Relatywistyczne równania falowe - Relativistic wave equations

Część serii artykułów o
Mechanika kwantowa
${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ kapelusz {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Równanie Schrödingera
Wstęp Słowniczek Historia
Tło Mechanika klasyczna Stara teoria kwantowa Notacja biustonosza hamiltonian Ingerencja
Podstawy Komplementarność Dekoherencja Splątanie Poziom energii Pomiar Nielokalizacja Liczba kwantowa Stan Nałożenie Symetria Tunelowanie Niepewność Funkcja falowa  ( zwiń )
Eksperymenty Nierówność Bella Davisson-Germer Podwójna szczelina Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Nierówność Leggetta-Garga Mach-Zehnder Popper Gumka kwantowa  ( opóźniony wybór ) Kot Schrödingera Stern-Gerlach Opóźniony wybór Wheelera
Preparaty Przegląd Heisenberg Interakcja Matryca Przestrzeń fazowa Schrödinger Suma nad historiami (całka po ścieżce)
Równania Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretacje Przegląd Bayesian Spójne historie Kopenhaga de Broglie-Bohm Ensemble Ukryta zmienna Wiele-światów Upadek celu Logika kwantowa Relacyjny Transakcyjny
Zaawansowane tematy Relatywistyczna mechanika kwantowa Kwantowa teoria pola Informatyka kwantowa Obliczenia kwantowe Chaos kwantowy Matryca gęstości Teoria rozproszenia Kwantowa mechanika statystyczna Uczenie maszynowe kwantowe
Naukowcy Aharonov dzwon Blacketta Bloch Bohm Bohr Urodzić się Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everetta Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordania Kramer Pauli owieczka Lando Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Ramana Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wiedeń Wigner Zeemana Zeilinger
v T mi

Kwantowa teoria pola
Schemat Feynmana
Historia
Tło Teoria pola Elektromagnetyzm Słaba siła Duża siła Mechanika kwantowa Szczególna teoria względności Ogólna teoria względności Teoria mierników
Symetrie Symetria w mechanice kwantowej Symetria C Symetria P Symetria T Symetria translacji przestrzeni Symetria tłumaczenia czasu Symetria rotacji Symetria Lorentza Symetria Poincare Symetria miernika Wyraźne łamanie symetrii Spontaniczne łamanie symetrii Teoria Yanga-Millsa Noether opłata Ładunek topologiczny
Narzędzia Anomalia Przejście Efektywna teoria pola Wartość oczekiwana Duchy Faddeeva-Popova Schemat Feynmana Teoria cechowania kratowego Formuła redukcji LSZ Funkcja partycji Propagator Kwantyzacja Regularyzacja Renormalizacja Stan podciśnienia Twierdzenie Wicka Aksjomaty Wightmana
Równania równanie Diraca Równanie Kleina-Gordona Równania Proca Równanie Wheelera-DeWitta Równania Bargmanna-Wignera
Model standardowy Elektrodynamika kwantowa Oddziaływanie elektrosłabe Chromodynamika kwantowa Mechanizm Higgsa
Teorie niekompletne Topologiczna kwantowa teoria pola Teoria strun Supersymetria Technicolor Teoria wszystkiego Grawitacja kwantowa
Naukowcy CD Anderson PW Anderson Być Björken Bogoliubów Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englerta Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Manna Brutto Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen nie kopytko Jordania Kendall Kubeł owieczka Lando Zawietrzny Majorana Młyny Nambu Nishijima Paryż Poliakow Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltmana Oddział Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilsona Yang Yukawa
v T mi

W fizyce , w szczególności relatywistycznej mechanice kwantowej (RQM) i jej zastosowaniach w fizyce cząstek elementarnych , relatywistyczne równania falowe przewidują zachowanie cząstek przy wysokich energiach i prędkościach porównywalnych z prędkością światła . W kontekście kwantowej teorii pola (QFT) równania określają dynamikę pól kwantowych . Rozwiązania równań, powszechnie oznaczane jako ψ lub Ψ (z greckiego psi ), są określane jako „ funkcje falowe ” w kontekście RQM i „ pola ” w kontekście QFT. Same równania nazywane są „równaniami falowymi” lub „równaniami pola”, ponieważ mają matematyczną formę równania falowego lub są generowane z gęstości Lagrange'a i równań teorii pola Eulera-Lagrange'a (patrz klasyczna teoria pola dla tła).

