Historia koncepcji funkcji - History of the function concept

Matematyczne pojęcie funkcji pojawiły się w wieku 17, w związku z rozwojem rachunku ; Przykładowo nachylenie z wykresu , w punkcie był uważany za funkcję x -coordinate punktu. Funkcje nie były wyraźnie rozważane w starożytności, ale niektórych prekursorów tej koncepcji można prawdopodobnie dostrzec w pracach średniowiecznych filozofów i matematyków, takich jak Oresme .

Matematycy XVIII wieku zazwyczaj uważali funkcję za zdefiniowaną przez wyrażenie analityczne . W XIX wieku wymagania rygorystycznego rozwoju analizy przez Weierstrassa i innych, przeformułowanie geometrii w kategoriach analizy oraz wynalezienie teorii mnogości przez Cantora , doprowadziły ostatecznie do znacznie bardziej ogólnej, nowoczesnej koncepcji funkcji jako mapowanie jednowartościowe z jednego zestawu do drugiego.

Funkcje sprzed XVII wieku

Już w XII wieku matematyk Sharaf al-Din al-Tusi przeanalizował równanie x 3 + d = b  ⋅  x 2 w postaci x 2  ⋅ ( b – x ) = d , stwierdzając, że lewa strona musi być co najmniej równa wartość d, aby równanie miało rozwiązanie. Następnie określił maksymalną wartość tego wyrażenia. Można argumentować, że wyizolowanie tego wyrażenia jest wczesnym podejściem do pojęcia „funkcji”. Wartość mniejsza niż d oznacza brak pozytywnego rozwiązania; wartość równa d odpowiada jednemu rozwiązaniu, a wartość większa niż d odpowiada dwóm rozwiązaniom. Analiza tego równania przeprowadzona przez Sharafa al-Dina była znaczącym postępem w matematyce islamu , ale jego praca nie była w tamtym czasie dalej kontynuowana ani w świecie muzułmańskim, ani w Europie.

Według Dieudonnégo i Ponte pojęcie funkcji pojawiło się w XVII wieku w wyniku rozwoju geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małych . Niemniej jednak Miedwiediew sugeruje, że niejawna koncepcja funkcji to taka, która ma starożytny rodowód. Ponte widzi także bardziej jednoznaczne podejście do tej koncepcji w średniowieczu :

Historycznie można uznać, że niektórzy matematycy przewidzieli i zbliżyli się do nowoczesnego sformułowania pojęcia funkcji. Wśród nich jest Oresme (1323–1382) . . . W jego teorii wydaje się, że obecne są pewne ogólne poglądy na temat niezależnych i zależnych zmiennych wielkości.

Rozwój geometrii analitycznej około 1640 roku pozwolił matematykom poruszać się między problemami geometrycznymi dotyczącymi krzywych i relacji algebraicznych między „zmiennymi współrzędnymi x i y ”. Rachunek został opracowany przy użyciu pojęcia zmiennych, z towarzyszącym im znaczeniem geometrycznym, które przetrwało do XVIII wieku. Jednak terminologia „funkcja” zaczęła być używana w interakcjach między Leibnizem i Bernoullim pod koniec XVII wieku.

Pojęcie „funkcji” w analizie

Termin „funkcja” został dosłownie wprowadzony przez Gottfrieda Leibniza w liście z 1673 roku, aby opisać wielkość związaną z punktami krzywej , taką jak współrzędna lub nachylenie krzywej . Johann Bernoulli zaczął nazywać wyrażenia złożone z jednej zmiennej „funkcjami”. W 1698 r. zgodził się z Leibnizem, że każdą wielkość utworzoną „w sposób algebraiczny i transcendentalny” można nazwać funkcją od x . W 1718 roku zaczął uważać za funkcję „każde wyrażenie złożone ze zmiennej i pewnych stałych”. Alexis Claude Clairaut (ok. 1734) i Leonhard Euler wprowadzili znajomy zapis wartości funkcji.

Funkcje rozważane w tamtych czasach nazywane są dziś funkcjami różniczkowymi . Dla tego typu funkcji można mówić o limitach i pochodnych; oba są pomiarami wyjścia lub zmiany wyjścia, ponieważ zależy to od wejścia lub zmiany wejścia. Takie funkcje są podstawą rachunku różniczkowego .

Euler

W pierwszym tomie swojego fundamentalnego tekstu Introductio in analysin infinitorum , opublikowanego w 1748 roku, Euler podał zasadniczo taką samą definicję funkcji, jak jego nauczyciel Bernoulli, jako wyrażenie lub formułę zawierającą zmienne i stałe, np . . Własna definicja Eulera brzmi:

Funkcja wielkości zmiennej to wyrażenie analityczne złożone w jakikolwiek sposób ze zmiennej wielkości i liczb lub wielkości stałych.

Euler zezwolił również na funkcje wielowartościowe, których wartości są określone przez niejawne równanie.

W 1755 roku, jednak w jego Institutiones kamicy differentialis , Euler dał bardziej ogólne pojęcie funkcji:

Kiedy pewne wielkości zależą od innych w taki sposób, że ulegają zmianie wraz ze zmianą tych ostatnich, wtedy pierwsze nazywamy funkcjami drugiej. Ta nazwa ma niezwykle szeroki charakter; obejmuje wszystkie sposoby, w jakie można określić jedną wielkość w kategoriach innych.

Miedwiediew uważa, że ​​„w istocie jest to definicja, która stała się znana jako definicja Dirichleta”. Edwards przypisuje również Eulerowi ogólną koncepcję funkcji i mówi dalej, że

Relacje między tymi wielkościami nie są uważane za określone przez formuły, ale z drugiej strony z pewnością nie są one uważane za rodzaj ogólnej teorii mnogości podzbiorów przestrzeni produktów, które mają na myśli współcześni matematycy, używając teorii mnogości. słowo „funkcja”.

