Równanie Hamiltona-Jacobiego - Hamilton–Jacobi equation

Część serii na
Mechanika klasyczna
${\ Displaystyle {\ textbf {F}} = {\ Frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Druga zasada ruchu
Historia Oś czasu Podręczniki
Gałęzie
Podstawy
Preparaty
Główne tematy
Obrót
Naukowcy
Portal fizyczny  Kategoria
v T mi

W fizyce The równanie Hamilton-Jacobim , nazwany William Rowana Hamilton i Carl Gustav Jacob Jacobiemu jest alternatywny formulacja mechaniki , co odpowiada innych preparatów, takich jak prawa ruchu Newtona , mechaniki Lagrange'a i mechaniki Hamiltona . Równanie Hamiltona-Jacobiego jest szczególnie przydatne w identyfikacji konserwatywnych wielkości układów mechanicznych, co może być możliwe nawet wtedy, gdy sam problem mechaniczny nie może być całkowicie rozwiązany.

Równanie Hamiltona-Jacobiego jest również jedynym sformułowaniem mechaniki, w którym ruch cząstki można przedstawić jako falę. W tym sensie spełnił od dawna wyznaczony cel fizyki teoretycznej (datowany przynajmniej na Johanna Bernoulliego w XVIII wieku) znalezienia analogii między propagacją światła a ruchem cząstki. Równanie falowe, po którym następują układy mechaniczne, jest podobne, ale nie identyczne z równaniem Schrödingera , jak opisano poniżej; z tego powodu równanie Hamiltona-Jacobiego jest uważane za „najbliższe podejście” mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej .

W matematyce równanie Hamiltona-Jacobiego jest warunkiem koniecznym opisującym geometrię ekstremalną w uogólnieniu problemów z rachunku wariacyjnego . Można to rozumieć jako szczególny przypadek równania Hamiltona-Jacobi-Bellmana z programowania dynamicznego .

Notacja

Zmienne pogrubioną czcionką, takie jak reprezentują listę uogólnionych współrzędnych , ${\displaystyle \mathbf {q}}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N-1}, q_ {N})}$

Kropka nad zmienną lub listą oznacza pochodną czasu (patrz notacja Newtona ). Na przykład,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q}}}={\frac {d\mathbf {q}}{dt}}.}$

Iloczyn skalarny oznaczenie pomiędzy listami o tej samej liczbie współrzędnych jest skrótem dla sumy iloczynów odpowiednich elementów, takich jak

${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {q} = \ suma _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} q_ {k}}.$

główna funkcja Hamiltona

Definicja

Niech macierz Hesja będzie odwracalna. Relacja ${\textstyle H_{\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\częściowy ^{2}{\cal {L}}/\ częściowy {\dot {q}}^{i}\częściowy {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ Frac {\ częściowy {\ cal {l}}} {\ częściowy {\ kropka {q}} ^ {i}}} = \ suma _ {j = 1}^{n}\left({\frac {\częściowy ^{2}{\cal {L}}}{\częściowy {\dot {q}}^{i}\częściowy {\dot {q}} ^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\cal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i} \partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\częściowy ^{2}{\cal {L}}}{\częściowy {\dot {q}}^{i}\częściowy t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$

pokazuje, że równania Eulera-Lagrange'a tworzą układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu. Odwrócenie macierzy przekształca ten system w ${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle H_ {\ cal {L}}}$

${\ Displaystyle {\ ddot {q}} ^ {i} = F_ {i} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ kropka {q}}, t), \ i = 1, \ ldots, n.}$

Niech chwila czasowa i punkt w przestrzeni konfiguracyjnej zostaną ustalone. Istnienie i jednoznaczność twierdzenia gwarantują, że dla każdego z problemem wartości początkowej z warunkami i ma lokalnie unikalne rozwiązanie Dodatkowo, niech będzie wystarczająco mały odstęp czasu , tak że extremals z różnych początkowych prędkości nie przecinają się druga oznacza, że dla dowolna i dowolna może być co najwyżej jedna ekstremalna dla której i Podstawiając do funkcjonału działania daje w wyniku główną funkcję Hamiltona ${\displaystyle t_{0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {0} \ w M}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\ Displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ kropka {\ gamma}} | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {v} _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau ; t_ {0}, \ mathbf {q} _ {0}, \ mathbf {v} _ {0}).}$${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} \ w M}$${\displaystyle t\w (t_{0},t_{1})}$${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau ; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$${\ Displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}}$${\ Displaystyle \ gamma | _ {\ tau = t} = \ mathbf {q}.}$${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau ; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$

Wzór dla pędów: p _I ( P , T ) = ∂S / ∂q ^I

W pędy są zdefiniowane jako ilości niniejszej sekcji, że zależność od znika po HPF jest znane. ${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\częściowy {\cal {L}}/\częściowy {\dot {q}}^{i} .}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mathbf {\kropka {q}}}$

Rzeczywiście, niech chwila czasowa i punkt w przestrzeni konfiguracyjnej zostaną ustalone. Dla każdej chwili i punktu czasowego niech będą (unikalne) ekstremami z definicji funkcji głównej Hamiltona Nazwijmy prędkość w . Następnie ${\displaystyle t_{0}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} _{0}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau ; t, t_ {0}, \ mathbf {q}, \ mathbf {q} _ {0})}$${\ Displaystyle S.}$${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma}}(\tau;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$${\ Displaystyle \ tau = t}$

