) |
|
Rodzaj | Bryła platońska |
krótki kod | 3> 2z |
Elementy |
F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2) |
Twarze po bokach | 4{3} |
notacja Conway | T |
Symbole Schläfli | {3,3} |
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2} | |
Konfiguracja twarzy | V3.3.3 |
Symbol Wythoffa | 3 | 2 3 | 2 2 2 |
Schemat Coxetera |
= |
Symetria | T d , A 3 , [3,3], (*332) |
Grupa rotacyjna | T , [3,3] + , (332) |
Bibliografia | U 01 , C 15 , W 1 |
Nieruchomości | regularny , wypukły deltahedron |
Kąt dwuścienny | 70,528779° = arccos( 1 ⁄ 3 ) |
3.3.3 ( rysunek wierzchołka ) |
Self-dual ( podwójny wielościan ) |
Internet |
W geometrii , A Tetrahedron (mnogiej: czworościanów lub czworościanów ), znany również jako trójkątne piramidy , jest wielościanem składa się z czterech trójkątnych powierzchniach , sześć prostych krawędziach , oraz czterech rogach wierzchołków . Czworościan jest najprostszym ze wszystkich zwykłych wielościanów wypukłych i jedynym, który ma mniej niż 5 ścian.
Czworościan jest trójwymiarowym przypadkiem bardziej ogólnej koncepcji euklidesowego simpleksu , a zatem może być również nazwany 3-simpleksem .
Czworościan to jeden rodzaj piramidy , który jest wielościanem o płaskiej podstawie wielokąta i trójkątnych ścianach łączących podstawę ze wspólnym punktem. W przypadku czworościanu podstawą jest trójkąt (każda z czterech ścian może być uważana za podstawę), dlatego czworościan jest również znany jako „ostrosłup trójkątny”.
Jak wszystkie wielościany wypukłe , czworościan można złożyć z jednego arkusza papieru. Posiada dwie takie sieci .
Dla każdego czworościanu istnieje sfera (zwana okołosferą ), na której leżą wszystkie cztery wierzchołki oraz inna sfera ( insfera ) styczna do ścian czworościanu.
Czworościan regularny
Regularne czworościanu jest czworościan, w którym wszystkie cztery twarze są trójkąta równobocznego . Jest to jedna z pięciu regularnych brył platońskich , znanych od starożytności.
W czworościanie foremnym wszystkie ściany mają ten sam rozmiar i kształt (przystają), a wszystkie krawędzie mają tę samą długość.
Same regularne czworościany nie tworzą tesselacji (wypełniają przestrzeń), ale jeśli występują naprzemiennie z regularnymi ośmiościanami w stosunku dwóch czworościanów do jednego ośmiościanu, tworzą naprzemienny sześcienny plaster miodu , który jest teselacją. Niektóre czworościany, które nie są regularne, w tym ortoschemat Schläfli i czworościan wzgórza , mogą teselować .
Czworościan foremny jest samopodwójny, co oznacza, że jego podwójna jest kolejnym czworościanem foremnym. Związek rysunku, obejmujący dwie takie podwójne postaci czworościanów gwiazdowaty ośmiokąta lub Stella octangula.
Współrzędne dla czworościanu foremnego
Następujące współrzędne kartezjańskie definiują cztery wierzchołki czworościanu o długości krawędzi 2, wyśrodkowanej na początku i dwóch krawędziach poziomu:
Wyrażone symetrycznie jako 4 punkty na sferze jednostkowej , środek ciężkości w początku, z niższym poziomem powierzchni, wierzchołki to:
o długości krawędzi .
Jeszcze inny zestaw współrzędnych jest oparty na naprzemiennym sześcianie lub demicube o długości krawędzi 2. Ta forma ma diagram Coxetera i symbol Schläfliego h{4,3}. Czworościan w tym przypadku ma długość krawędzi 2 √ 2 . Odwrócenie tych współrzędnych generuje podwójny czworościan, a para razem tworzy gwiaździsty ośmiościan, którego wierzchołki są wierzchołkami oryginalnego sześcianu.
- Czworościan: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
- Podwójny czworościan: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)
Kąty i odległości
Dla czworościanu foremnego o długości krawędzi a :
Obszar twarzy | |
Powierzchnia | |
Wysokość piramidy | |
Odległość od środka ciężkości do wierzchołka | |
Odległość od krawędzi do przeciwległej krawędzi | |
Tom | |
Kąt twarz-wierzchołek-krawędź |
(ok. 54,7356°) |
Kąt twarz-krawędź-twarz , tj. „kąt dwuścienny” |
(ok. 70.5288°) |
Kąt Vertex-Center-Vertex, kąt między liniami od środka czworościanu do dowolnych dwóch wierzchołków. Jest to również kąt pomiędzy granicami płaskowyżu na wierzchołku. W chemii nazywa się to kątem wiązania czworościennego . Ten kąt (w radianach) jest jednocześnie długością łuku segmentu geodezyjnego na sferze jednostkowej wynikającą z centralnego rzutu jednej krawędzi czworościanu na sferę. |
(ok. 109.4712°) |
Kąt bryłowy w wierzchołku zależnym od ściany |
(ok. 0,55129 steradianów ) (ok. 1809,8 stopni kwadratowych ) |
Promień circumsphere | |
Promień insfery styczny do twarzy | |
Promień środkowej kuli stycznej do krawędzi | |
Promień ciał zewnętrznych | |
Odległość do środka ekssfery od przeciwległego wierzchołka |
W odniesieniu do płaszczyzny bazowej nachylenie lica (2 √ 2 ) jest dwukrotnie większe od krawędzi ( √ 2 ), co odpowiada faktowi, że pozioma odległość pokonywana od podstawy do wierzchołka wzdłuż krawędzi jest dwukrotnie większa niż wzdłuż mediana twarzy. Innymi słowy, jeśli C jest środkiem ciężkości podstawy, odległość od C do wierzchołka podstawy jest dwa razy większa od C do środka krawędzi podstawy. Wynika to z faktu, że mediany trójkąta przecinają się w jego środku ciężkości, a ten punkt dzieli każdy z nich na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego (patrz dowód ).