Fouriera

W swojej Théorie Analytique de la Chaleur Fourier twierdził, że arbitralna funkcja może być reprezentowana przez szereg Fouriera . Fourier miał ogólną koncepcję funkcji, która obejmowała funkcje, które nie były ani ciągłe, ani zdefiniowane przez wyrażenie analityczne. Powiązane kwestie natury i reprezentacji funkcji, wynikające z rozwiązania równania falowego dla drgającej struny, były już przedmiotem sporu między d'Alembertem a Eulerem i miały istotny wpływ na uogólnienie pojęcia funkcji . Luzin zauważa, że:

Współczesne rozumienie funkcji i jej definicja, która wydaje się nam słuszna, mogło powstać dopiero po odkryciu Fouriera. Jego odkrycie jasno pokazało, że większość nieporozumień, które pojawiły się w debacie na temat wibrującej struny, wynikało z pomylenia dwóch pozornie identycznych, ale w rzeczywistości bardzo różnych pojęć, a mianowicie pojęcia funkcji i jej analitycznej reprezentacji. Rzeczywiście, przed odkryciem Fouriera nie było rozróżnienia między pojęciami „funkcji” i „reprezentacji analitycznej” i to właśnie to odkrycie spowodowało ich rozłączenie.

Cauchy

W XIX wieku matematycy zaczęli formalizować wszystkie różne gałęzie matematyki. Jednym z pierwszych, który to zrobił, był Cauchy ; jego nieco nieprecyzyjne wyniki zostały później całkowicie rygorystyczne przez Weierstrassa , który opowiadał się za budowaniem rachunku na arytmetyce zamiast na geometrii , co faworyzowało definicję Eulera nad definicją Leibniza (patrz arytmetyzacja analizy ). Według Smithies, Cauchy myślał o funkcjach jako definiowanych przez równania obejmujące liczby rzeczywiste lub zespolone i milcząco zakładał, że są one ciągłe:

Cauchy czyni kilka ogólnych uwag na temat funkcji w rozdziale I, paragrafie 1 jego Analizy algébrique (1821). Z tego, co tam mówi, jasno wynika, że ​​zwykle uważa on funkcję za zdefiniowaną przez wyrażenie analityczne (jeśli jest jawne) lub przez równanie lub układ równań (jeśli jest dorozumiany); różni się od swoich poprzedników tym, że jest przygotowany do rozważenia możliwości, że funkcja może być zdefiniowana tylko dla ograniczonego zakresu zmiennej niezależnej.

Łobaczewski i Dirichlet

Nikołajowi Łobaczewskiemu i Peterowi Gustavowi Lejeune Dirichletowi tradycyjnie przypisuje się niezależne podawanie nowoczesnej „formalnej” definicji funkcji jako relacji, w której każdy pierwszy element ma unikalny drugi element.

Łobaczewski (1834) pisze, że

Ogólna koncepcja funkcji wymaga, aby funkcja x była zdefiniowana jako liczba podana dla każdego x i zmieniająca się stopniowo wraz z x . Wartość funkcji może być podana albo przez wyrażenie analityczne, albo przez warunek, który umożliwia zbadanie wszystkich liczb i wybranie jednej z nich; lub wreszcie zależność może istnieć, ale pozostaje nieznana.

podczas gdy Dirichlet (1837) pisze

Jeśli teraz jedno skończone y odpowiadające każdemu x , a ponadto w taki sposób, że gdy x zmienia się w sposób ciągły w przedziale od a do b , również zmienia się w sposób ciągły, to y nazywamy ciągłą funkcją x dla tego przedziału. Nie jest tu wcale konieczne, aby y było określone w x przez jedno i to samo prawo w całym przedziale i nie jest konieczne, aby było ono traktowane jako zależność wyrażona za pomocą operacji matematycznych.

Eves twierdzi, że „uczeń matematyki zwykle spełnia definicję funkcji Dirichleta na swoim wstępnym kursie z rachunku różniczkowego.

Roszczenie Dirichleta do tej formalizacji zostało zakwestionowane przez Imre Lakatosa :

W pracach Dirichleta w ogóle nie ma takiej definicji. Istnieje jednak wiele dowodów na to, że nie miał pojęcia o tej koncepcji. Na przykład w swojej pracy [1837], kiedy omawia funkcje odcinkowo ciągłe, mówi, że w punktach nieciągłości funkcja ma dwie wartości : ...

Jednak Gardiner mówi „… wydaje mi się, że Lakatos posuwa się za daleko, na przykład, gdy twierdzi, że „istnieją wystarczające dowody na to, że [Dirichlet] nie miał pojęcia o [nowoczesnej funkcji] koncepcji”. Co więcej, jak zauważono powyżej, artykuł Dirichleta wydaje się zawierać definicję na wzór tego, co zwykle mu przypisuje się, mimo że (jak Łobaczewski) podaje ją tylko dla funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej.

Podobnie Lavine zauważa, że:

Kwestią sporną jest, ile zasług Dirichlet zasługuje na współczesną definicję funkcji, po części dlatego, że ograniczył swoją definicję do funkcji ciągłych... Uważam, że Dirichlet zdefiniował pojęcie funkcji ciągłej, aby wyjaśnić, że nie ma reguły lub prawo jest wymagane nawet w przypadku funkcji ciągłych, a nie tylko w ogóle. To zasługiwałoby na szczególne podkreślenie ze względu na definicję Eulera funkcji ciągłej jako funkcji określonej przez pojedyncze wyrażenie lub prawo. Ale wątpię też, czy istnieją wystarczające dowody na rozstrzygnięcie sporu.

Ponieważ Lobachevsky i Dirichlet zostali uznani za jednych z pierwszych, którzy wprowadzili pojęcie arbitralnej korespondencji, pojęcie to jest czasami określane jako definicja funkcji Dirichleta lub Lobachevsky'ego-Dirichleta. Ogólna wersja tej definicji została później wykorzystana przez Bourbaki (1939), a niektórzy w środowisku edukacyjnym odnoszą się do niej jako do definicji funkcji „Dirichlet-Bourbaki”.