Dowód  —

Podczas gdy poniższy dowód zakłada, że ​​przestrzeń konfiguracyjna jest otwartym podzbiorem podstawowej techniki, stosuje się w równym stopniu do dowolnych przestrzeni . W kontekście tego dowodu litera kaligraficzna oznacza funkcjonał działania, a kursywa główną funkcję Hamiltona. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ cal {S}}}$${\displaystyle S}$

Krok 1. Niech będzie ścieżką w przestrzeni konfiguracyjnej i polem wektorowym wzdłuż . (Dla każdego wektor nazywamy perturbacją , nieskończenie małą zmianą lub wirtualnym przemieszczeniem układu mechanicznego w punkcie ). Przypomnijmy, że zmienność działania w punkcie w kierunku jest wyrażona wzorem ${\ Displaystyle \ xi = \ xi (t)}$${\ Displaystyle \ delta \ xi = \ delta \ xi (t)}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle \ delta \ xi (t)}$${\ Displaystyle \ xi (t)}$ ${\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ gamma, t_ {1}, t_ {0}]}$${\ Displaystyle {\ cal {S}}}$${\displaystyle \xi}$${\ Displaystyle \ delta \ xi}$

$${\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi , t_ {1}, t_ {0}] = \ int _ {t_ {0}} ^ { t_ {1}} \left({\frac {\częściowy {\cal {L}}}{\częściowy \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\częściowy {\cal {L} }}{\częściowy \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\częściowy {\cal {L}}}{\częściowy \mathbf {\dot {q }} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}$$

gdzie należy podstawić i po obliczeniu pochodnych cząstkowych po prawej stronie. (Wzór ten wynika z definicji pochodnej Gateaux przez całkowanie przez części). ${\ Displaystyle q ^ {i} = \ xi ^ {i} (t)}$${\ Displaystyle {\ kropka {q}} ^ {i} = {\ kropka {\ xi}} ^ {i} (t)}$

Załóżmy, że jest to ekstremalne. Od teraz spełnia równania Eulera-Lagrange'a, integralny termin znika. Jeśli punkt wyjścia jest ustalony, to według tej samej logiki, która została użyta do wyprowadzenia równań Eulera-Lagrange'a, Tak więc ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} _{0}}$${\ Displaystyle \ delta \ xi (t_ {0}) = 0.}$

$${\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi, t; t_ {0}] = \ lewo. {\ Frac {\ częściowy {\ cal {L}}} {\ częściowe \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi ( t)}\,\delta \xi (t).}$$

Krok 2. Pozwolić być (unikalny) ekstremalna z definicji HPF, pola wektorowego wzdłuż i odmianie „kompatybilna” z dokładnymi warunkami,${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma (\ tau ; \ mathbf {q} , \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0})}$${\ Displaystyle \ delta \ gamma = \ delta \ gamma (\ tau)}$${\displaystyle \gamma}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon } = \ gamma _ {\ varepsilon } (\ tau; \ mathbf {q} _ {\ varepsilon}, \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0}) }$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ delta \ gamma.}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon} | _ {\ varepsilon = 0} = \ gamma,}$ ${\ Displaystyle {\ kropka {\ gamma}} _ {\ varepsilon} | _ {\ varepsilon = 0} = \ delta \ gamma,}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon} | _ {\ tau = t_ {0}} = \ gamma | _ {\ tau = t_ {0}} = \ mathbf {q} _ {0}.}$

Z definicji pochodnej HPF i Gateaux,

$${\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ gamma} [\ gamma, t] {\ przesłonięty {\ tekst {def}} {{} = {}}} \ lewo. {\ Frac { d{\cal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{ \varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \ gamma (t).}$$

Tutaj wzięliśmy to pod uwagę i zrezygnowali z kompaktowości. ${\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ gamma (t; \ mathbf {q} , \ mathbf {q} _ {0}, t, t_ {0})}$${\displaystyle t_{0}}$

Krok 3. Teraz podstawiamy i do wyrażenia z kroku 1 i porównujemy wynik ze wzorem wyprowadzonym w kroku 2. Fakt, że dla pola wektorowego zostało wybrane arbitralnie, uzupełnia dowód. ${\ Displaystyle \ xi = \ gamma}$${\ Displaystyle \ delta \ xi = \ delta \ gamma}$${\ Displaystyle \ delta {\ cal {S}} _ {\ delta \ xi} [\ xi , t; t_ {0}]}$${\displaystyle t>t_{0},}$${\ Displaystyle \ delta \ gamma}$

Sformułowanie matematyczne

Biorąc pod uwagę hamiltonian układu mechanicznego, równanie Hamiltona-Jacobiego jest nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym pierwszego rzędu dla głównej funkcji Hamiltona , ${\ Displaystyle H (\ mathbf {q} , \ mathbf {p} , t)}$ ${\displaystyle S}$

Pochodzenie.