W obrazie Schrödingera funkcja falowa lub pole jest rozwiązaniem równania Schrödingera ;

${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ psi = {\ kapelusz {H}} \ psi}$

jeden z postulatów mechaniki kwantowej . Wszystkie relatywistyczne równania falowe można konstruować, określając różne formy operatora hamiltonowskiego Ĥ opisującego układ kwantowy . Alternatywnie Feynman jest całka preparat stosuje Lagrange'a zamiast operatora Hamiltona.

Mówiąc bardziej ogólnie – współczesny formalizm stojący za relatywistycznymi równaniami falowymi to teoria grup Lorentza , w której spin cząstki odpowiada reprezentacjom grupy Lorentza .

Historia

Wczesne lata dwudzieste: mechanika klasyczna i kwantowa

Niepowodzenie mechaniki klasycznej zastosowanej do systemów molekularnych , atomowych i jądrowych oraz mniejszych spowodowało potrzebę nowej mechaniki: mechaniki kwantowej . Sformułowanie matematyczne było prowadzone przez De Broglie , Bohra , Schrödingera , Pauli i Heisenberga i innych około połowy lat dwudziestych XX wieku i było w tym czasie analogiczne do sformułowania w mechanice klasycznej. Równanie Schrödingera a obraz Heisenberga przypominają klasyczne równanie ruchu w granicach dużych liczb kwantowych jak i zmniejszoną stałą Plancka H , kwantu działania , dąży do zera. To jest zasada korespondencji . W tym momencie szczególna teoria względności nie była w pełni połączona z mechaniką kwantową, więc sformułowania Schrödingera i Heisenberga, jak pierwotnie proponowano, nie mogły być stosowane w sytuacjach, gdy cząstki poruszają się z prędkością bliską prędkości światła lub gdy liczba cząstek każdego typu zmiany (zdarza się to w rzeczywistych interakcjach cząstek ; liczne formy rozpadów cząstek , anihilacji , tworzenia materii , produkcji par i tak dalej).

Późne lata dwudzieste: Relatywistyczna mechanika kwantowa spinu 0 i spinu 1/2 cząstki

Wielu fizyków teoretycznych poszukiwało opisu układów mechaniki kwantowej, które mogłyby wyjaśnić efekty relatywistyczne ; od końca lat dwudziestych do połowy lat czterdziestych. Pierwszą podstawę relatywistycznej mechaniki kwantowej , czyli szczególnej teorii względności stosowanej razem z mechaniką kwantową, znaleźli wszyscy ci, którzy odkryli to, co często nazywa się równaniem Kleina-Gordona :

${\ Displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ Frac {\ częściowy ^ {2} \ psi} {\ częściowy t ^ {2}}} + (\ hbar c) ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi =(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

( 1 )

wstawiając operator energii i operator pędu do relatywistycznej relacji energia-pęd :

${\ Displaystyle E ^ {2} - (szt.) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} \ ,,}$

( 2 )

Rozwiązaniem ( 1 ) są pola skalarne . Równanie KG jest niepożądane ze względu na przewidywanie ujemnych energii i prawdopodobieństw ze względu na kwadratową naturę ( 2 ) – nieuniknioną w teorii relatywistycznej. Równanie to zostało początkowo zaproponowane przez Schrödingera i odrzucił je z takich powodów, by po kilku miesiącach zdać sobie sprawę, że jego nierelatywistyczna granica (obecnie nazywana równaniem Schrödingera ) nadal ma znaczenie. Niemniej jednak – ( 1 ) ma zastosowanie do bozonów o spinie 0 .