Dedekind

Dieudonné , który był jednym z członków założycieli grupy Bourbaki, przypisuje Dedekindowi precyzyjną i ogólnie nowoczesną definicję funkcji w swojej pracy Was sind und was sollen die Zahlen , która ukazała się w 1888 roku, ale została napisana już w 1878 roku. zauważa, że ​​zamiast ograniczać się, jak w poprzednich koncepcjach, do rzeczywistych (lub złożonych) funkcji, Dedekind definiuje funkcję jako jednowartościowe odwzorowanie między dowolnymi dwoma zestawami:

Tym, co było nowe i co miało być istotne dla całej matematyki, było całkowicie ogólne pojęcie funkcji .

Wytrzymały

Hardy 1908 , s. 26-28 zdefiniował funkcję jako relację między dwiema zmiennymi x i y w taki sposób, że „niektórym wartościom x w każdym razie odpowiadają wartości y ”. Nie wymagał, aby funkcja była zdefiniowana dla wszystkich wartości x ani skojarzenia każdej wartości x z pojedynczą wartością  y . Ta szeroka definicja funkcji obejmuje więcej relacji niż zwykle uważa się za funkcje we współczesnej matematyce. Na przykład definicja Hardy'ego obejmuje funkcje wielowartościowe i to, co w teorii obliczalności nazywa się funkcjami częściowymi .

„Funkcja” logika przed rokiem 1850

Logicy tamtych czasów zajmowali się przede wszystkim analizą sylogizmów (2000-letnich form arystotelesowskich i innych), lub, jak stwierdził Augustus De Morgan (1847): „badanie tej części rozumowania, która zależy od sposobu wnioskowania są tworzone i badanie ogólnych maksym i zasad konstruowania argumentów”. W tej chwili pojęcie (logicznej) „funkcji” nie jest wyraźne, ale przynajmniej w pracach De Morgana i George'a Boole'a jest implikowane: widzimy abstrakcję form argumentacyjnych, wprowadzenie zmiennych, wprowadzenie symbolicznego algebry w odniesieniu do tych zmiennych oraz niektórych pojęć teorii mnogości.

De Morgan z 1847 r. „LOGICZNA ORGANIZACJA FORMALNA, Rachunek wnioskowania, konieczny i prawdopodobny” zauważa, że ​​„[ prawda ] logiczna zależy od struktury zdania , a nie od konkretnych spraw, o których mowa”; nie traci czasu (strona przedmowa i) abstrahując: „W formie zdania kopula jest tak abstrakcyjna jak terminy”. Natychmiast (s. 1) przekształca to, co nazywa „zdaniem” (dzisiejsza funkcja zdaniowa lub relacja ) w formę taką, jak „X to Y”, gdzie symbole X, „jest” i Y reprezentują odpowiednio: zastrzeżeniem , kopuła , a orzecznik. Chociaż słowo „funkcja” nie występuje, istnieje pojęcie „abstrakcja”, istnieją „zmienne”, pojęcie włączenia w jego symbolice „całe Δ jest w О” (s. 9) jest tam, i wreszcie nowa symbolika dla logicznej analizy pojęcia „związek” (w odniesieniu do tego przykładu używa słowa „X)Y” (s. 75) ):

„A 1 X)Y Aby wziąć X, trzeba wziąć Y” [lub Aby być X, trzeba być Y]
„A 1 Y)X Aby wziąć Y, wystarczy wziąć X” [lub Aby być Y, wystarczy być X] itd.

W swojej Naturze logiki z 1848 r. Boole stwierdza, że ​​„logika (...) jest w bardziej szczególnym sensie nauką o rozumowaniu za pomocą znaków” i krótko omawia pojęcia „przynależności do” i „klasy”: „Jednostka może posiadać wielka różnorodność atrybutów, a tym samym przynależność do wielu różnych klas”. Podobnie jak De Morgan posługuje się pojęciem „zmiennej” zaczerpniętym z analizy; podaje przykład „reprezentowania klasy wołów przez x i koni przez y oraz spójnik i znak +... możemy przedstawić zagregowaną klasę wołów i koni przez x  +  y ”.

W kontekście „Rachunku Różniczkowego” Boole zdefiniował (około 1849 r.) pojęcie funkcji w następujący sposób:

„Wielkość, której zmienność jest jednostajna… nazywana jest zmienną niezależną. O wielkości, której zmienność odnosi się do zmienności pierwszej, mówi się, że jest jej funkcją . Rachunek różniczkowy umożliwia nam w każdym przypadku przejście od funkcji do granic możliwości. Czyni to poprzez pewną operację. Ale w samej idei operacji jest... idea operacji odwrotnej. Dokonanie tej operacji odwrotnej w obecnym przypadku jest sprawą rachunku wewnętrznego. ”.

„Funkcja” logików 1850–1950

Eves zauważa, że ​​„logicy usiłowali zepchnąć w dół początkowy poziom definicyjnego rozwoju matematyki i wyprowadzić teorię zbiorów lub klas z podstaw logiki zdań i funkcji zdań”. Jednak pod koniec XIX wieku badania logików nad podstawami matematyki przechodziły poważny rozłam. Kierunek pierwszej grupy, Logicists , najtrafniej chyba podsumowuje Bertrand Russell  1903 – „spełnić dwa cele, po pierwsze pokazać, że cała matematyka wynika z logiki symbolicznej, a po drugie odkryć, w miarę możliwości, co są zasadami samej logiki symbolicznej”.

Druga grupa logików, teoretycy mnogości , wyłoniła się wraz z „teorią mnogości” Georga Cantora (1870-1890), ale popchnęła ją do przodu częściowo dzięki odkryciu przez Russella paradoksu, który można wyprowadzić z koncepcji „funkcji” Fregego. ", ale także jako reakcja na rozwiązanie zaproponowane przez Russella. Odpowiedzią Zermelo w teorii mnogości były jego 1908 Badania w podstawach teorii mnogości I – pierwsza aksjomatyczna teoria mnogości ; tu też pewną rolę odgrywa pojęcie „funkcji zdaniowej”.