Dla ekstremalnego gdzie jest prędkość początkowa (patrz dyskusja poprzedzająca definicję HPF), ${\ Displaystyle \ xi = \ xi (t; t_ {0}, \ mathbf {q} _ {0}, \ mathbf {v} _ {0}),}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = {\ kropka {\ xi}} | _ {t = t_ {0}}}$ $${\ Displaystyle {\ cal {L}} (\ xi (t), {\ kropka {\ xi }} (t), t) = {\ Frac {dS (\ xi (t), t)} {dt} }=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\częściowy t}}\right] _{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}$$ Ze wzoru na i współrzędnej definicji hamiltonianu ${\ Displaystyle p_ {i} = p_ {i} (\ mathbf {q}, t)}$ $${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ mathbf {\ kropka {q}} - {\ cal {l}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\kropka {q}} ,t),}$$ przy spełnieniu (jednoznacznie rozwiązywalnego dla równania otrzymania) ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p},\mathbf {q},t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {q}} )}$${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\częściowy {\cal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\częściowy \mathbf {\dot {Q}} }},}$ $${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy S}{\ częściowy t}} = {\ cal {L}} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ kropka {q}}, t) - {\ Frac {\ częściowy S}{\mathbf {\częściowy q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\częściowy S}{\częściowy \mathbf {q} }},t\prawo),}$$ gdzie i${\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ xi (t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {q}} = {\ kropka {\ xi}} (t).}$

Alternatywnie, jak opisano poniżej, równanie Hamiltona-Jacobiego można wyprowadzić z mechaniki hamiltonowskiej , traktując jako funkcję generującą dla transformacji kanonicznej klasycznego hamiltonianu ${\displaystyle S}$

${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots,p_{N};t).}$

Sprzężone pędy odpowiadają pierwszym pochodnym względem uogólnionych współrzędnych ${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle p_ {k} = {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy q_ {k}}}.}$

Jako rozwiązanie równania Hamiltona-Jacobiego, funkcja główna zawiera nieokreślone stałe, pierwsza z nich oznaczona jako , a ostatnia pochodząca z całkowania . ${\ Displaystyle N + 1}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ \ alfa _ {2} \ kropki \ alfa _ {N}}$${\displaystyle {\frac {\częściowy S}{\częściowy t}}}$

Związek pomiędzy a następnie opisuje orbitę w przestrzeni fazowej w kategoriach tych stałych ruchu . Ponadto ilości ${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {q}}$

${\ Displaystyle \ beta _ {k} = {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy \ alfa _ {k}}}, \ quad k = 1,2, \ ldots, N}$

są również Całka Ruchu i równania te można odwrócić, aby znaleźć się w zależności od wszystkich i stałych i czasu. ${\displaystyle \mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$

Porównanie z innymi sformułowaniami mechaniki

Równanie Hamiltona-Jacobiego jest pojedynczym równaniem różniczkowym cząstkowym pierwszego rzędu dla funkcji współrzędnych uogólnionych i czasu . Uogólnione pędy nie pojawiają się, z wyjątkiem pochodnych . Co ciekawe, funkcja jest równa klasycznemu działaniu . ${\ Displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\kropki,q_{N}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Dla porównania, w równoważnych równań Eulera-Lagrange'a ruchu z mechaniki Lagrange'a , koniugat Momenta też nie pojawiają; Jednak te równania są System z , ogólnie równania drugiego rzędu dla ewolucji czasowej współrzędnych uogólnionych. Podobnie, równania ruchu Hamiltona są innym układem 2 N równań pierwszego rzędu dla ewolucji w czasie współrzędnych uogólnionych i ich sprzężonych pędów . ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\kropki,p_{N}}$

Ponieważ HJE jest równoważnym wyrażeniem integralnego problemu minimalizacji, takiego jak zasada Hamiltona , HJE może być przydatne w innych problemach rachunku wariacyjnego i, bardziej ogólnie, w innych gałęziach matematyki i fizyki , takich jak układy dynamiczne , geometria symplektyczna i kwantowy chaos . Na przykład równania Hamiltona-Jacobiego mogą być użyte do określenia geodezji na rozmaitości riemannowskiej , ważnego problemu wariacyjnego w geometrii riemannowskiej .

Wyprowadzenie za pomocą przekształcenia kanonicznego

Każda transformacja kanoniczna obejmująca funkcję generującą typu 2 prowadzi do relacji ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q},\mathbf {P},t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ częściowe G_ {2} \ nad \ częściowe \ mathbf {q}}, \ quad \ mathbf {Q} = {\ częściowe G_ {2} \ nad \ częściowe \ mathbf {P } },\quad K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial T}}$

a równania Hamiltona w ujęciu nowych zmiennych i nowego hamiltonianu mają taką samą postać: ${\displaystyle \mathbf {P},\,\mathbf {Q}}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {P}}} = - {\ częściowe K \ ponad \ częściowe \ mathbf {Q}}, \ quad {\ kropka {\ mathbf {Q}}} = + {\ częściowe K \over \partial \mathbf {P} }.}$

Aby wyprowadzić HJE, funkcja generująca jest wybierana w taki sposób, że tworzy nowy hamiltonian . Stąd wszystkie jego pochodne są również zerowe, a przekształcone równania Hamiltona stają się trywialne ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q},\mathbf {P},t)}$${\ Displaystyle K = 0}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {P} }} = {\ kropka {\ mathbf {Q}}} = 0}$

więc nowe uogólnione współrzędne i pędy są stałymi ruchu . Ponieważ są one stałymi, w tym kontekście nowe uogólnione pędy są zwykle oznaczane , tj . nowe uogólnione współrzędne są zwykle oznaczane jako , więc . ${\ Displaystyle \ mathbf {P} }$${\ Displaystyle \ alfa _ {1} \ \ alfa _ {2} \ kropki \ alfa _ {N}}$${\ Displaystyle P_ {m} = \ alfa _ {m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ Displaystyle \ beta _ {1} \ \ beta _ {2} \ kropki \ beta _ {N}}$${\ Displaystyle Q_ {m} = \ beta _ {m}}$

