liczba algebraiczna - Algebraic number


Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Liczba algebraiczna jest dowolną liczbę złożoną (w tym liczb rzeczywistych ), który jest głównym z niezerową wielomianu (to jest wartość, która powoduje, że wielomian równa 0) w jednej zmiennej z racjonalnych współczynniki (lub równoważnie - przez usuwania mianownika - z całkowitych współczynników). Wszystkie liczby całkowite i są liczbami wymiernymi algebraiczne, jak wszystkie korzenie liczb całkowitych . Tego samego nie jest prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych lub wszystkich liczb zespolonych. Te prawdziwe i liczby zespolone, które nie są algebraiczne nazywane są transcendentalne numerów . Obejmują one π i e . Natomiast zbiór liczb zespolonych jest niezliczona , zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny i ma środek zera w miarę Lebesgue'a jako podzbiór liczb zespolonych, iw tym sensie prawie wszystkie liczby zespolone są transcendentalne.

Przykłady

  • Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne. Dowolna liczba wymierna, wyrażony jako stosunek dwóch liczb a , b , b jest równe zeru, jest zgodny z powyższą definicją, ponieważ x = / b jest pierwiastkiem niezerowym wielomianu mianowicie bx - .
  • W kwadratowe surds (nieracjonalne korzenie kwadratowego wielomianu ax 2 + bx + c o całkowitą współczynniki a , b , i c ) są liczbami algebraiczne. Jeśli kwadratowe wielomian monic ( = 1 ), a następnie dalsze pierwiastki są zakwalifikowane jako kwadratowe całkowitymi .
  • Te numery konstruowalnych są te wartości, które mogą być wykonane z daną jednostkę długości za pomocą liniału i kompas. Należą do nich wszystkie kwadratowe surds, wszystkie liczby wymierne, a wszystkie numery, które można utworzyć z nich stosując podstawowe operacje arytmetyczne i pierwiastkowanie kwadratowe. (Należy zauważyć, że przez określenie głównych kierunków dla 1, 1, I , i - I , liczb zespolonych, takich jak 3 + 2 i uważa konstruowalne).
  • Każdy ekspresji, utworzony z numerów algebraicznych pomocą dowolnej kombinacji podstawowych operacji arytmetycznych i ekstrakcji n -tego korzeni daje inną liczbę algebraiczną.
  • Wielomian korzenie, które nie mogą być wyrażone w jednostkach podstawowych operacji arytmetycznych i ekstrakcji n -tego korzeni (na przykład korzeniach x 5 - x + 1 ). To dzieje się wiele , ale nie wszystkie, wielomiany stopnia 5 lub wyższej.
  • Gaussa całkowite : te liczby zespolone + BI gdzie zarówno i b są liczbami całkowitymi, są również kwadratowe całkowitymi.
  • Wartości funkcji trygonometrycznych z racjonalnych wielokrotności Õ (z wyjątkiem kiedy nieokreślone): To znaczy, że trygonometryczne numery . Na przykład, każda z komórek COS gatunku / 7 , COS / 7 , COS / 7 spełnia 8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 . Ten wielomian jest nieredukowalne ciągu wymiernych, a więc te trzy cosinus są sprzężone liczb algebraicznych. Podobnie tan / 16 , tan / 16 , tan 11π / 16 , tan 15π / 16 wszystkie spełniają nieredukowalnego wielomianu x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 , a więc są sprzężone algebraiczne liczb całkowitych ,
  • Niektóre liczb niewymiernych są algebraiczne, a niektóre nie są:
    • Numery 2 i 33 / 2 są algebraiczne ponieważ są korzenie wielomianów x 2 - 2 i 8 x 3 - 3 , odpowiednio.
    • Złoty stosunek φ jest algebraiczną, ponieważ jest to pierwiastek wielomianu x 2 - x - 1 .
    • Liczby π i e nie są liczbami algebraiczne (patrz twierdzenie Lindemann'a Weierstrassa ); stąd są transcendentalne.

Nieruchomości

Algebraiczne numery na płaszczyźnie zespolonej zabarwiona stopnia (czerwony = 1 = 2, zieleń, niebieski = 3, żółty = 4)

Pole liczb algebraicznych

Liczby algebraiczne zabarwiona stopnia (niebieski = 4, błękitny, czerwony = 3 = 2, zielony = 1). Zespół koła jest czarny.