Prawa myśli George'a Boole'a 1854; Symboliczna logika Johna Venna 1881 r

W swoim Dochodzeniu do praw myśli Boole zdefiniował teraz funkcję w kategoriach symbolu x w następujący sposób:

„8. Definicja. – Każde wyrażenie algebraiczne zawierające symbol x jest określane jako funkcja x i może być reprezentowane przez skróconą formę f ( x )”

Następnie Boole użył wyrażeń algebraicznych do zdefiniowania pojęć algebraicznych i logicznych , np. 1 −  x to logiczne NIE( x ), xy to logiczne AND( x , y ), x  +  y to logiczne OR( x , y ), x ( x  +  y ) to xx  +  xy , a „specjalne prawo” xx = x 2 = x .

W swojej logice symbolicznej z 1881 r. Venn używał słów „funkcja logiczna” i współczesnej symboliki ( x = f ( y ), y = f-  1 ( x ), por. strona xxi) plus kołowe diagramy historycznie związane z Vennem, aby opisać „stosunki klasowe”, pojęcia „kwantyfikujące” nasz orzeczenie”, „zdania ze względu na ich rozszerzenie”, „stosunek włączenia i wykluczenia dwóch klas do siebie” oraz „funkcja zdaniowa” (wszystkie na s. 10). ), pasek nad zmienną wskazującą not- x (str. 43) itd. Rzeczywiście, jednoznacznie zrównał on pojęcie „funkcji logicznej” z „klasą” [nowoczesny „zbiór”]: „… na poglądzie przyjętym w ta książka, f ( x ) nigdy nie oznacza niczego poza klasą logiczną Może to być klasa złożona złożona z wielu klas prostych, może to być klasa wskazana przez pewne odwrotne operacje logiczne, może składać się z dwóch grup klas równych względem siebie, czyli na to samo, ich różnica jest równa zero, czyli równanie logiczne. ed lub pochodne, f ( x ) u nas nigdy nie będzie niczym innym niż ogólnym wyrażeniem dla takich logicznych klas rzeczy, które mogą sprawiedliwie znaleźć miejsce w zwykłej logice”.

Fregego Begriffsschrift 1879

Gottlob Frege „s Begriffsschrift (1879) poprzedzony Giuseppe Peano (1889), ale Peano nie miał wiedzy o Frege 1879 harvnb błędu: wiele celów (2x): CITEREFFrege1879 ( help ) , aż po tym, jak jego opublikowanej 1889. Obie pisarki silnie wpłynął Russell (1903) . Russell z kolei wpłynął na znaczną część matematyki i logiki XX wieku poprzez swoją Principia Mathematica (1913) napisaną wspólnie z Alfredem North Whiteheadem .

Na początku Frege porzuca tradycyjne „pojęcia podmiot i orzeczenie ”, zastępując je odpowiednio argumentem i funkcją , które według niego „przejdą próbę czasu. Łatwo zauważyć, jak traktowanie treści jako funkcji argumentu prowadzi do tworzenie pojęć. Ponadto na uwagę zasługuje wykazanie związku między znaczeniami słów, jeśli, a nie, lub jest kilka, wszystko i tak dalej”.

Frege rozpoczyna dyskusję na temat „funkcji” od przykładu: Zacznij od wyrażenia „wodór jest lżejszy niż dwutlenek węgla”. Teraz usuń znak wodoru (tzn. słowo „wodór”) i zastąp go znakiem tlenu (tzn. słowem „tlen”); to jest drugie stwierdzenie. Zrób to ponownie (używając dowolnego ze stwierdzeń) i zastąp znak azotem (tj. słowem „azot”) i zauważ, że „Zmienia to znaczenie w taki sposób, że „tlen” lub „azot” wchodzi w relacje, w których „ wodór „stał przed”. Istnieją trzy stwierdzenia:

  • „Wodór jest lżejszy niż dwutlenek węgla”.
  • „Tlen jest lżejszy niż dwutlenek węgla”.
  • „Azot jest lżejszy niż dwutlenek węgla”.

Zauważmy teraz we wszystkich trzech „stabilny składnik, reprezentujący całość relacji”; nazwijmy to funkcją , tj.

"... jest lżejszy od dwutlenku węgla", to funkcja.

Frege nazywa argument funkcji „[z]nakiem [np. wodór, tlen lub azot], uznawanym za wymienny przez inne, który oznacza obiekt znajdujący się w tych relacjach”. Zauważa, że ​​moglibyśmy również wyprowadzić funkcję jako „wodór jest lżejszy niż...” z argumentem po prawej stronie ; dokładnej obserwacji dokonuje Peano (więcej poniżej). Wreszcie, Frege dopuszcza przypadek dwóch (lub więcej) argumentów. Na przykład usuń „dwutlenek węgla”, aby uzyskać niezmienną część (funkcję) jako:

  • „… jest lżejszy niż…”

Funkcja jednoargumentowa Frege uogólnia postać Φ(A), gdzie A jest argumentem, a Φ( ) reprezentuje funkcję, podczas gdy funkcja dwuargumentowa, którą symbolizuje jako Ψ(A, B) z A i B argumentami i Ψ ( , ) funkcja i ostrzega, że ​​„ogólnie Ψ(A, B) różni się od Ψ(B, A)”. Wykorzystując swoją unikalną symbolikę tłumaczy dla czytelnika następującą symbolikę:

„Możemy przeczytać |--- Φ(A) jako „A ma właściwość Φ. |--- Ψ(A, B) można przetłumaczyć jako „B stoi w relacji Ψ do A” lub „B jest wynikiem zastosowania procedury Ψ do obiektu A”.