Dla czworościanu foremnego o długości boku a , promieniu R sfery opisującej i odległości d i od dowolnego punktu w przestrzeni 3 do jego czterech wierzchołków
Izometrie czworościanu foremnego
Wierzchołki sześcianu można pogrupować w dwie grupy po cztery, z których każda tworzy regularny czworościan (patrz wyżej, a także animacja , przedstawiająca jeden z dwóch czworościanów w sześcianie). W symetrie o czworościanu foremnego odpowiadają połowie tych sześcianu: te, które map czworościany do siebie, a nie dla siebie.
Czworościan jest jedyną bryłą platońską, która nie jest odwzorowana na siebie przez odwrócenie punktu .
Regularne Tetrahedron ma 24 izometryczne, tworząc grupy symetrii T d , [33] (* 332), izomorficzne z grupy symetrycznie , S 4 . Można je podzielić na następujące kategorie:
-
T , [3,3] + , (332) jest izomorficzna do grupy przemiennej , A 4 (tożsamość i 11 obrotów właściwych) z następującymi klasami sprzężeń (w nawiasach podano permutacje wierzchołków lub odpowiednio ścian, oraz reprezentacja kwaternionów jednostkowych ):
- tożsamość (tożsamość; 1)
- obrót wokół osi przez wierzchołek, prostopadły do przeciwległej płaszczyzny, o kąt ±120°: 4 osie, 2 na oś, razem 8 ((1 2 3) itd.; 1 ± ja ± j ± k/2)
- obrót o kąt 180° tak, że krawędź mapuje się na przeciwną krawędź: 3 ((1 2)(3 4) , itd.; i , j , k )
- odbicia w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi: 6
- odbicia w płaszczyźnie połączone z obrotem o 90° wokół osi prostopadłej do płaszczyzny: 3 osie, 2 na oś, razem 6; równoważnie są to obroty o 90° połączone z inwersją ( x jest odwzorowane na − x ): obroty odpowiadają obrotom sześcianu wokół osi zwróconych w przód
Rzuty ortogonalne czworościanu foremnego
Regularne Tetrahedron dwa specjalne występy prostokątne , jeden skupione na wierzchołek lub równoważnie na powierzchni, a jeden skupione na obrzeżach. Pierwsze odpowiada ścieżki A 2 płaszczyzny Coxeter .
Wyśrodkowany przez | Twarz/wierzchołek | Krawędź |
---|---|---|
Obraz | ||
Symetria projekcyjna |
[3] | [4] |
Przekrój czworościanu foremnego
Dwie skośne, prostopadłe, przeciwległe krawędzie regularnego czworościanu definiują zestaw równoległych płaszczyzn. Gdy jedna z tych płaszczyzn przecina czworościan, uzyskany przekrój jest prostokątem . Gdy przecinająca się płaszczyzna znajduje się w pobliżu jednej z krawędzi, prostokąt jest długi i chudy. W połowie odległości między dwiema krawędziami przecięcie jest kwadratem . Proporcje prostokąta odwracają się po przejściu przez ten półmetek. W przypadku kwadratowego przecięcia w punkcie środkowym uzyskana linia graniczna przebiega podobnie przez każdą ścianę czworościanu. Jeśli czworościan jest przecięty na tej płaszczyźnie, obie połówki stają się klinami .
Ta właściwość dotyczy również czworokątnych disfenoidów w przypadku zastosowania do dwóch specjalnych par krawędzi.
Dachówka sferyczna
Czworościan można również przedstawić jako kafelki sferyczne i rzutować na płaszczyznę za pomocą projekcji stereograficznej . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.
Rzut prostokątny | Projekcja stereograficzna |
---|
Układanie spiralne
Regularne czworościany można układać twarzą w twarz w chiralny aperiodyczny łańcuch zwany helisą Boerdijka-Coxetera . W czterech wymiarach wszystkie wypukłe regularne 4-politopy z czworościennymi komórkami ( 5- , 16-komorowe i 600-komorowe ) mogą być skonstruowane jako kafelki 3-sfery za pomocą tych łańcuchów, które stają się okresowe w trójwymiarowym przestrzeń powierzchni granicznej 4-politopu.
Inne szczególne przypadki
Relacje podgrup w symetrii tetraedrycznej |
Symetrie czworościenne pokazane na diagramach czworościennych |
Czworościanu równoramienny , zwany także disphenoid , to czworościan, gdzie wszystkie cztery twarze są przystające trójkąty. A , wypełniającymi przestrzeń Tetrahedron opakowania z przystających kopiami do powierzchni płytki, tak jak disphenoid czworościennej strukturze plastra miodu .
W trójprostokątnym czworościanie trzy kąty ścian na jednym wierzchołku są kątami prostymi . Jeśli wszystkie trzy pary przeciwległych krawędzi czworościanu są prostopadłe , nazywa się to czworościanem ortocentrycznym . Gdy tylko jedna para przeciwległych krawędzi jest prostopadła, nazywa się to półortocentrycznym czworościanem . Isodynamic czworościanu jest taki, w którym cevians które łączą wierzchołki do incenters twarze przeciwnych są zbieżne , i isogonic czworościanu ma równoczesnych cevians które łączą wierzchołki na punktach styku z powierzchni przeciwnych z Kula wpisana czworościanu .