Ani nierelatywistyczne, ani relatywistyczne równania znalezione przez Schrödingera nie były w stanie przewidzieć drobnej struktury w serii widmowej wodoru . Tajemniczą właściwością leżącą u podstaw był spin . Pierwsze dwuwymiarowe macierze spinowe (lepiej znane jako macierze Pauliego ) zostały wprowadzone przez Pauliego w równaniu Pauliego ; równanie Schrödingera z nierelatywistycznym hamiltonianem zawierającym dodatkowy wyraz dla cząstek w polach magnetycznych , ale było to zjawisko fenomenologiczne . Weyl znalazł relatywistyczne równanie w kategoriach macierzy Pauliego; równanie Weyl dla bez masy spin-1/2fermiony. Problem został rozwiązany przez Diraca pod koniec lat 20., kiedy rozszerzył zastosowanie równania ( 2 ) do elektronu – poprzez różne manipulacje rozłożył równanie na czynniki w postaci:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {E} {c}} - {\ pogrubienie {\ alfa}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ po prawej) \ po lewej ({\ Frac {E} {c }}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0\,,}$

( 3A )

a jednym z tych czynników jest równanie Diraca (patrz poniżej), po wstawieniu operatorów energii i pędu. W ten sposób po raz pierwszy wprowadzono nowe czterowymiarowe macierze spinowe α i β w relatywistycznym równaniu falowym i wyjaśniono subtelną strukturę wodoru. Rozwiązania dla ( 3A ) to wieloskładnikowe pola spinorowe , a każdy składnik spełnia wymagania ( 1 ). Godnym uwagi rezultatem roztworów spinorowych jest to, że połowa składników opisuje cząstkę, podczas gdy druga połowa opisuje antycząstkę ; w tym przypadku elektron i pozyton . Obecnie wiadomo, że równanie Diraca stosuje się do wszystkich masywnych spinów1/2 fermiony . W granicy nierelatywistycznej odzyskuje się równanie Pauliego, podczas gdy przypadek bezmasowy daje równanie Weyla.

Chociaż stanowi punkt zwrotny w teorii kwantowej, równanie Diraca jest prawdziwe tylko dla spin-1/2fermiony i nadal przewiduje negatywne rozwiązania energetyczne, co wywołało wówczas kontrowersje (w szczególności – nie wszyscy fizycy byli zadowoleni z „ morza Diraca ” o negatywnych stanach energetycznych).

1930-1960: Relatywistyczna mechanika kwantowa cząstek o wyższym spinie

Naturalny problem stał się jasny: uogólnić równanie Diraca na cząstki o dowolnym spinie ; zarówno fermiony, jak i bozony, a w tych samych równaniach ich antycząstki (możliwe dzięki formalizmowi spinorowemu wprowadzonemu przez Diraca w jego równaniu, a następnie niedawnym postępom w rachunku spinorowym van der Waerdena w 1929 r.), a najlepiej przy dodatnich rozwiązaniach energetycznych.

Zostało to wprowadzone i rozwiązane przez Majoranę w 1932 roku przez odmienne podejście do Diraca. Majorana uważała jeden "korzeń" ( 3A ):

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {E} {c}} + {\ pogrubienie {\ alfa}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ prawej) \ psi = 0 \ ,}$

( 3B )

gdzie ψ jest polem spinorowym o nieskończenie wielu składowych, nieredukowalnych do skończonej liczby tensorów lub spinorów, aby usunąć nieokreśloność znaku. Te matryce a i β są macierzami nieskończonej wymiarowe, związane z nieskończenie małych transformacji Lorentza . Nie żądać każda składowa 3B spełniać równanie ( 2 ), zamiast on regenerowany równanie stosując Lorentza-niezmienny działania , poprzez Zasada najmniejszego działania i zastosowania Grupa Lorentza teorii.

Majorana wniosła inne ważne wkłady, które nie zostały opublikowane, w tym równania falowe o różnych wymiarach (5, 6 i 16). Przewidywali je później (w bardziej zaangażowany sposób) de Broglie (1934) oraz Duffin, Kemmer i Petiau (około 1938–1939) zob . Algebra Duffina-Kemmera-Petiau . Formalizm Diraca-Fierza-Pauliego był bardziej wyrafinowany niż formalizm Majorany, ponieważ spinory były nowymi narzędziami matematycznymi na początku XX wieku, chociaż artykuł Majorany z 1932 roku był trudny do pełnego zrozumienia; Pauli i Wigner potrzebowali trochę czasu, aby to zrozumieć, około 1940 roku.