Zasady arytmetyki Peano 1889

Peano zdefiniował pojęcie „funkcji” w sposób nieco podobny do Fregego, ale bez precyzji. Najpierw Peano definiuje znak "K oznacza klasę lub agregat obiektów", których obiekty spełniają trzy proste warunki równości, a = a , ( a = b ) = ( b = a ), IF (( a = b ) AND ( b = c )) WTEDY ( a = c ). Następnie wprowadza φ, „znak lub zespół znaków taki, że jeśli x jest obiektem klasy s , wyrażenie φ x oznacza nowy obiekt”. Peano dodaje dwa warunki do tych nowych obiektów: Po pierwsze, trzy warunki równości są spełnione dla obiektów φ x ; po drugie, że „jeśli x i y są obiektami klasy s i jeśli x = y , zakładamy, że można wydedukować φ x = φ y ”. Biorąc pod uwagę wszystkie te warunki, φ jest "przedstawieniem funkcji". Podobnie identyfikuje „znak pocztowy funkcji”. Na przykład, jeśli φ jest funkcją presign a +, to φ x daje a + x , lub jeśli φ jest funkcją postsign + a to x φ daje x + a .

Bertrand Russell's The Principles of Mathematics 1903

Podczas gdy wpływ Cantora i Peano był nadrzędny, w Dodatku A „The Logical and Arithmetical Doctrines of Frege” do The Principles of Mathematics Russell dochodzi do omówienia pojęcia funkcji Fregego , „...punkt, w którym praca Fregego jest bardzo ważne i wymaga dokładnego zbadania”. W odpowiedzi na jego wymianę listów z 1902 r. z Fregego na temat sprzeczności, którą odkrył w Begriffsschrift Frege'a, Russell w ostatniej chwili dołączył ten rozdział.

Dla Russella złym pojęciem jest pojęcie „zmiennej”: „6. Zdania matematyczne charakteryzują się nie tylko tym, że zawierają implikacje, ale także tym, że zawierają zmienne . Pojęcie zmiennej jest jednym z najtrudniejszych. z czym ma do czynienia logika. Na razie pragnę otwarcie wyjaśnić, że we wszystkich twierdzeniach matematycznych występują zmienne, nawet tam, gdzie na pierwszy rzut oka mogą wydawać się nieobecne... Znajdziemy zawsze, we wszystkich matematycznych twierdzenia, że ​​występują słowa dowolne lub niektóre ; a te słowa są oznakami zmiennej i formalnej implikacji”.

Jak wyraził to Russell, „proces przekształcania stałych w zdaniu w zmienne prowadzi do tego, co nazywamy uogólnieniem i daje nam niejako formalną istotę zdania… Dopóki dowolny wyraz w naszym zdaniu może zostać zmieniony w zmienną, nasze zdanie można uogólnić, a tak długo, jak jest to możliwe, jest to zadanie matematyki”; te uogólnienia Russell nazwie funkcji zdaniowych „Rzeczywiście cytuje i cytaty z Fregego. Begriffsschrift i prezentuje żywy przykład od Fregego 1891 Funkcja und Begriff : że” istotą funkcji arytmetycznej 2 x 3  +  x jest to, co pozostaje, gdy x jest brane away, czyli w powyższym przypadku 2( ) 3  + ( ). Argument x nie należy do funkcji, ale oba razem tworzą całość”. Russell zgodził się z pojęciem „funkcji” u Fregego w pewnym sensie: „Uważa on funkcje – i w tym się z nim zgadzam – za bardziej fundamentalne niż predykaty i relacji”, ale Russell odrzucił „teorię podmiotu i twierdzenia” Fregego, w szczególności „uważa on, że jeśli w zdaniu występuje termin a , to zdanie można zawsze przeanalizować jako a i twierdzenie o a ”.

Ewolucja pojęcia „funkcja” Russella 1908-1913

Russell przeniósł swoje idee do przodu w swojej logice matematycznej z 1908 r. jako opartej na teorii typów oraz w swojej i Whitehead'a Principia Mathematica z lat 1910-1913 . W czasach Principia Mathematica Russell, podobnie jak Frege, uważał funkcję zdaniową za fundamentalną: „Funkcje zdaniowe są podstawowym rodzajem, z którego pochodzą bardziej powszechne rodzaje funkcji, takie jak „sin x ”, log x lub „ojciec x ”. Te funkcje pochodne (...) nazywane są „funkcjami opisowymi". Funkcje zdań (...) są szczególnym przypadkiem funkcji zdaniowych".

Funkcje zdaniowe: Ponieważ jego terminologia różni się od współczesnej, czytelnik może być zdezorientowany „funkcją zdaniową” Russella. Przykład może pomóc. Russell pisze funkcję zdaniową w jej surowej postaci, np. jako φŷ : " ŷ jest zraniony". (Zwróć uwagę na daszk lub „kapelusz” nad zmienną y ). W naszym przykładzie przypiszemy tylko 4 wartości do zmiennej ŷ : "Bob", "Ten ptak", "Królik Emily" i " y ". Podstawienie jednej z tych wartości na zmienną ŷ daje twierdzenie ; to zdanie nazywa się „wartością” funkcji zdaniowej. W naszym przykładzie są cztery wartości funkcji zdaniowej, np. "Bob jest ranny", "Ten ptak jest ranny", "Królik Emily jest ranny" i " Y jest ranny". Propozycja, jeśli jest to znacząca -ie, jeśli jej prawda jest zdeterminowany -has prawda wartość od prawdy lub fałszu . Jeśli wartością logiczną zdania jest „prawda”, mówi się, że wartość zmiennej spełnia funkcję zdaniową. Wreszcie, zgodnie z definicją Russella, „ klasa [zbiór] to wszystkie obiekty spełniające jakąś funkcję zdaniową” (s. 23). Zwróćmy uwagę na słowo „wszystko” – tak wpisuje się do opracowania współczesne pojęcia „Dla wszystkich ∀” i „istnieje co najmniej jedna instancja ∃” (s. 15).