Izometrie nieregularnych czworościanów
Izometrie nieregularnego (nieoznaczonego) czworościanu zależą od geometrii czworościanu, z możliwymi 7 przypadkami. W każdym przypadku tworzona jest trójwymiarowa grupa punktowa . Dwie inne izometrie (C 3 , [3] + ) i (S 4 , [2 + ,4 + ]) mogą istnieć, jeśli uwzględniono oznakowanie powierzchni lub krawędzi. Diagramy czworościenne są dołączone dla każdego typu poniżej, z krawędziami pokolorowanymi według równoważności izometrycznej i są pomalowane na szaro dla unikalnych krawędzi.
Nazwa czworościanu | Diagram
równoważności krawędzi |
Opis | |||
---|---|---|---|---|---|
Symetria | |||||
Schön. | Sternik. | Kula. | Zarz. | ||
Czworościan regularny |
Cztery trójkąty równoboczne Tworzy się grupa symetrii T d , izomorficzne z grupy symetrycznie , S 4 . Czworościan foremny ma schemat Coxetera i symbol Schläfliego {3,3}.
|
||||
T d T |
[3,3] [3,3] + |
*332 332 |
24 12 |
||
Trójkątna piramida |
Równoboczny podstawa trójkąta i trzy równe równoramienne trójkąty boki Daje 6 izometrii, odpowiadających 6 izometriom podstawy. Jako permutacji wierzchołków tych 6 izometrie dotyczą tożsamości 1 (123), (132), (12), (13) i (23), tworząc grupy symetrii C 3V , izomorficzne z grupy symetrycznie , S 3 . Trójkątna piramida ma symbol Schläfliego {3}∨( ).
|
||||
C 3v C 3 |
[3] [3] + |
*33 33 |
6 3 |
||
Lustrzany klinowy |
Dwa równe trójkąty pochyłe ze wspólną krawędzią podstawy Ma dwie pary równych krawędzi (1,3), (1,4) i (2,3), (2,4), a poza tym nie ma równych krawędzi. Jedyne dwie izometrie to 1 i odbicia (34), co daje grupę C, y , także izomorficzne z grupą cykliczną , Z 2 .
|
||||
C y = C 1 godz = C 1v |
[ ] | * | 2 | ||
Nieregularny czworościan (brak symetrii) |
Cztery nierówne trójkąty
Jego jedyną izometrią jest tożsamość, a grupa symetrii to grupa trywialna . Nieregularny czworościan ma symbol Schläfliego ( )∨( )∨( )∨( ). |
||||
C 1 | [ ] + | 1 | 1 | ||
Disphenoids (cztery równe trójkąty) | |||||
Czterokątny disfenoid |
Cztery równe trójkąty równoramienne
Ma 8 izometrii. Jeśli krawędzie (1,2) i (3,4) mają inną długość niż pozostałe 4, to 8 izometrii to identyczność 1, odbicia (12) i (34) oraz obrót o 180° (12)(34), (13) (24) (14) (23), a niewłaściwe 90 ° obroty (1234) i (1432) tworzących grupy symetrii D 2d . Czterokątna disphenoid ma diagram Coxetera oraz symbol Schläfliego s{2,4}. |
||||
D 2d S 4 |
[2 + ,4] [2 + ,4 + ] |
2*2 2× |
8 4 |
||
Rombowy disphenoid |
Cztery równe trójkąty pochylone
Ma 4 izometrie. Izometrie to 1 i obrót o 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). Jest to czterogrupa Kleina V 4 lub Z 2 2 , obecna jako grupa punktowa D 2 . Rombowy disphenoid ma diagram Coxetera oraz symbol Schläfliego sr{2,2}. |
||||
D 2 | [2,2] + | 222 | 4 | ||
Uogólnione disphenoids (2 pary równych trójkątów) | |||||
Digonal disfenoid |
|
Dwie pary równych trójkątów równoramiennych Daje to dwie przeciwległe krawędzie (1,2) i (3,4), które są prostopadłe, ale różnej długości, a następnie 4 izometrie to 1, odbicia (12) i (34) oraz obrót o 180° (12)(34) . Grupa symetrii to C 2v , izomorficzna z czterogrupą Kleina V 4 . Dwustronna disphenoid ma symbol Schläfliego { }∨{ }.
|
|||
C 2v C 2 |
[2] [2] + |
*22 22 |
4 2 |
||
Fyliczny disfenoid |
|
Dwie pary równych trójkątów pochyłych lub równoramiennych
Ma dwie pary równych krawędzi (1,3), (2,4) i (1,4), (2,3), ale poza tym nie ma równych krawędzi. Jedyne dwie izometrie jest 1, a ruch obrotowy (12) (34), co daje grupę C 2 izomorficzne z grupą cykliczną , Z 2 . |
|||
C 2 | [2] + | 22 | 2 |
Właściwości ogólne
Tom
Objętość czworościanu jest określona wzorem objętości piramidy:
gdzie A 0 to powierzchnia podstawy, a h to wysokość od podstawy do wierzchołka. Dotyczy to każdego z czterech wyborów podstawy, więc odległości od wierzchołków do przeciwległych ścian są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni tych ścian.