Dirac w 1936 r., a Fierz i Pauli w 1939 r. zbudowali równania z nieredukowalnych spinorów A i B , symetryczne we wszystkich indeksach, dla masywnej cząstki o spinie n + ½ dla liczby całkowitej n (patrz notacja Van der Waerdena dla znaczenia indeksów kropkowanych ):

${\ Displaystyle p_ {\ gamma {\ kropka {\ alfa}}} A_ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ kropka {\ alfa}} \dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\ epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }} _{n}}}$

( 4A )

${\ Displaystyle p ^ {\ gamma {\ kropka {\ alfa}}} B_ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ kropka {\ beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta } }_{n}}}$

( 4B )

gdzie p jest pędem jako kowariantny operator spinorowy. Dla n = 0 równania redukują się do sprzężonych równań Diraca, a A i B razem przekształcają się jako oryginalny spinor Diraca . Wyeliminowanie A lub B pokazuje, że A i B spełniają ( 1 ).

W 1941 r. Rarita i Schwinger skupili się na cząstkach o spinie 3 ⁄ 2 i wyprowadzili równanie Rarity-Schwingera , w tym Lagrange'a do jego wygenerowania, a później uogólnili równania analogiczne do spinu n + ½ dla liczby całkowitej n . W 1945 roku Pauli zasugerował Bhabha artykuł Majorany z 1932 roku , który powrócił do ogólnych idei wprowadzonych przez Majoranę w 1932 roku. Bhabha i Lubański zaproponowali całkowicie ogólny zestaw równań, zastępując terminy masy w ( 3A ) i ( 3B ) dowolną stałą , z zastrzeżeniem szeregu warunków, którym muszą być spełnione funkcje fal.

W końcu, w roku 1948 (w tym samym roku Feynman jest całka formulacji odlano) Bargmann i Wigner formułowane ogólnego równania masowych cząstek, które mogą mieć dowolną wirowanie, rozważając równanie Diraca o całkowicie symetryczną Spinor skończonej składnik i używając teorii grup Lorentza (jak zrobiła to Majorana): równania Bargmanna-Wignera . We wczesnych latach 1960, przeformułowania równania Bargmann-Wigner wytworzono przez H. Joos i Steven Weinberg , z równania Joos-Weinberga . Różni teoretycy w tym czasie prowadzili dalsze badania nad relatywistycznymi hamiltonianami dla cząstek o wyższym spinie.

1960-obecnie

Relatywistyczny opis cząstek spinowych był trudnym problemem w teorii kwantowej. Jest to wciąż obszar współczesnych badań, ponieważ problem jest tylko częściowo rozwiązany; uwzględnienie interakcji w równaniach jest problematyczne, a paradoksalne przewidywania (nawet z równania Diraca) są nadal obecne.

Równania liniowe

Poniższe równania mają rozwiązania, które spełniają zasadę superpozycji , czyli funkcje falowe są addytywne .

W całym tekście stosowane są standardowe konwencje notacji indeksów tensorów i notacji z ukośnikiem Feynmana , w tym indeksy greckie, które przyjmują wartości 1, 2, 3 dla składowych przestrzennych i 0 dla składowej czasowej wielkości indeksowanych. Funkcje falowe oznaczono ψ , a ∂ _μ to składowe czterogradientowego operatora.

W równaniach macierzowych macierze Pauliego są oznaczane przez σ ^{μ ,} w którym μ = 0, 1, 2, 3 , gdzie σ ⁰ jest macierzą jednostkową 2 × 2 :

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

a pozostałe macierze mają swoje zwykłe reprezentacje. Ekspresja

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} \ równoważny \ sigma ^ {0} \ częściowy _ {0} + \ sigma ^ {1} \ częściowy _ {1} + \ sigma ^ {2 }\częściowy _{2}+\sigma ^{3}\częściowy _{3}}$

jest operatorem macierzy 2 × 2 , który działa na dwuskładnikowe pola spinorowe .