Kontynuując przykład: Załóżmy (spoza matematyki/logiki) że zdanie „Bob jest ranny” ma wartość prawdy „fałsz”, „Ten ptak jest ranny” ma wartość prawdy „prawda”, „Emily królik jest ranny” ma nieokreśloną wartość logiczną, ponieważ „Królik Emily” nie istnieje, a „ y jest ranny” jest niejednoznaczny co do swojej wartości logicznej, ponieważ sam argument y jest niejednoznaczny. Podczas gdy dwa zdania „Bob jest ranny” i „Ten ptak jest ranny” są znaczące (oba mają wartości logiczne ), tylko wartość „Ten ptak” zmiennej ŷ spełnia funkcję zdaniową φŷ : „ ŷ jest ranny”. Kiedy tworzymy klasę α: φŷ : „ ŷ jest ranny”, uwzględniany jest tylko „Ten ptak”, mając cztery wartości „Bob”, „Ten ptak”, „Królik Emily” i „ y ” dla zmiennej ŷ oraz odpowiadające im wartości prawdziwościowe: fałsz, prawda, nieokreśloność, niejednoznaczność.

Russell definiuje funkcje zdań z argumentami , a funkcje prawdziwościowe f ( p ) . Załóżmy na przykład, że należałoby utworzyć „funkcję zdań z argumentami” p 1 : „NOT( p ) AND q ” i przypisać jej zmiennym wartości p : „Bob jest ranny” i q : „Ten ptak jest ranny” . (Jesteśmy ograniczeni do logicznych powiązań NOT, AND, OR i IMPLIES, a „istotne” zdania możemy przypisać tylko zmiennym p i q ). Wtedy "funkcją zdań z argumentami" jest p 1 : NOT("Bob jest ranny") ORAZ "Ten ptak jest ranny". Aby określić wartość prawdziwości tej "funkcji zdań z argumentami" poddajemy ją "funkcji prawdy", np. f ( p 1 ): f ( NOT("Bob jest ranny") AND "Ten ptak jest ranny" ) , co daje wartość logiczną „prawdy”.

Pojęcie relacji funkcjonalnej „wiele jeden” : Russell najpierw omawia pojęcie „tożsamości”, a następnie definiuje funkcję opisową (str. 30 i następne) jako unikalną wartość ιx, która spełnia funkcję zdaniową (2-zmienne) (tj. „relacja”) φŷ .

NB Czytelnik powinien być ostrzeżony w tym miejscu, że kolejność zmiennych jest odwrócona! y jest zmienną niezależną, a x jest zmienną zależną, np. x = sin( y ).

Russell symbolizuje funkcję opisową jako „obiekt stojący w stosunku do y ”: R'y = DEF ( ιx )( x R y ). Russell powtarza, że " R'y jest funkcją y , ale nie jest to funkcja zdaniowa [sic]; będziemy go nazywać opisowe funkcja Wszystkie zwykłe funkcje matematyczne są tego rodzaju Zatem w naszej notacji..«Sin  y »będzie należy napisać „sin  'y ”, a „sin” oznaczałoby relację sin  'y do y '.

„Funkcja” formalisty: aksjomatyzacja matematyki Davida Hilberta (1904-1927)

David Hilbert postawił sobie za cel „sformalizowanie” matematyki klasycznej „jako formalnej teorii aksjomatycznej, a ta teoria powinna być udowodniona jako niesprzeczna , tj. wolna od sprzeczności”. W Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics ujmuje pojęcie funkcji w kategoriach istnienia „obiektu”:

13. A(a) --> A(ε(A)) Tutaj ε(A) oznacza przedmiot, którego zdanie A(a) na pewno zachodzi, jeśli w ogóle dotyczy jakiegoś przedmiotu; nazwijmy ε logiczną funkcją ε". [Strzałka wskazuje „implikuje".]

Hilbert następnie ilustruje trzy sposoby użycia funkcji ε, po pierwsze jako pojęcia „dla wszystkich” i „istnieje”, po drugie do reprezentowania „przedmiotu, którego [zdanie] zawiera”, i wreszcie, jak rzucić go do funkcji wyboru .

Teoria rekurencji i obliczalność : Ale nieoczekiwanym rezultatem wysiłków Hilberta i jego ucznia Bernaysa była porażka; patrz twierdzenia o niezupełności Gödla z 1931 roku. Mniej więcej w tym samym czasie, próbując rozwiązać Entscheidungsproblem Hilberta , matematycy przystąpili do zdefiniowania, co oznaczało „efektywnie obliczalna funkcja” ( Alonzo Church 1936), tj. „efektywna metoda” lub „ algorytm ", czyli jawna, krok po kroku procedura, która umożliwiłaby obliczenie funkcji. Różne modele dla algorytmów pojawił się w krótkim odstępie czasu, w tym Kościoła rachunku lambda (1936), Stephen KLEENE „s funkcje ľ-rekurencyjne (1936) i Alan Turing ” pojęciem s (1936-7) zastąpienia «komputery» człowieka z zupełnie mechaniczna „maszyny komputerowe” (patrz maszyny Turinga ). Wykazano, że wszystkie te modele mogą obliczać tę samą klasę funkcji obliczalnych . Teza Churcha głosi, że ta klasa funkcji wyczerpuje wszystkie funkcje teorii liczb, które można obliczyć algorytmem. Wyniki tych wysiłków były żywymi demonstracjami, że, słowami Turinga, „nie może być ogólnego procesu określania, czy dany wzór U rachunku funkcjonalnego K [ Principia Mathematica ] jest dowodliwy”; zobacz więcej na Niezależność (logika matematyczna) i Teoria obliczalności .

Opracowanie teorii mnogości definicji „funkcji”

Teoria mnogości rozpoczęła się od prac logików z pojęciem „klasy” (nowoczesny „zbiór”), ​​na przykład De Morgan (1847) , Jevons (1880), Venn (1881) , Frege (1879) błąd harvtxt: wiele celów ( 2×): CITEREFFrege1879 ( pomoc ) i Peano (1889) . Impulsem do tego była próba zdefiniowania nieskończoności Georga Cantora w ujęciu teorii mnogości (1870-1890) i późniejsze odkrycie antynomii (sprzeczności, paradoksu) w tym ujęciu (paradoks Cantora ), odkrycie Russella (1902). ) antynomii z 1879 r. Fregego ( paradoks Russella ), poprzez odkrycie większej liczby antynomii na początku XX wieku (np. paradoks Burali-Forti z 1897 r. i paradoks Richarda z 1905 r. ) oraz przez opór wobec złożonego podejścia Russella do logiki i niechęci. jego aksjomatu redukowalności (1908, 1910–1913), który zaproponował jako środek do uniknięcia antynomii.