Dla czworościanu o wierzchołkach a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) i d = ( d 1 ) , d 2 , d 3 ) , objętość wynosi1/6| det ( a − d , b − d , c − d )| lub jakakolwiek inna kombinacja par wierzchołków, które tworzą prosty połączony wykres . Można to przepisać za pomocą iloczynu skalarnego i iloczynu krzyżowego , uzyskując
Jeśli początek układu współrzędnych jest wybrany tak, aby pokrywał się z wierzchołkiem d , to d = 0, więc
gdzie a , b , i c reprezentują trzy krawędzie, które spotykają się w jednym wierzchołku, a a · ( b × c ) jest skalarnym iloczynem potrójnym . Porównując ten wzór z wzorem używanym do obliczenia objętości równoległościanu , dochodzimy do wniosku, że objętość czworościanu jest równa1/6 objętości dowolnego równoległościanu, który dzieli z nim trzy zbieżne krawędzie.
Wartość bezwzględną iloczynu skalarnego potrójnego można przedstawić jako następujące wartości bezwzględne wyznaczników:
- lub gdzie są wyrażone jako wektory wierszowe lub kolumnowe.
Stąd
- gdzie
co daje
gdzie α , β , γ to kąty płaskie występujące w wierzchołku d . Kąt α to kąt między dwiema krawędziami łączącymi wierzchołek d z wierzchołkami b i c . Kąt β robi to dla wierzchołków a i c , podczas gdy γ jest określony przez położenie wierzchołków a i b .
Jeśli nie wymagamy, aby d = 0, to
Biorąc pod uwagę odległości między wierzchołkami czworościanu, objętość można obliczyć za pomocą wyznacznika Cayleya-Mengera :
gdzie indeksy i , j ∈ {1, 2, 3, 4} reprezentują wierzchołki { a , b , c , d } a d ij jest odległością w parach między nimi – tj. długością krawędzi łączącej dwa wierzchołki. Ujemna wartość wyznacznika oznacza, że przy podanych odległościach nie można zbudować czworościanu. Formuła ta, czasami nazywana formułą Tartaglii , jest zasadniczo dziełem malarza Piero della Francesca z XV wieku, jako trójwymiarowy odpowiednik formuły Herona z I wieku na pole trójkąta.
Oznaczmy, że a, b, c będą trzema krawędziami, które spotykają się w punkcie, a x, y, z przeciwległymi krawędziami. Niech V będzie objętością czworościanu; następnie
gdzie
Powyższy wzór wykorzystuje sześć długości krawędzi, a następujący wzór wykorzystuje trzy długości krawędzi i trzy kąty.
Wzór typu czapla na objętość czworościanu
Jeśli U , V , W , u , v , w są długościami krawędzi czworościanu (pierwsze trzy tworzą trójkąt; u przeciwległe do U itd.), to
gdzie
Dzielnik objętości
Każda płaszczyzna zawierająca bimedianę (łącznik punktów środkowych przeciwległych krawędzi) czworościanu dzieli na pół objętość czworościanu.
Objętość nieeuklidesowa
Dla tetraedrów w hiperbolicznej przestrzeni lub w trójwymiarowej eliptyczną geometrię , że kąty dwuścienne czworościanu ustalenia jego kształtu, a zatem jego objętość. W takich przypadkach objętość określa wzór Murakamiego-Yano . Jednak w przestrzeni euklidesowej skalowanie czworościanu zmienia jego objętość, ale nie kąty dwuścienne, więc taka formuła nie może istnieć.
Odległość między krawędziami
Dowolne dwie przeciwległe krawędzie czworościanu leżą na dwóch liniach ukośnych , a odległość między krawędziami jest definiowana jako odległość między dwiema liniami ukośnymi. Niech d będzie odległością między liniami skośnymi utworzonymi przez przeciwległe krawędzie a i b − c obliczoną tutaj . Następnie inny wzór na objętość jest podany przez
Własności analogiczne do własności trójkąta
Czworościan ma wiele właściwości analogicznych do trójkąta, w tym insferę, okolicę, środkowy czworościan i ekssfery. Ma odpowiednie centra, takie jak środek, środek okręgu, mimośrody, środek Spiekera i punkty takie jak środek ciężkości. Jednak generalnie nie ma ortocentrum w sensie przecinających się wysokości.
Gaspard Monge znalazł centrum, które istnieje w każdym czworościanie, obecnie znane jako punkt Monge : punkt, w którym przecina się sześć płaszczyzn środkowych czworościanu. Płaszczyzna środkowa jest zdefiniowana jako płaszczyzna prostopadła do krawędzi łączącej dowolne dwa wierzchołki, która zawiera również środek ciężkości przeciwległej krawędzi utworzonej przez połączenie dwóch pozostałych wierzchołków. Jeśli wysokości czworościanu rzeczywiście się przecinają, wówczas punkt Monge'a i ortocentrum pokrywają się, dając klasę czworościanu ortocentrycznego .
Linia ortogonalna opuszczona od punktu Monge do dowolnej ściany styka się z tą ścianą w punkcie środkowym odcinka linii pomiędzy ortocentrum tej ściany a stopą wysokości opuszczonej z przeciwległego wierzchołka.
Odcinek łączący wierzchołek czworościanu z centroidem przeciwległej ściany nazywany jest medianą, a odcinek łączący środki dwóch przeciwległych krawędzi nazywany jest bimedianą czworościanu. Stąd w czworościanie są cztery mediany i trzy bimediany. Te siedem odcinków linii jest zbieżnych w punkcie zwanym środkiem ciężkości czworościanu. Ponadto cztery mediany są podzielone w stosunku 3:1 przez środek ciężkości (patrz twierdzenie Commandino ). Środek ciężkości czworościanu jest środkiem między jego punktem Monge a środkiem okręgu opisanego. Punkty te definiują linię Eulera czworościanu, która jest analogiczna do linii Eulera trójkąta.