Te matryce gamma oznaczono przez y ^μ , w którym ponownie μ = 0, 1, 2, 3 , i to liczbę odpowiedzi do wyboru. Matryca γ ⁰ to nie koniecznie 4 x 4 macierzą jednostkową . Ekspresja

${\ Displaystyle i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} + mc \ równoważny i \ hbar (\ gamma ^ {0} \ częściowy _ {0} + \ gamma ^ {1} \ częściowy _ {1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmacierz}}}$

jest operatorem macierzy 4 × 4 , który działa na 4-składnikowe pola spinorowe .

Należy zauważyć, że terminy, takie jak „ mc ” skalarne wielokrotnie macierz tożsamości odpowiedniego wymiaru , wspólne rozmiary 2 x 2 lub 4 x 4 , i zwykle nie przeznaczony dla uproszczenia.

Liczba kwantowa spinu cząstki s	Nazwa	Równanie	Typowe cząstki opisane przez równanie
0	Równanie Kleina-Gordona	${\ Displaystyle (\ Hbar \ częściowy _ {\ mu} + IMC) (\ Hbar \ częściowy ^ {\ mu}-IMC) \ psi = 0}$	Bezmasowa lub masywna cząstka o spinie 0 (taka jak bozony Higgsa ).
1/2	Równanie Weyla	${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} \ psi = 0}$	Bezmasowe cząstki spin-1/2.
	równanie Diraca	${\ Displaystyle \ lewo (i \ hbar \ częściowy \! \! \! /-mc \ prawo) \ psi = 0}$	Masywne cząstki o spinie 1/2 (takie jak elektrony ).
	Dwuciałowe równania Diraca	${\ Displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu } (p_ {1} - {\ tylda {A}} _ {1}) ^ {\ mu } + m_ {1} + {\ tylda { S}}_{1}]\Psi =0,}$ ${\ Displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tylda {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2} + {\ tylda { S}}_{2}]\Psi =0.}$	Masywne cząstki o spinie 1/2 (takie jak elektrony ).
	Równanie Majorany	${\ Displaystyle i \ hbar \ częściowy \! \! \! / \ psi -mc \ psi _ {c} = 0}$	Masywne cząstki Majorany .
	Równanie Breita	${\ Displaystyle i \ Hbar {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy t}} = \ lewo (\ suma _ {i} {\ kapelusz {H}} _ {D} (i) + \ suma _ { i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi }$	Dwie masywne cząstki o spinie 1/2 (takie jak elektrony ) oddziałujące elektromagnetycznie do pierwszego rzędu w teorii zaburzeń.
1	Równania Maxwella (w QED za pomocą miernika Lorenza )	${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} \ częściowy ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = e {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} \ psi}$	Fotony , bezmasowe cząstki o spinie-1.
	Równanie Proca	${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} (\ częściowy ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ częściowy ^ {\ nu} A ^ {\ mu}) + \ lewo ({\ Frac {mc}} \hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0}$	Masywna cząstka o spinie-1 (taka jak bozony W i Z ).
3/2	Równanie Rarity-Schwingera	${\ Displaystyle \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ gamma ^ {5} \ gamma _ {\ nu} \ częściowy _ {\ rho} \ psi _ {\ sigma} + m \ psi ^ {\ mu }=0}$	Masywne cząstki spin-3/2.
s	Równania Bargmanna-Wignera	${\ Displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} + mc) _ {\ alfa _ {1} \ alfa _ {1} '} \ psi _ {\ alfa '_ { 1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0}$ ${\ Displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} + mc) _ {\ alfa _ {2} \ alfa _ {2} '} \ psi _ {\ alfa _ {1 }\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}=0}$ ${\displaystyle \qquad \vdots}$ ${\ Displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu} + mc) _ {\ alfa _ {2 s} \ alfa '_ {2 s}} \ psi _ {\ alfa _ {1 }\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}=0}$ gdzie ψ jest 4-składnikowym spinorem rzędu 2 s .	Cząstki swobodne o dowolnym spinie (bozony i fermiony).
	równanie Joosa-Weinberga	${\ Displaystyle [(i \ hbar) ^ {2 s} \ gamma ^ {\ mu _ {1} \ mu _ {2} \ cdots \ mu _ {2 s}} \ częściowy _ {\ mu _ {1}} \ częściowe _{\mu _{2}}\cdots \częściowe _{\mu _{2s}}+(mc)^{2s}]\psi =0}$	Cząstki swobodne o dowolnym spinie (bozony i fermiony).