Ustawienie funkcji generującej równej funkcji głównej Hamiltona, plus dowolna stała : ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, {\ pogrubienie {\ alfa}}, t) = S (\ mathbf {q}, t) + A,}$

HJE powstaje automatycznie

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ Frac {\ częściowy G_ {2}} {\ częściowy \ mathbf {q}}} = {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy \ mathbf {q}}} \ ,\rightarrow \,H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\,\rightarrow \,H\left(\mathbf { q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0.}$

Po rozwiązaniu dla , dają nam one również przydatne równania ${\ Displaystyle S (\ mathbf {q} , {\ pogrubienie {\ alfa}}, t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Q} = {\ pogrubiony symbol {\ beta}} = {\ częściowy S \ nad \ częściowy {\ pogrubiony {\ alfa}}},}$

lub napisane w komponentach dla jasności

${\ Displaystyle Q_ {m} = \ beta _ {m} = {\ Frac {\ częściowy S (\ mathbf {q}, {\ pogrubiony symbol {\ alfa}}}, t)} {\ częściowy \ alfa _ {m} }}.}$

Idealnie, te równania N można odwrócić, aby znaleźć oryginalne uogólnione współrzędne jako funkcję stałych i , rozwiązując w ten sposób pierwotny problem. ${\displaystyle \mathbf {q}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alfa}},\,{\boldsymbol {\beta}},}$${\displaystyle t}$

Działanie i funkcje Hamiltona

Główna funkcja Hamiltona S i klasyczna funkcja H są blisko związane z działaniem . Całkowitą różnicę stanowi to: ${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle dS = \ suma _ {i} {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy q_ {i}}} dq_ {i} + {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy t}} dt}$

więc pochodną razem z S jest

${\ Displaystyle {\ Frac {dS} {dt}} = \ suma _ {i} {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy q_ {i}}} {\ kropka {q}} _ {i} + { \frac {\częściowy S}{\częściowy t}}=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H=L.}$

W związku z tym,

${\displaystyle S=\int L\dt}$

więc S jest w rzeczywistości działaniem klasycznym plus nieokreślona stała.

Kiedy H nie zależy wyraźnie od czasu,

${\ Displaystyle W = S + Et = S + Ht = \ int (L + H) \ dt = \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q},}$

w tym przypadku W jest tym samym, co akcja skrócona .

Separacja zmiennych

HJE jest najbardziej użyteczny, gdy można go rozwiązać poprzez addytywne rozdzielenie zmiennych , które bezpośrednio identyfikuje stałe ruchu . Na przykład czas t można oddzielić, jeśli hamiltonian nie zależy wyraźnie od czasu. W takim przypadku pochodna czasowa w HJE musi być stałą, zwykle oznaczaną ( ), dającą rozwiązanie rozdzielone ${\displaystyle {\frac {\częściowy S}{\częściowy t}}}$${\displaystyle -E}$

${\ Displaystyle S = W (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N}) – et}$

gdzie funkcja niezależna od czasu jest czasami nazywana funkcją charakterystyczną Hamiltona . Można wtedy zapisać zredukowane równanie Hamiltona-Jacobiego ${\ Displaystyle W (\ mathbf {q} )}$

${\ Displaystyle H \ lewo (\ mathbf {q} , {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy \ mathbf {q}}} \ prawej) = E.}$

Aby zilustrować rozdzielność dla innych zmiennych, zakłada się , że pewna uogólniona współrzędna i jej pochodna występują razem jako pojedyncza funkcja ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle {\frac {\częściowy S}{\częściowy q_{k}}}}$

${\ Displaystyle \ psi \ lewo (q_ {k}, {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy q_ {k}}} \ prawej)}$

w hamiltonianie

${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots,q_{k-1},q_{k+1},\ldots,q_{N};p_{1},p_{2 },\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$

W takim przypadku funkcję S można podzielić na dwie funkcje, jedną, która zależy tylko od q _k, a drugą, która zależy tylko od pozostałych współrzędnych uogólnionych

${\ Displaystyle S = S_ {k} (q_ {k}) + S_ {\ tekst {rem}} (q_ {1}, \ ldots, q_ {k-1}, q_ {k + 1}, \ ldots, q_{N},t).}$

Podstawienie tych wzorów do równania Hamiltona-Jacobiego pokazuje, że funkcja ψ musi być stałą (oznaczoną tutaj jako ), dając równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu dla${\ Displaystyle \ Gamma _ {k}}$${\ Displaystyle S_ {k} (q_ {k}),}$

${\ Displaystyle \ psi \ po lewej (q_ {k}, {\ Frac {dS_ {k}} {dq_ {k}}} \ po prawej) = \ Gamma _ {k}.}$

W szczęśliwych przypadkach funkcję można całkowicie rozdzielić na funkcje${\displaystyle S}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle S_ {m} (q_ {m})}$