Okrąg dziewięciu punktów ogólnej trójkąta ma analogiczny w circumsphere z czworościanu w przyśrodkowej czworościanu. Jest to sfera dwunastopunktowa i oprócz centroidów czterech ścian czworościanu odniesienia, przechodzi przez cztery zastępcze punkty Eulera , jedną trzecią drogi od punktu Monge'a w kierunku każdego z czterech wierzchołków. W końcu przechodzi przez cztery punkty bazowe linii ortogonalnych upuszczanych z każdego punktu Eulera do ściany nie zawierającej wierzchołka, który wygenerował punkt Eulera.
Środek T sfery dwunastopunktowej również leży na linii Eulera. W przeciwieństwie do swojego trójkątnego odpowiednika, ten środek leży w jednej trzeciej odległości od punktu Monge M w kierunku środka opisanego. Również linia prostopadła przechodząca przez T do wybranej ściany jest współpłaszczyznowa z dwoma innymi liniami prostopadłymi do tej samej ściany. Pierwsza to linia prostopadła przechodząca przez odpowiedni punkt Eulera do wybranej ściany. Druga to linia prostopadła przechodząca przez środek ciężkości wybranej twarzy. Ta prostopadła linia przechodząca przez dwunastopunktowy środek leży w połowie odległości między linią ortogonalną punktu Eulera a środkową linią ortogonalną. Co więcej, dla każdej ściany, dwunastopunktowy środek leży w punkcie środkowym odpowiedniego punktu Eulera i ortocentrum tej ściany.
Promień dwunastopunktowej kuli stanowi jedną trzecią promienia okręgu czworościanu odniesienia.
Istnieje zależność między kątami tworzonymi przez ściany ogólnego czworościanu podana przez
gdzie α ij jest kątem między ścianami i i j .
Geometryczna średnia współrzędnych położenia wierzchołka czworościanu i jego isogonic środku wiąże się, w warunkach analogicznych do tych obserwowanych w trójkąt. Lorenz Lindelöf odkrył, że dowolny czworościan odpowiada punktowi znanemu obecnie jako środek izogoniczny O , w którym kąty bryłowe leżące na ścianach są równe, ma wspólną wartość π sr, i w którym kąty leżą w przeciwnych krawędzie są równe. Kąt bryłowy π sr jest jedną czwartą kąta leżącego pod całą przestrzenią. Gdy wszystkie kąty w wierzchołkach czworościanu są mniejsze od gatunku SR O leży wewnątrz Tetrahedron, a ponieważ suma odległości od O do wierzchołków jest minimalna, O pokrywa się z medianą geometrycznej , M , wierzchołki . W przypadku, gdy kąt bryłowy w jednym z wierzchołków v mierzy dokładnie π sr, wtedy O i M pokrywają się z v . Jeśli jednak czworościan ma wierzchołek v , o kącie bryłowym większym niż π sr, M nadal odpowiada v , ale O leży poza czworościanem.
Relacje geometryczne
Czworościan to 3- simplex . W przeciwieństwie do innych brył platońskich, wszystkie wierzchołki czworościanu foremnego są równoodległe od siebie (są jedynym możliwym układem czterech równoodległych punktów w przestrzeni trójwymiarowej).
Czworościan jest piramidą trójkątną , a czworościan foremny jest samopodwójny .
Czworościan foremny może być osadzony wewnątrz sześcianu na dwa sposoby, tak że każdy wierzchołek jest wierzchołkiem sześcianu, a każda krawędź jest przekątną jednej z powierzchni sześcianu. Na jednej z takich wbudowania, że kartezjańskie współrzędne tych wierzchołków są
- (+1, +1, +1);
- (-1, -1, +1);
- (-1, +1, -1);
- (+1, -1, -1).
Daje to czworościan o długości krawędzi 2 √ 2 , wyśrodkowany na początku. W przypadku drugiego czworościanu (który jest podwójny do pierwszego) odwróć wszystkie znaki. Te dwa połączone wierzchołki czworościanów są wierzchołkami sześcianu, co pokazuje, że czworościan foremny jest trójsześcianem .
Objętość tego czworościanu wynosi jedną trzecią objętości sześcianu. Połączenie obu czworościanów daje regularny związek wielościenny zwany związkiem dwóch czworościanów lub stella octgula .
Wnętrze Stella octagula jest ośmiościanem i odpowiednio ośmiościan foremny jest wynikiem odcięcia od czworościanu foremnego czterech czworościanów foremnych o połowie wielkości liniowej (tj. prostowanie czworościanu).
Powyższe osadzenie dzieli sześcian na pięć czworościanów, z których jedna jest regularna. W rzeczywistości pięć to minimalna liczba czworościanów wymaganych do skomponowania sześcianu. Aby to zobaczyć, zaczynając od podstawowego czworościanu z 4 wierzchołkami, każdy dodany czworościan dodaje najwyżej 1 nowy wierzchołek, więc co najmniej 4 muszą zostać dodane, aby utworzyć sześcian, który ma 8 wierzchołków.
Wpisanie czworościanów wewnątrz regularnego związku pięciu sześcianów daje jeszcze dwa regularne związki, zawierające pięć i dziesięć czworościanów.
Regularne czworościany nie mogą same teselacji przestrzeni , chociaż ten wynik wydaje się na tyle prawdopodobny, że Arystoteles twierdził, że jest to możliwe. Jednak dwa regularne czworościany można połączyć z ośmiościanem, dając rombohedron, który może kafelkować przestrzeń.
Znanych jest jednak kilka nieregularnych czworościanów, których kopie mogą wypełniać przestrzeń, na przykład czworościenny plaster miodu . Pełna lista pozostaje otwartym problemem.