Pola miernika liniowego

Równanie Duffin-Kemmer-Petiau jest równanie alternatywne spin-spin-0 i 1 cząsteczki:

${\ Displaystyle (i \ hbar \ beta ^ {a} \ częściowy _ {a}-mc) \ psi = 0}$

Konstruowanie RWE

Wykorzystanie 4-wektorów i relacji energia-pęd

Zacznij od standardowej szczególnej teorii względności (SR) 4-wektorów

4-pozycja ${\ Displaystyle X ^ {\ mu} = \ mathbf {X} = (ct {\ vec {\ mathbf {x}}})}$

4-prędkości ${\ Displaystyle U ^ {\ mu} = \ mathbf {U} = \ gamma (c {\ vec {\ mathbf {u}}})}$

4-pędu ${\ Displaystyle P ^ {\ mu} = \ mathbf {P} = \ lewo ({\ Frac {e} {c}} {\ vec {\ mathbf {p}}} \ prawej)}$

4-falowy ${\ Displaystyle K ^ {\ mu} = \ mathbf {K} = \ lewo ({\ Frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ prawej)}$

4-gradientowy ${\ Displaystyle \ częściowy ^ {\ mu} = \ mathbf {\ częściowy} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy _ {t}} {c}}, - {\ vec {\ mathbf {\ nabla}}} \Prawidłowy)}$

Zauważ, że każdy 4-wektor jest powiązany z innym przez skalar Lorentza :

${\ Displaystyle \ mathbf {U} = {\ Frac {d} {d \ tau}} \ mathbf {X}}$gdzie jest odpowiedni czas${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U}}$, gdzie jest masa spoczynkowa${\displaystyle m_{o}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {K} = (1/\ hbar) \ mathbf {P}}$, który jest 4-wektorową wersją relacji Plancka-Einsteina i relacji falowej materii de Brogliego

${\ Displaystyle \ mathbf {\ częściowy} =-i \ mathbf {K}}$, który jest 4-gradientową wersją fal płaskich o wartościach zespolonych

Teraz po prostu zastosuj standardową regułę iloczynu skalarnego Lorentza do każdego z nich:

${\ Displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {U} = (c) ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = (m_ {o} c) ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {K} = \ lewo ({\ Frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ prawej) ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ częściowy} \ cdot \ mathbf {\ częściowy} = \ lewo ({\ Frac {-im_ {o} c} {\ hbar}} \ po prawej) ^ {2} = - \ lewo ({ \frac {m_{o}c}{\hbar }}\prawo)^{2}}$

Ostatnie równanie to fundamentalna relacja kwantowa.

Po zastosowaniu do pola skalarnego Lorentza otrzymujemy równanie Kleina-Gordona, najbardziej podstawowe z kwantowych równań falowych relatywistycznych. ${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle [\ mathbf {\ częściowy} \ cdot \ mathbf {\ częściowy} + \ lewo ({\ Frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ po prawej) ^ {2}] \ psi = 0}$: w formacie 4-wektorowym

${\ Displaystyle [\ częściowy _ {\ mu} \ częściowy ^ {\ mu} + \ lewo ({\ Frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ prawej) ^ {2}] \ psi = 0}$: w formacie tensorowym

${\ Displaystyle [(\ Hbar \ częściowy _ {\ mu} + im_ {o} c) (\ hbar \ częściowy ^ {\ mu}-im_ {o} c)] \ psi = 0}$: w formacie tensora faktorowego

Równanie Schrödingera jest niskiej prędkości przypadku ograniczające ( v  <<  c ) z równania Klein, Gordon .