${\ Displaystyle S = S_ {1} (q_ {1}) + S_ {2} (q_ {2}) + \ cdots + S_ {N} (q_ {N}) - Et.}$

W takim przypadku problem sprowadza się do równań różniczkowych zwyczajnych . ${\ Displaystyle N}$

Rozdzielność S zależy zarówno od hamiltonianu, jak i od wyboru współrzędnych uogólnionych . Dla współrzędnych ortogonalnych i hamiltonianów, które nie są zależne od czasu i są kwadratowe w pędach uogólnionych, będą całkowicie rozdzielne, jeśli energia potencjalna jest addytywnie rozdzielna w każdej współrzędnej, gdzie składnik energii potencjalnej dla każdej współrzędnej jest mnożony przez współczynnik zależny od współrzędnych w odpowiedni termin pędu hamiltonianu ( warunki Staeckela ). Dla ilustracji, kilka przykładów we współrzędnych ortogonalnych omówiono w następnych rozdziałach. ${\displaystyle S}$

Przykłady w różnych układach współrzędnych

Współrzędne sferyczne

We współrzędnych sferycznych można zapisać hamiltonian cząstki swobodnej poruszającej się w konserwatywnym potencjale U

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo [p_ {r} ^ {2} + {\ Frac {p_ {\ theta} ^ {2}} {r ^ {2}}} + {\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$

Równanie Hamiltona-Jacobiego jest w tych współrzędnych całkowicie rozłączne pod warunkiem, że istnieją funkcje: takie, które można zapisać w analogicznej postaci ${\ Displaystyle U_ {r} (r), U_ {\ theta} (\ theta), U_ {\ phi} (\ phi )}$${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle U (r \ theta \ phi ) = U_ {r} (r) + {\ Frac {U_ {\ theta} (\ theta)} {r ^ {2}}} + {\ Frac {U_ {\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$

Zastąpienie całkowicie odseparowanego roztworu

${\ Displaystyle S = S_ {r} (r) + S_ {\ theta} (\ theta) + S_ {\ phi} (\ phi ) -Et}$

do plonów HJE

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {R}} {dr}} \ po prawej) ^ {2} + U_ {R} (R) + {\ Frac {1 }{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right ]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^ {2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$

Równanie to można rozwiązać przez kolejne całkowania równań różniczkowych zwyczajnych , zaczynając od równania na${\displaystyle \phi}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ phi}} {d \ phi}} \ prawej) ^ {2} + 2 mU_ {\ phi } (\ phi ) = \ Gamma _ {\ phi }}$

gdzie jest stałą ruchu, która eliminuje zależność z równania Hamiltona-Jacobiego ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ phi}}$${\displaystyle \phi}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {R}} {dr}} \ po prawej) ^ {2} + U_ {R} (R) + {\ Frac {1 }{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{ \frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E.}$

Następne równanie różniczkowe zwyczajne obejmuje uogólnioną współrzędną${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ theta}} {d \ theta}} \ prawej) ^ {2} + 2 mU_ {\ theta} (\ theta) + {\ Frac {\ Gamma _ {\ phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}$

gdzie jest znowu stałą ruchu, która eliminuje zależność i redukuje HJE do końcowego równania różniczkowego zwyczajnego${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ theta}}$${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {R}} {dr}} \ po prawej) ^ {2} + U_ {R} (r) + {\ Frac {\ Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$

którego integracja uzupełnia rozwiązanie dla . ${\displaystyle S}$

Eliptyczne współrzędne cylindryczne

Hamiltonian można zapisać we współrzędnych eliptycznych cylindrycznych

${\ Displaystyle H = {\ Frac {p_ {\ mu} ^ {2} + p_ {\ nu} ^ {2}} {2 ma ^ {2} \ lewo (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$

gdzie ogniska z elipsy znajdują się na -działający. Równanie Hamiltona-Jacobiego jest w tych współrzędnych całkowicie rozłączne pod warunkiem, że ma analogiczną postać ${\ Displaystyle \ pm a}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle U (\ mu, \ nu, z) = {\ Frac {U_ {\ mu} (\ mu) + U_ {\ nu} (\ nu)} {\ sinh ^ {2} \ mu + \ grzech ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$

gdzie: , i są dowolnymi funkcjami. Zastąpienie całkowicie odseparowanego roztworu ${\ Displaystyle U_ {\ mu} (\ mu)}$${\displaystyle U_{\nu}(\nu)}$${\ Displaystyle U_ {z} (z)}$

${\ Displaystyle S = S_ {\ mu} (\ mu) + S_ {\ nu} (\ nu) + S_ {z} (z) - Et}$ do plonów HJE

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {z}} {dz}} \ po prawej) ^ {2} + U_ {Z} (Z) + {\ Frac {1 }{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d \mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }( \mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=E.}$

Rozdzielanie pierwszego równania różniczkowego zwyczajnego

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {z}} {dz}} \ prawej) ^ {2} + U_ {Z} (z) = \ Gamma _ {z }}$

daje zredukowane równanie Hamiltona-Jacobiego (po przekształceniu i pomnożeniu obu stron przez mianownik)