Jeśli złagodzi się wymóg, aby wszystkie czworościany miały ten sam kształt, można kafelkować przestrzeń, używając tylko czworościanów na wiele różnych sposobów. Na przykład można podzielić ośmiościan na cztery identyczne czworościany i ponownie połączyć je z dwoma regularnymi. (Na marginesie: te dwa rodzaje czworościanów mają tę samą objętość.)
Czworościan jest wyjątkowy wśród jednostajnych wielościanów, ponieważ nie posiada równoległych ścian.
Prawo sinusów dla czworościanów i przestrzeni wszystkich kształtów czworościanów
Następstwem zwykłego prawa sinusów jest to, że w czworościanie z wierzchołkami O , A , B , C , mamy
Można postrzegać dwie strony tej tożsamości jako odpowiadające orientacji powierzchni zgodnej i przeciwnej do ruchu wskazówek zegara.
Umieszczenie dowolnego z czterech wierzchołków w roli O daje cztery takie tożsamości, ale najwyżej trzy z nich są niezależne: Jeśli strony „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” trzech z nich są pomnożone i iloczyn jest równy iloczynowi „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” tych samych trzech tożsamości, a następnie wspólne czynniki są skreślone z obu stron, wynikiem jest czwarta tożsamość.
Trzy kąty są kątami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy ich suma wynosi 180° (radiany π). Jaki warunek na 12 kątach jest konieczny i wystarczający, aby były 12 kątami jakiegoś czworościanu? Oczywiście suma kątów dowolnego boku czworościanu musi wynosić 180°. Ponieważ istnieją cztery takie trójkąty, istnieją cztery takie ograniczenia dotyczące sum kątów, a liczba stopni swobody zostaje w ten sposób zmniejszona z 12 do 8. Cztery relacje podane przez to prawo sinusowe dodatkowo zmniejszają liczbę stopni swobody, z 8 do nie 4, ale 5, ponieważ czwarte ograniczenie nie jest niezależne od pierwszych trzech. Zatem przestrzeń wszystkich kształtów czworościanów jest 5-wymiarowa.
Prawo cosinusów dla czworościanów
Niech { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } będą punktami czworościanu. Niech Δ I jest obszarem powierzchni przeciwległej do wierzchołka P ı i pozwolić θ Ij jest kąt dwuścienny pomiędzy tymi dwiema powierzchniami, Tetrahedron przylegających do krawędzi P i P j .
Twierdzenie cosinusów dla tego czworościanu, którego dotyczy obszarów twarzach czworościanu do kątów dwuściennych o wierzchołku, oblicza się według następującej zależności:
Punkt wewnętrzny
Niech P będzie dowolnym punktem wewnętrznym czworościanu o objętości V , którego wierzchołkami są A , B , C i D , a powierzchnie przeciwległych ścian to F a , F b , F c i F d . Następnie
Dla wierzchołków A , B , C i D , punktu wewnętrznego P , oraz stóp J , K , L i M prostopadłych od P do ścian i załóżmy, że ściany mają równe pola, wtedy
Promień
Oznaczając promień czworościanu jako r i promienie jego trójkątnych ścian jako r i dla i = 1, 2, 3, 4, mamy
z równością wtedy i tylko wtedy, gdy czworościan jest regularny.
Jeżeli A 1 , A 2 , A 3 i A 4 oznaczają pole powierzchni każdej ściany, wartość r dana jest wzorem
- .
Ten wzór otrzymuje się z podzielenia czworościanu na cztery czworościany, których punkty są trzema punktami jednej z pierwotnych ścian i środka. Ponieważ cztery subtetraedry wypełniają objętość, mamy .
Circumpromień
Oznacz promień okręgu czworościanu jako R . Niech a , b , c będą długościami trzech krawędzi, które spotykają się w wierzchołku, a A , B , C długościami przeciwległych krawędzi. Niech V będzie objętością czworościanu. Następnie
Centrum obwodowe
Środek okręgu czworościanu można znaleźć jako przecięcie trzech dwusiecznych płaszczyzn. Płaszczyzna dwusieczna jest zdefiniowana jako płaszczyzna wyśrodkowana i prostopadła do krawędzi czworościanu. Zgodnie z tą definicją, środek okręgu C z Tetrahedron z wierzchołków x 0 , x 1 , x 2 , x 3 można wytwarzać jako produkt macierzy wektora:
W przeciwieństwie do centroidu, obwód opisany nie zawsze może leżeć po wewnętrznej stronie czworościanu. Analogicznie do rozwartego trójkąta, środek opisany jest poza obiektem dla rozwartego czworościanu.
Centroid
Środek masy czworościanu jest obliczany jako średnia arytmetyczna czterech wierzchołków, patrz Centroid .
Twarze
Suma pól dowolnych trzech ścian jest większa niż powierzchnia czwartej ściany.
Całkowite czworościany
Istnieją czworościany o całkowitoliczbowych długościach krawędzi, powierzchniach twarzy i objętości. Są to tak zwane czworościany czapli . Jeden przykład ma jedną krawędź 896, przeciwną krawędź 990, a pozostałe cztery krawędzie 1073; dwie twarze to trójkąty równoramienne z obszarami436 800, a pozostałe dwie są równoramienne o powierzchniach47 120 , podczas gdy głośność wynosi124 185 600 .
Czworościan może mieć objętość całkowitą i kolejne liczby całkowite jako krawędzie, na przykład ten z krawędziami 6, 7, 8, 9, 10 i 11 oraz objętością 48.
Powiązane wielościany i związki
Czworościan foremny może być postrzegany jako trójkątna piramida .