Kiedy zależność jest zastosowana do pola czterowektorowego zamiast do pola skalarnego Lorentza , otrzymujemy równanie Proca (w mierniku Lorenza ): ${\ Displaystyle A ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle [\ mathbf {\ częściowy} \ cdot \ mathbf {\ częściowy} + \ lewo ({\ Frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ po prawej) ^ {2}] A ^ {\ mu }=0}$

Jeśli składnik masy spoczynkowej jest ustawiony na zero (cząstki podobne do światła), to daje to swobodne równanie Maxwella (w mierniku Lorenza )

${\ Displaystyle [\ mathbf {\ częściowy} \ cdot \ mathbf {\ częściowy}] A ^ {\ mu} = 0}$

Reprezentacje grupy Lorentz

Pod odpowiednim orthochronous Lorentz transformacji x → Λ x w przestrzeni Minkowskiego , wszystko jedno cząstek stanami kwantowo * F ^j _σ spin j ze spinu z-komponent Ď lokalnie przekształcić pod pewnym reprezentacji D z grupy Lorentza :

${\ Displaystyle \ psi (x) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi (\ Lambda ^ {-1} x)}$

gdzie D (Λ) jest pewną reprezentacją skończenie wymiarową, tj. macierzą. Tutaj ψ jest traktowany jako wektor kolumnowy zawierający komponenty z dozwolonymi wartościami σ . Liczby kwantowe J i σ jak również inne etykiety, w sposób ciągły lub dyskretny, co stanowi inną liczbą kwantową są tłumione. Jedna wartość σ może wystąpić więcej niż raz w zależności od reprezentacji. Reprezentacje z kilkoma możliwymi wartościami j są omówione poniżej.

Reprezentacje nieredukowalne są oznaczone parą liczb połówkowych lub liczb całkowitych ( A , B ) . Na ich podstawie można zbudować wszystkie inne reprezentacje przy użyciu różnych standardowych metod, takich jak iloczyny tensorowe i bezpośrednie sumy . W szczególności, odstęp czasu sama stanowi 4-wektor reprezentacji (1/2, 1/2) tak, że Λ ∈ D' ^{(1/2, 1/2)} . Aby umieścić to w kontekście; Spinory Diraca przekształcają się pod (1/2, 0) (0, 1/2) reprezentacja. W ogólności, ( , B ) przestrzeni reprezentacji mają podprzestrzeni , że zgodnie z podgrupy przestrzennych obrotów , SO (3) przekształca nieredukowalnie jak obiektów wirowania j , gdzie każdy dopuszczalnej wartości:

${\ Displaystyle j = A + B, A + B-1, ..., | AB |,}$

występuje dokładnie raz. Ogólnie rzecz biorąc, iloczyny tensorowe reprezentacji nieredukowalnych są redukowalne; rozkładają się one jako bezpośrednie sumy nieredukowalnych reprezentacji.

Reprezentacje D ^{( j , 0 )} i D ^{(0, j )} mogą osobno przedstawiać cząstki o spinie j . Pole stanowe lub kwantowe w takiej reprezentacji nie spełniałoby żadnego równania pola z wyjątkiem równania Kleina-Gordona.

Równania nieliniowe

Istnieją równania, które mają rozwiązania, które nie spełniają zasady superpozycji.

Nieliniowe pola cechowania

• Równanie Yanga-Millsa : opisuje nieabelowe pole cechowania
• Równania Yanga-Millsa-Higgsa : opisują nieabelowe pole cechowania sprzężone z masywną cząstką o spinie 0

Zakręć 2

• Równania pola Einsteina : opisują oddziaływanie materii z polem grawitacyjnym ( pole o bezmasowym spinie 2):

${\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {1 \ ponad 2} g_ {\ mu \ nu} \ R + g_ {\ mu \ nu} \ Lambda = {8 \ pi G \ nad c ^ {4} }T_{\mu \nu }}$

Rozwiązaniem jest metryczne pole tensorowe , a nie funkcja falowa.

Zobacz też

• Lista równań w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych
• Lista równań w mechanice kwantowej
• Transformacje Lorentza
• Matematyczne opisy pola elektromagnetycznego
  • Kwantyzacja pola elektromagnetycznego
• Minimalne sprzężenie
• Skalarna teoria pola
• Status szczególnej teorii względności

Bibliografia

Dalsza lektura