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ mu}} {d \ mu}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej ({\ Frac {dS_ {\ nu}} {d \ nu}} \ po prawej)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\lewo(\sinh ^{2 }\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$

które można rozdzielić na dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ mu}} {d \ mu}} \ prawej) ^ {2} + 2 ma ^ {2} U_ {\ mu} (\ mu) + 2 ma ^ {2} \left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ nu}} {d \ nu}} \ prawej) ^ {2} +2 ma ^ {2} U_ {\ nu } (\ nu) +2 ma ^ {2} \left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}$

które po rozwiązaniu zapewniają kompletne rozwiązanie dla . ${\displaystyle S}$

Paraboliczne współrzędne cylindryczne

Można zapisać hamiltonian we współrzędnych parabolicznych walcowych

${\ Displaystyle H = {\ Frac {p_ {\ sigma} ^ {2} + p_ {\ tau} ^ {2}} {2 m \ lewo (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ po prawej) }}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$

Równanie Hamiltona-Jacobiego jest w tych współrzędnych całkowicie rozłączne pod warunkiem, że ma analogiczną postać ${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle U (\ sigma, \ tau, z) = {\ Frac {U_ {\ sigma} (\ sigma) + U_ {\ tau} (\ tau)} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ { 2}}}+U_{z}(z)}$

gdzie , i są funkcjami arbitralnymi. Zastąpienie całkowicie odseparowanego roztworu ${\displaystyle U_{\sigma}(\sigma)}$${\displaystyle U_{\tau}(\tau)}$${\ Displaystyle U_ {z} (z)}$

${\ Displaystyle S = S_ {\ sigma} (\ sigma) + S_ {\ tau} (\ tau) + S_ {z} (z) - Et + {\ tekst {stała}}}$

do plonów HJE

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {z}} {dz}} \ po prawej) ^ {2} + U_ {Z} (Z) + {\ Frac {1 }{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^ {2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau ) \right]=E.}$

Rozdzielanie pierwszego równania różniczkowego zwyczajnego

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo ({\ Frac {dS_ {z}} {dz}} \ prawej) ^ {2} + U_ {Z} (z) = \ Gamma _ {z }}$

daje zredukowane równanie Hamiltona-Jacobiego (po przekształceniu i pomnożeniu obu stron przez mianownik)

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ sigma}} {d \ sigma}} \ po prawej) ^ {2} + \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ tau}} {d \ tau}} \ po prawej)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left( E-\Gamma _{z}\prawo)}$

które można rozdzielić na dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ sigma}} {d \ sigma}} \ prawej) ^ {2} + 2 mU_ {\ sigma} (\ sigma) + 2 m \ sigma ^ {2} \ lewo ( \Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dS_ {\ tau}} {d \ tau}} \ prawej) ^ {2} + 2 mU_ {\ tau} (\ tau) + 2 m \ tau ^ {2} \ po lewej ( \Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}$

które po rozwiązaniu zapewniają kompletne rozwiązanie dla . ${\displaystyle S}$

Fale i cząstki

Optyczne fronty fal i trajektorie

HJE ustanawia dualizm między trajektoriami i frontami fal. Na przykład w optyce geometrycznej światło można traktować jako „promienie” lub fale. Front fali można zdefiniować jako powierzchnię , na którą światło emitowane w danym czasie osiągnęło w danym momencie . Promienie świetlne i fronty fal są podwójne: jeśli jedno jest znane, można wydedukować drugie. ${\textstyle {\cal {C}}_{t}}$${\textstyle t=0}$${\textstyle t}$

Dokładniej, optyka geometryczna to problem wariacyjny, w którym „działaniem” jest czas przemieszczania się po ścieżce,${\textstyle T}$

$${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {c}} \ int _ {A} ^ {B} n \ DS}$$

ośrodka i jest nieskończenie małą długością łuku. Z powyższego sformułowania można obliczyć drogi promieni za pomocą sformułowania Eulera-Lagrange'a; alternatywnie można obliczyć fronty fal, rozwiązując równanie Hamiltona-Jacobiego. Znajomość jednego prowadzi do poznania drugiego. ${\textstyle n}$${\textstyle ds}$

Powyższa dwoistość jest bardzo ogólna i dotyczy wszystkich systemów, które wywodzą się z zasady wariacyjnej: albo oblicz trajektorie za pomocą równań Eulera-Lagrange'a, albo czoła fal za pomocą równania Hamiltona-Jacobiego.

Front fali w czasie , dla systemu początkowo w czasie , jest zdefiniowany jako zbiór punktów takich , że . Jeśli jest znany, natychmiast wywnioskuje się pęd.${\textstyle t}$${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$${\textstyle t_{0}}$${\textstyle \mathbf {q} }$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy \ mathbf {q}}}.}$$

Kiedy już wiadomo, styczne do trajektorii są obliczane przez rozwiązanie równania${\textstyle \mathbf {p} }$${\textstyle {\kropka {\mathbf {q} }}}$

$${\displaystyle {\frac {\częściowy {\cal {l}}}{\częściowy {\dot {\mathbf {q}}}}}={\boldsymbol {p}}}$$

dla , gdzie jest Lagrange. Trajektorie są następnie odzyskiwane z wiedzy o . ${\textstyle {\kropka {\mathbf {q} }}}$${\textstyle {\cal {L}}}$${\textstyle {\kropka {\mathbf {q} }}}$

Związek z równaniem Schrödingera

Dalsze informacje: przybliżenie Eikonal

W isosurfaces funkcji można określić w dowolnym czasie

fali ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {q}}$${\displaystyle \mathbf {q}}$

${\ Displaystyle \ psi = \ psi _ {0} e ^ {is / \ hbar}}$

gdzie jest stałą ( stałą

. Równanie Hamiltona-Jacobiego jest następnie przepisywane jako ${\ Displaystyle \ hbar}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Hbar ^ {2}} {2 m}} \ Nabla ^ {2} \ psi -U \ psi = {\ Frac {\ Hbar} {i}} {\ Frac {\ częściowy \ psi }{\częściowy t}}}$

który jest równaniem Schrödingera .