Regularne piramidy | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Digonal | Trójkątny | Kwadrat | Pięciokątny | Sześciokątny | Heptagonalny | Ośmioboczny | Enneagonalny | Dekagonalny... |
Niewłaściwy | Regularny | Równoboczny | Równoramienny | |||||
Czworościan foremny może być postrzegany jako wielościan zdegenerowany, jednolity dwukątny antypryzmat , gdzie wielokąty bazowe są zredukowanymi dwukątami .
Nazwa antypryzmatyczna | Digonalny antypryzmat | (Trigonal) Trójkątny antypryzmat |
(czworokątny) kwadratowy antypryzm |
Pięciokątny antypryzmat | Sześciokątny antypryzmat | Heptagonalny antypryzmat | Ośmiokątny antypryzmat | Enneagonalny antypryzmat | Dekagonalny antypryzmat | Antypryzmat hedekagonalny | Dodekagonalny antypryzmat | ... | Antypryzmat apeirogonalny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Obraz wielościanu | ... | ||||||||||||
Kulisty obraz kafelkowy | Samolot kafelkowy obraz | ||||||||||||
Konfiguracja wierzchołków. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Czworościan foremny może być postrzegany jako wielościan zdegenerowany, jednorodny trapezohed dwukątny , zawierający 6 wierzchołków, w dwóch zestawach krawędzi współliniowych.
Nazwa trapezościanu | Trapezohedron dwukątny ( czworościan ) |
Trapezoedr trójkątny | Trapezoedr czworokątny | Trapezohedron pięciokątny | Sześciokątny trapezhedron | Trapezohedron siedmiokątny | Trapezoedr ośmiokątny | Trapezoedron dziesięciokątny | Trapezohedron dwunastokątny | ... | Trapezohedron apeirogonalny |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Obraz wielościanu | ... | ||||||||||
Kulisty obraz kafelkowy | Samolot kafelkowy obraz | ||||||||||
Konfiguracja twarzy | V2.3.3.3 | V3.3.3.3 | V4.3.3.3 | V5.3.3.3 | V6.3.3.3 | V7.3.3.3 | V8.3.3.3 | V10.3.3.3 | V12.3.3.3 | ... | V∞.3.3.3 |
Proces obcinania zastosowany do czworościanu daje serię jednolitych wielościanów . Obcięcie krawędzi do punktów daje ośmiościan jako rektyfikowany czworościan. Proces kończy się birektyfikacją, redukując oryginalne powierzchnie do punktów i ponownie tworząc samopodwójny czworościan.
Rodzina jednolitych wielościanów czworościennych | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetria : [3,3] , (*332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Duals do jednolitych wielościanów | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Ten wielościan jest powiązany topologicznie jako część ciągu wielościanów foremnych z symbolami Schläflego {3, n }, kontynuując w płaszczyźnie hiperbolicznej .
* n 32 mutacja symetrii regularnych płytek: {3, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kulisty | Euklidesa. | Kompaktowy hiper. | Parako. | Niekompaktowy hiperboliczny | |||||||
3,3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Czworościan jest topologicznie powiązany z serią regularnych wielościanów i kafelków z figurami wierzchołków rzędu 3 .
* mutacja symetrii n 32 regularnych płytek: { n ,3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kulisty | Euklidesa | Kompaktowa hiperb. | Parako. | Niekompaktowy hiperboliczny | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Z pięciu przecinających się czworościanów można zbudować ciekawy wielościan . Ten związek pięciu czworościanów jest znany od setek lat. Pojawia się regularnie w świecie origami . Połączenie dwudziestu wierzchołków utworzyłoby dwunastościan foremny . Istnieją zarówno formy leworęczne, jak i praworęczne , które są swoimi lustrzanymi odbiciami . Nałożenie obu form daje związek dziesięciu czworościanów , w których dziesięć czworościanów jest ułożonych jako pięć par stellae octgulae . Stella octgula jest związkiem dwóch czworościanów w podwójnej pozycji, a jej osiem wierzchołków definiuje sześcian jako wypukły kadłub.
Kwadratowy hosohedron jest inny wielościan z czterech stron, ale nie mają trójkątne twarze.
Aplikacje
Analiza numeryczna
W analizie numerycznej , skomplikowane kształty trójwymiarowe są zwykle podzielone na lub w przybliżeniu w, na oczko wielokątne nieregularnego tetraedrów w procesie tworzenia równania dla analizy metodą elementów skończonych , zwłaszcza w numerycznym roztworu z równań różniczkowych . Metody te mają szerokie zastosowanie w praktycznych zastosowaniach w obliczeniowej dynamiki płynów , aerodynamika , pól elektromagnetycznych , inżynierii lądowej , inżynierii chemicznej , marynarki architektury i inżynierii oraz związane z polami.
Inżynieria budowlana
Czworościan mający sztywne krawędzie jest z natury sztywny. Z tego powodu jest często używany do usztywniania konstrukcji ramowych, takich jak ramy przestrzenne .
Lotnictwo
Na niektórych lotniskach duża rama w kształcie czworościanu z dwoma bokami pokrytymi cienkim materiałem jest zamontowana na obrotowym sworzniu i zawsze zwrócona jest do wiatru. Jest wystarczająco duży, aby można go było zobaczyć z powietrza, a czasem jest oświetlony. Ma służyć jako odniesienie do pilotów wskazujących kierunek wiatru.
Chemia
Kształt czworościanu jest widoczny w przyrodzie w cząsteczkach związanych kowalencyjnie . Wszystkie atomy zhybrydyzowane sp 3 są otoczone atomami (lub samotnymi parami elektronów ) w czterech rogach czworościanu. Na przykład w cząsteczce metanu ( CH
4) lub jon amonowy ( NH+
4), cztery atomy wodoru otaczają centralny atom węgla lub azotu z symetrią tetraedryczną. Z tego powodu jedno z wiodących czasopism z dziedziny chemii organicznej nosi nazwę Tetrahedron . Kąt środkowy między dwoma wierzchołkami doskonałego Tetrahedron jest ARccOS (-1/3) lub około 109.47°.