Paradoks Russella 1902

W 1902 Russell wysłał list do Fregego, wskazując, że Begriffsschrift Frege'a z 1879 roku pozwalał, by funkcja była argumentem samym w sobie: „Z drugiej strony może być również tak, że argument jest zdeterminowany, a funkcja nieokreślona…” sytuacja bez ograniczeń Russellowi udało się stworzyć paradoks:

„Stan Ty ... że funkcja również może pełnić funkcję elementu nieokreślony To ja dawniej wierzyli, ale teraz ten pogląd wydaje się wątpliwe, aby mnie z powodu następującego sprzeczności Let., Szer być predykat: być predykat, który nie może być orzekana o sobie. Może w być orzekana o sobie?”

Frege natychmiast odpowiedział, że "Twoje odkrycie sprzeczności wywołało we mnie największe zaskoczenie i, powiedziałbym, konsternację, ponieważ zachwiało podstawą, na której zamierzałem budować arytmetykę".

Od tego momentu rozwój podstaw matematyki stał się ćwiczeniem, jak unikać „paradoksu Russella”, ujętego w „nagie [mnogościowe] pojęcia zbioru i pierwiastka”.

Teoria mnogości Zermelo (1908) zmodyfikowana przez Skolema (1922)

Pojęcie „funkcji” pojawia się jako aksjomat III Zermelo – Aksjomat separacji (Axiom der Aussonderung). Aksjomat ten ogranicza nas do użycia funkcji zdań ( x ) do „oddzielenia” podzbioru M Φ od wcześniej utworzonego zbioru M :

„Aksjomat III. (Aksjomat separacji). W przypadku, gdy funkcja zdaniowa Φ ( x ) jest określony dla wszystkich elementów zbioru M , M posiada podzbiór M Φ zawierający jako elementy dokładnie te elementy X z M , dla którego Φ ( x ) jest prawda".

Ponieważ nie ma zbioru uniwersalnego — zbiory wywodzą się na mocy Aksjomatu II z elementów (niezbiorowej) domeny B – „...to znosi antynomię Russella, jeśli chodzi o nas”. Ale „określone kryterium” Zermelo jest nieprecyzyjne i zostało ustalone przez Weyla , Fraenkla , Skolema i von Neumanna .

W rzeczywistości Skolem w 1922 odniósł się do tego „określonego kryterium” lub „własności” jako „określonej propozycji”:

„... skończone wyrażenie skonstruowane ze zdań elementarnych postaci a ε b lub a = b za pomocą pięciu operacji [koniunkcja logiczna, alternatywa, negacja, kwantyfikacja uniwersalna i kwantyfikacja egzystencjalna].

van Heijenoort podsumowuje:

„Własność jest określona w sensie Skolema, jeśli jest wyrażona… przez dobrze sformułowaną formułę w prostym rachunku predykatów pierwszego rzędu, w którym jedynymi stałymi predykatów są ε i prawdopodobnie =… Dzisiaj aksjomatyzacja zbioru teoria jest zwykle osadzona w rachunku logicznym i to podejście Weyla i Skolema do sformułowania aksjomatu separacji jest powszechnie przyjmowane.

W tym cytacie czytelnik może zaobserwować zmianę terminologii: nigdzie nie jest mowa o pojęciu „funkcja zdaniowa”, ale raczej pojawiają się słowa „formuła”, „rachunek predykatów”, „orzecznik” i „rachunek logiczny”. Ta zmiana terminologii jest bardziej omówiona w części dotyczącej „funkcji” we współczesnej teorii mnogości.

Definicja „pary uporządkowanej” Wienera–Hausdorffa–Kuratowskiego 1914–1921

Historia pojęcia „ pary uporządkowanej ” nie jest jasna. Jak wspomniano powyżej, Frege (1879) zaproponował intuicyjne porządkowanie w swojej definicji funkcji dwuargumentowej Ψ(A, B). Norbert Wiener w swoim 1914 (patrz niżej) zauważa, że ​​jego własne traktowanie zasadniczo „powraca do traktowania przez Schrödera związku jako klasy uporządkowanych par”. Russell (1903) rozważał definicję relacji (taką jak Ψ(A, B)) jako „klasę par”, ale odrzucił ją:

„Istnieje pokusa, aby traktować relację jako dającą się zdefiniować w rozszerzeniu jako klasę par. Jest to formalna zaleta polegająca na tym, że unika się konieczności prymitywnego twierdzenia, że ​​każda para ma związek między żadnymi innymi parami terminów. jest konieczne, aby nadać parze sens, aby odróżnić referent [ dziedzinę ] od relatum [ dziedzinę odwrotną ]: w ten sposób para staje się zasadniczo odrębna od klasy dwóch terminów i sama musi być wprowadzona jako pierwotna idea. Wydaje się zatem bardziej słuszne przyjąć intensjonalne spojrzenie na relacje i utożsamiać je raczej z pojęciami klasowymi niż z klasami”.

W latach 1910-1913 i Principia Mathematica Russell zrezygnował z wymogu intensjonalnej definicji relacji, stwierdzając, że „matematyka zawsze zajmuje się rozszerzeniami, a nie intensjami” oraz „Relacje, podobnie jak klasy, należy brać w rozszerzeniu ”. Aby zademonstrować pojęcie relacji w rozszerzeniu, Russell przyjął teraz pojęcie pary uporządkowanej : „Możemy traktować relację... jako klasę par... relacja określona przez φ( x,y ) jest klasą par ( x, y ) dla których φ( x, y ) jest prawdziwe". W przypisie wyjaśnił swoje pojęcie i doszedł do tej definicji:

„Taka para ma sens , tzn. para ( x,y ) jest różna od pary ( y,x ), chyba że x  =  y . Nazwiemy to „parą z sensem”… może też być zawołała zamówiona para .