I odwrotnie, zaczynając od równania Schrödingera i naszego ansatz dla , można wywnioskować, że ${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo (\ Nabla S \ prawej) ^ {2} + U + {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy t}} = {\ Frac {i \ Hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}$

Granica klasyczna ( ) powyższego równania Schrödingera staje się identyczna z następującym wariantem równania Hamiltona-Jacobiego: ${\ Displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 m}} \ lewo (\ Nabla S \ prawej) ^ {2} + U + {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy t}} = 0.}$

Aplikacje

HJE w polu grawitacyjnym

Wykorzystanie relacji energia-pęd w postaci

${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta} P_ {\ alfa} P_ {\ beta} - (MC) ^ {2} = 0}$

dla cząstki masy spoczynkowej poruszającej się w zakrzywionej przestrzeni, gdzie są współrzędne

akcji , ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta}}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alfa}}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle P_ {\ alfa} = - {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy x ^ {\ alfa}}}}$

daje równanie Hamiltona-Jacobiego w geometrii określonej przez metrykę : ${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta} {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy x ^ {\ alfa}}} {\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy x ^ {\ beta}}}- (mc)^{2}=0,}$

innymi słowy, w polu grawitacyjnym .

HJE w polach elektromagnetycznych

Dla cząstki masy spoczynkowej i ładunku elektrycznego poruszającego się w polu elektromagnetycznym z

w próżni równanie Hamiltona-Jacobiego w geometrii określonej przez tensor metryczny ma postać ${\ Displaystyle m}$${\displaystyle e}$ ${\ Displaystyle A_ {i} = (\ phi, \ operatorname {A})}$${\ Displaystyle g ^ {ik} = g_ {ik}}$

${\ Displaystyle g ^ {ik} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy S} {\ częściowy x ^ {i}}} + {\ Frac {e} {c}} A_ {i} \ po prawej) \ po lewej ( {\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$

i może być rozwiązany dla funkcji głównego działania Hamiltona, aby uzyskać dalsze rozwiązanie dla trajektorii i pędu cząstki: ${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle x = - {\ Frac {e} {c \ gamma}} \ int A_ {z} \ d \ xi}$

${\ Displaystyle y = - {\ Frac {e} {c \ gamma}} \ int A_ {y} \ d \ xi}$

${\ Displaystyle Z = - {\ Frac {e ^ {2}} {2 c ^ {2} \ gamma ^ {2}}} \ int (\ operator {A} ^ {2} - {\ overline {\ operator {\ operatorname { A} ^{2}}})\,d\xi ,}$

${\ Displaystyle \ xi = ct-{\ Frac {e ^ {2}} {2 \ gamma ^ {2} c ^ {2}}} \ int (\ operatorname {A} ^ {2}-{\ overline { \mathrm {A} ^{2}}})\,d\xi ,}$

${\ Displaystyle p_ {x} = - {\ Frac {e} {c}} A_ {x}}$, ${\ Displaystyle p_ {y} = - {\ Frac {e} {c}} A_ {y}}$

${\ Displaystyle p_ {z} = {\ Frac {e ^ {2}} {2 \ gamma c}} (\ operatorname {A} ^ {2} - {\ overline {\ operatorname {A} ^ {2}} }),}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {e}} = c \ gamma + {\ Frac {e ^ {2}} {2 \ gamma c}} (\ operatorname {A} ^ {2} - {\ overline {\ operatorname { A} ^{2}}}),}$

gdzie i ze średnią cyklu potencjału wektora. ${\ Displaystyle \ xi = ct-z}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ Frac {e ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ nadkreślenie {A}} ^ {2} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {A}}}}$

Fala spolaryzowana kołowo

W przypadku polaryzacji kołowej ,

${\ Displaystyle E_ {x} = E_ {0} \ sin \ omega \ X _ {1}}$, ${\ Displaystyle E_ {y} = E_ {0} \ cos \ omega \ X _ {1},}$

${\ Displaystyle A_ {x} = {\ Frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1}}$, ${\ Displaystyle A_ {y} = - {\ Frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1}.}$

Stąd

${\ Displaystyle x = - {\ Frac {ecE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

${\ Displaystyle y = - {\ Frac {ecE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ Displaystyle p_ {x} = - {\ Frac {eE_ {0}} {\ omega}} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ Displaystyle p_ {y} = {\ Frac {eE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

gdzie , co oznacza cząstkę poruszającą się po torze kołowym o stałym promieniu i niezmiennej wartości pędu skierowanej wzdłuż wektora pola magnetycznego. ${\ Displaystyle \ xi _ {1} = \ xi / c}$${\ Displaystyle ecE_ {0}/\gamma \omega ^ {2}}$${\ Displaystyle eE_ {0}/\ omega ^ {2}}$