Woda , H
2O , ma również strukturę czworościenną, z dwoma atomami wodoru i dwiema samotnymi parami elektronów wokół centralnych atomów tlenu. Jego czworościenna symetria nie jest jednak idealna, ponieważ pojedyncze pary odpychają bardziej niż pojedyncze wiązania O–H.
Czwartorzędowe diagramy fazowe mieszanin substancji chemicznych przedstawiono graficznie jako czworościany.
Jednak czwartorzędowe diagramy fazowe w inżynierii komunikacyjnej są reprezentowane graficznie na płaszczyźnie dwuwymiarowej.
Elektryczność i elektronika
Jeśli sześć równych rezystorów jest lutowanych razem, tworząc czworościan, to rezystancja zmierzona między dowolnymi dwoma wierzchołkami jest o połowę mniejsza niż jednego rezystora.
Ponieważ krzem jest najczęściej używanym półprzewodnikiem w elektronice półprzewodnikowej , a krzem ma wartościowość równą cztery, czworościenny kształt czterech wiązań chemicznych w krzemie ma silny wpływ na to, jak tworzą się kryształy krzemu i jakie przybierają kształty.
Przestrzeń kolorów
Tetraedry są używane w algorytmach konwersji przestrzeni barw, szczególnie w przypadkach, w których oś luminancji dzieli przestrzeń barw po przekątnej (np. RGB, CMY).
Gry
W Royal Game of Ur , datowaną na 2600 rpne, rozgrywano zestaw czworościennych kości.
Zwłaszcza w grach fabularnych , ta bryła jest znana jako 4-ścienna kostka , jedna z bardziej powszechnych wielościennych kości , z wyrzuconą liczbą pojawiającą się wokół dolnego lub na górnym wierzchołku. Niektóre łamigłówki przypominające kostkę Rubika są czworościenne, takie jak Pyraminx i Pyramorphix .
Geologia
Czworościenny hipoteza , pierwotnie opublikowany przez Williama Lowthian Greena wyjaśnić powstawanie Ziemi, był popularny poprzez początku 20 wieku.
Uzbrojenie
Niektóre kolce opierają się na czworościanów, ponieważ jeden kolec skierowany jest do góry niezależnie od tego, jak lądują i można je łatwo wykonać, spawając ze sobą dwa wygięte gwoździe.
Sztuka współczesna
Austriacka artystka Martina Schettina stworzyła czworościan za pomocą świetlówek . Został pokazany na Biennale Sztuki Światła Austria 2010.
Jest on stosowany jako okładki albumu, otoczona czarnymi płomieniami na końcu wszystkich rzeczy przyjść przez Mudvayne .
Kultura popularna
Stanley Kubrick pierwotnie chciał, aby monolit w 2001: A Space Odyssey był czworościanem, według Marvina Minsky'ego , kognitywisty i eksperta od sztucznej inteligencji, który doradzał Kubrickowi przy komputerze HAL 9000 i innych aspektach filmu. Kubrick odrzucił pomysł wykorzystania czworościanu jako gościa, który zobaczył materiał filmowy, nie rozpoznał, co to jest, i nie chciał niczego w filmie, czego zwykli ludzie nie rozumieją.
W sezonie 6, odcinku 15 Futuramy , zatytułowanym „ Möbius Dick ”, załoga Planet Express przechodzi przez obszar w kosmosie znany jako Tetrahedron Bermudzki. Wiele innych statków przepływających przez ten obszar w tajemniczy sposób zniknęło, w tym pierwsza załoga Planet Express.
W filmie Oblivion z 2013 roku duża struktura na orbicie nad Ziemią ma kształt czworościanu i jest określana jako Tet.
Wykres czworościenny
Wykres czworościenny | |
---|---|
Wierzchołki | 4 |
Krawędzie | 6 |
Promień | 1 |
Średnica | 1 |
Obwód | 3 |
Automorfizmy | 24 |
Liczba chromatyczna | 4 |
Nieruchomości | Hamiltonian , regularny , symetryczny , odległościowo regularny , odległościowo przechodni , spójny z 3 wierzchołkami , graf planarny |
Tabela wykresów i parametrów |
Szkielet czworościanu (zawierającej wierzchołki oraz krawędzie) stanowi wykres , 4 i 6 wierzchołków krawędzi. Jest to szczególny przypadek pełnego wykresu K 4 i wykresu kołowego W 4 . Jest to jeden z 5 grafów platońskich , z których każdy jest szkieletem platońskiej bryły .
3-krotna symetria |
Zobacz też
- Helisa Boerdijk-Coxetera
- Konfiguracja Möbiusa
- Kotewka
- Demihipersześcian i simpleks – n- wymiarowe analogi
- Pentachoron – 4-wymiarowy analog
- Tetrapak
- Latawiec czworościenny
- Liczba czworościenna
- Pakowanie czworościanów
- Trójkątna dipiramida – zbudowana przez połączenie dwóch czworościanów wzdłuż jednej ściany
- Czworościan trójprostokątny
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- Weisstein, Eric W. „Czworościan” . MatematykaŚwiat .
- Darmowe papierowe modele czworościanu i wielu innych wielościanów
- Niesamowity, wypełniający przestrzeń, nieregularny czworościan, który zawiera również opis „wirującego pierścienia czworościanów”, znanego również jako kalejdocykl .