Suma, różnica produktu i iloraz (gdy mianownik jest niezerowa) dwóch algebraicznych liczb jest ponownie algebraiczna (ten fakt może być wykazane za pomocą wypadkowej ) i dlatego algebraicznej numery tworzą pole Q (czasem oznaczonej przez A , chociaż zazwyczaj oznacza pierścień ADELE ). Każdy korzeń równania wielomianowego, którego współczynniki są numery algebraiczne ponownie algebraiczne. To może być rephrased mówiąc, że pole liczb algebraicznych jest algebraicznie zamknięte . W rzeczywistości jest to najmniejsza algebraicznie zamknięte pole zawierające wymiernych i dlatego jest zwana algebraiczną zamknięcie z wymiernych.

Zbiór prawdziwych liczb algebraicznych sama tworzy pole.

dziedzin pokrewnych

Numery zdefiniowane rodniki

Wszystkie wartości, które mogą być otrzymane z użyciem liczb skończoną liczbę całkowitą dodawania , odejmowania , mnożenia , podziałów , biorąc n p korzeni, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą ( wyrażenia rodników ) są algebraiczne. Odwrotna jednak nie jest prawdą: nie są liczbami algebraicznymi, które nie mogą być uzyskane w ten sposób. Wszystkie te liczby są pierwiastkami wielomianów stopnia 5 lub więcej. Jest to wynikiem teorii Galois (patrz równania Quintic i twierdzenie Abel-Ruffini ). Przykładem takiej ilości jest unikatowy prawdziwym źródłem wielomianu x 5 - x - 1 (co stanowi około 1,167 304 ).

liczba zamkniętych forma

Liczby algebraiczne są wszystkie liczby, które mogą być bezpośrednio lub pośrednio definiowane w kategoriach wielomianów, począwszy od liczb wymiernych. Można uogólnić ten z „ liczb zamkniętej formy ”, które mogą być określone w różny sposób. Najszerzej, wszystkie numery, które mogą być bezpośrednio lub pośrednio definiowane w kategoriach wielomianów, funkcji wykładniczych i logarytmicznych nazywane są „numery elementarne”, a te obejmują algebraicznych numery, plus kilka liczb przestępnych. Najbardziej wąsko, można rozważyć numery wyraźnie zdefiniowane w kategoriach wielomianów, funkcji wykładniczych i logarytmicznych - ten nie obejmuje wszystkich liczb algebraicznych, ale obejmuje kilka prostych liczb przestępnych, takich jak e lub LN2 .

algebraiczne całkowitymi

Liczby algebraiczne kolorowe prowadząc współczynnik (czerwony oznacza 1 dla algebraicznego całkowita)

Algebraiczna liczba całkowita jest liczbą algebraicznych jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych z czołowymi współczynnik 1 (A monic wielomianowej). Przykłady algebraicznych całkowite są 5 + 13 2 , 2 - 6 I a 1 / 2 (1 + I 3 ) . Uwaga, w związku z tym, że całkowite algebraiczne stanowić właściwą rozszerzeniem z liczb całkowitych , ponieważ te ostatnie są korzenie Monic wielomianów x - k dla wszystkich kZ . W tym sensie są liczbami całkowitymi algebraiczne liczb algebraicznych co całkowitymi są do liczb wymiernych .

Suma, różnica i produkt algebraicznych całkowite znowu algebraiczne całkowite, co oznacza, że całkowite algebraiczne tworzą pierścień . Nazwa algebraiczne całkowitą wynika z faktu, że jedynymi liczbami wymiernymi, które są algebraiczne całkowitymi są liczby całkowite, a ponieważ algebraiczne całkowitymi w dowolnym polu numeru są pod wieloma względami analogiczne do liczb całkowitych. Jeżeli K jest numer pola jej pierścień liczb jest podpierścień algebraicznych liczb całkowitych K i jest często oznaczany jako O K . Są prototypowego przykłady domen DEDEKIND .

Specjalne klasy liczby algebraicznej

Uwagi

Referencje

  • Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN  0-13-004763-5 , MR  1129886
  • Hardy, GH i Wright, EM 1978, 2000 (ze wskaźnikiem ogólnego) Wprowadzenie do teorii liczb: 5th Edition , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN  0-19-853171-0
  • Irlandia, Kenneth; Rosen, Michael (1990), klasyczny Wprowadzenie do współczesnej teorii liczb , absolwent Teksty z matematyki, 84 (druga red.), Berlinie, Nowym Jorku, Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN  0-387-97329-X , MR  1070716
  • Lang Serge (2002), Algebra , Graduate Teksty matematyki , 211 (poprawiona wyd trzecią.), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556
  • Niven, Ivan 1956 roku Irrational Numbers , Carus matematyczna monografii. 11, Mathematical Association of America .
  • Ore, Øystein 1948, 1988, Teoria liczb i jej historii , Dover Publications, Inc. New York, ISBN  0-486-65620-9 (PBK).