Monochromatyczna liniowo spolaryzowana fala płaska

Dla fali płaskiej, monochromatycznej, liniowo spolaryzowanej z polem skierowanym wzdłuż osi${\ Displaystyle E}$${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle E_ {y} = E_ {0} \ cos \ omega \ X _ {1},}$

${\ Displaystyle A_ {y} = - {\ Frac {cE_ {0}} {\ omega}} \ sin \ omega \ xi _ {1},}$

W związku z tym

${\displaystyle x={\tekst{stała}}}$

${\ Displaystyle y_ {0} = - {\ Frac {ecE_ {0}} {\ gamma \ omega ^ {2}}}}$

${\displaystyle y=y_{0}\cos\omega\xi_{1}}$, ${\ Displaystyle z = C_ {z} Y_ {0} \ sin 2 \ omega \ X _ {1}}$

${\ Displaystyle C_ {z} = {\ Frac {eE_ {0}} {8 \ gamma \ omega}}}$, ${\ Displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ Frac {e ^ {2} E_ {0} ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}}, }$

${\displaystyle p_{x}=0,}$

${\ Displaystyle p_ {y, 0} = {\ Frac {eE_ {0}} {\ omega}},}$

${\ Displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} \ sin \ omega \ Xi _ {1},}$

${\ Displaystyle p_ {z} = -2C_ {z} p_ {y, 0} \ cos 2 \ omega \ xi _ {1}}$

implikując trajektorię ósemkową cząstki z długą jej osią zorientowaną wzdłuż wektora pola elektrycznego . ${\ Displaystyle E}$

Fala elektromagnetyczna z elektromagnetycznym polem magnetycznym

Dla fali elektromagnetycznej o osiowym (solenoidalnym) polu magnetycznym:

${\ Displaystyle E = E_ {\ phi} = {\ Frac {\ omega \ rho _ {0}} {c}} B_ {0} \ cos \ omega \ xi _ {1},}$

${\ Displaystyle A_ {\ phi} = - \ rho _ {0}B_ {0} \ sin \ omega \ xi _ {1} = - {\ Frac {L_ {s}} {\ pi \ rho _ {0} N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},}$

W związku z tym

${\ Displaystyle x = {\ tekst {stała}},}$

${\ Displaystyle y_ {0} = - {\ Frac {e \ rho _ {0} B_ {0}} {\ gamma \ omega}}}$

${\displaystyle y=y_{0}\cos\omega\xi_{1}}$

${\ Displaystyle z = C_ {z} Y_ {0} \ sin 2 \ omega \ X _ {1}}$

${\ Displaystyle C_ {z} = {\ Frac {e \ rho _ {0}B_ {0}} {8c \ gamma}}}$

${\ Displaystyle \ gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + {\ Frac {e ^ {2} \ rho _ {0} ^ {2} B_ {0} ^ {2}} 2c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{x}=0,}$

${\ Displaystyle p_ {y, 0} = {\ Frac {e \ rho _ {0}B_ {0}} {c}}}$

${\ Displaystyle p_ {y} = p_ {y, 0} \ sin \ omega \ Xi _ {1},}$

${\ Displaystyle p_ {z} = -2C_ {z} p_ {y, 0} \ cos 2 \ omega \ xi _ {1}}$

gdzie jest wielkość pola magnetycznego w solenoidzie o promieniu efektywnym , indukcyjności , liczbie uzwojeń i wielkości prądu elektrycznego przez uzwojenia solenoidu. Ruch cząstki następuje po trajektorii ósemkowej w płaszczyźnie prostopadłej do osi elektromagnesu z dowolnym kątem azymutalnym ze względu na osiową symetrię pola magnetycznego elektromagnesu. ${\displaystyle B_{0}}$${\ Displaystyle \ rho _ {0}}$${\displaystyle L_{s}}$${\displaystyle N_{s}}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle YZ}$${\displaystyle \varphi}$

Zobacz też

• Transformacja kanoniczna
• Stała ruchu
• Hamiltonowskie pole wektorowe
• Równanie Hamiltona-Jacobiego-Einsteina
• Przybliżenie WKB
• Współrzędne kąta działania

Bibliografia

Dalsza lektura

• Hamilton, W. (1833). „O ogólnej metodzie wyrażania ścieżek światła i planet za pomocą współczynników funkcji charakterystycznej” (PDF) . Recenzja Uniwersytetu w Dublinie : 795-826.
• Hamilton, W. (1834). „O zastosowaniu do dynamiki ogólnej metody matematycznej stosowanej wcześniej w optyce” (PDF) . Raport Brytyjskiego Stowarzyszenia : 513-518.
• Fetter, A. i Walecka, J. (2003). Teoretyczna mechanika cząstek i kontinuów . Książki Dover. Numer ISBN 978-0-486-43261-8.
• Landau, LD ; Lifszitz, EM (1975). Mechanika . Amsterdam: Elsevier.
• Sakurai, JJ (1985). Współczesna mechanika kwantowa . Wydawnictwo Benjamin/Cummings. Numer ISBN 978-0-8053-7501-5.
• Jacobi, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (w języku niemieckim), Berlin: G. Reimer, OL  14009561M
• Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). „Wczesna historia dynamiki Hamiltona-Jacobi”. Centaur . 44 (3–4): 161–227. doi : 10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x . PMID  17357243 .