Ale dalej mówi, że nie wprowadzi zamówionych par dalej w swoje „symboliczne traktowanie”; w ich miejsce proponuje swoją „matrycę” i niepopularny aksjomat redukowalności.

Próba rozwiązania problemu antynomii doprowadziła Russella do zaproponowania swojej „doktryny typów” w dodatku B do jego Zasad matematyki z 1903 roku . Za kilka lat udoskonali to pojęcie i zaproponuje w swojej Teorii typów z 1908 r. dwa aksjomaty redukowalności , których celem było zredukowanie (pojedynczych zmiennych) funkcji zdań i relacji (podwójnych zmiennych) do formy „niższej”. (i ostatecznie w całkowicie ekstensjonalną formę); on i Alfred North Whitehead przenieśli to leczenie do Principia Mathematica 1910-1913 z dalszym udoskonaleniem zwanym „macierzą”. Pierwszy aksjomat to *12,1; drugi to *12.11. Cytując Wienera, drugi aksjomat *12.11 „zaangażowany jest tylko w teorię relacji”. Oba aksjomaty spotkały się jednak ze sceptycyzmem i oporem; zobacz więcej w Aksjomat redukowalności . W roku 1914 Norbert Wiener, używając symboliki Whiteheada i Russella, wyeliminował aksjomat *12.11 („dwuzmienną” (relacyjną) wersję aksjomatu redukowalności) poprzez wyrażenie relacji jako uporządkowanej pary przy użyciu zbioru zerowego. Mniej więcej w tym samym czasie Hausdorff (1914, s. 32) podał definicję pary uporządkowanej ( a , b ) jako {{ a ,1},{ b ,2}}. Kilka lat później Kuratowski (1921) zaproponował definicję, która od tego czasu jest powszechnie stosowana, a mianowicie {{ a , b },{ a }}". Jak zauważył Suppes (1960) "Ta definicja . . . był historycznie ważny w sprowadzaniu teorii relacji do teorii zbiorów.

Zauważmy, że chociaż Wiener „zredukował” relacyjną postać *12.11 aksjomatu redukowalności, to nie zredukował ani w żaden inny sposób nie zmienił postaci zdaniowo-funkcyjnej *12,1; rzeczywiście stwierdził to „niezbędne do traktowania tożsamości, opisów, klas i relacji”.

Pojęcie „funkcji” Schönfinkla jako „korespondencji” wielu jeden 1924

Nie jest jasne, skąd dokładnie wywodzi się ogólne pojęcie „funkcji” jako korespondencji wiele-jeden. Russell w swoim wstępie do filozofii matematycznej z 1920 roku stwierdza, że ​​„Należy zauważyć, że wszystkie funkcje matematyczne wynikają z relacji jeden-wiele [sic – współczesne użycie to wiele-jeden]… Funkcje w tym sensie są funkcjami opisowymi ”. Rozsądną możliwością jest pojęcie „funkcji opisowej” przyjętej przez Principia Mathematica – R 'y = DEF (ι x )( x R y ): „pojedynczy obiekt, który ma relację R do y ”. Tak czy inaczej , do 1924 r. Moses Schönfinkel wyraził tę koncepcję, twierdząc, że jest „dobrze znana”:

„Jak dobrze wiadomo, przez funkcję rozumiemy w najprostszym przypadku zgodność między elementami pewnej dziedziny wielkości, dziedziny argumentów, a elementami dziedziny wartości funkcji… tak, że każdej wartości argumentu odpowiada co najwyżej jedna wartość funkcji".

Według Willarda Quine'a , Schönfinkel 1924 „zapewnia [s] cały zakres abstrakcyjnej teorii mnogości. Sednem sprawy jest to, że Schönfinkel pozwala funkcjonować jako argumenty. funkcji. Są to funkcje zdaniowe, których wartości są wartościami prawdziwościowymi. Wszystkie funkcje, zdaniowe i inne, są dla funkcji jednomiejscowych Schönfinkla". Co ciekawe, Schönfinkel redukuje całą matematykę do niezwykle zwartego rachunku funkcjonalnego składającego się tylko z trzech funkcji: stałości, fuzji (tj. składu) i wzajemnej wyłączności. Quine zauważa, że Haskell Curry (1958) prowadził tę pracę do przodu „pod kierunkiem logiki kombinatorycznej ”.

Teoria mnogości von Neumanna 1925

W 1925 Abraham Fraenkel (1922) i Thoralf Skolem (1922) zmienili teorię mnogości Zermelo z 1908 roku. Ale von Neumann nie był przekonany, że ta aksjomatyzacja nie może prowadzić do antynomii. Zaproponował więc swoją własną teorię, jego 1925 Aksjomatyzacja teorii mnogości . Zawiera on wyraźnie „współczesną”, teoretyczną wersję pojęcia „funkcja”:

„[W przeciwieństwie do teorii mnogości Zermelo] [wolimy jednak aksjomatyzować nie „zbiór”, ale „funkcję”. traktowany jako zbiór par, a zbiór jako funkcja, która może przyjmować dwie wartości.)".

Na wstępie zaczyna od I-obiektów i II-obiektów , dwóch obiektów A i B będących I-obiektami (pierwszy aksjomat) oraz dwóch rodzajów „operacji”, które zakładają uporządkowanie jako własność konstrukcyjną otrzymaną z otrzymanych obiektów [ x , y ] i ( x , y ). Dwie „dziedziny obiektów” nazywane są „argumentami” (obiekty I) i „funkcjami” (obiekty II); gdzie nakładają się na siebie są „funkcje argumentów” (nazywa je obiektami I-II). Wprowadza dwie „uniwersalne operacje na dwóch zmiennych” – (i) operację [ x , y ]: „...odczytaj 'wartość funkcji x dla argumentu y... sama jest obiektem typu I”, oraz (ii) operację ( x , y ): "... (czytaj 'uporządkowaną parę x , y' ), której zmienne x i y muszą być oba argumentami i która sama daje argument ( x , y ). Jej najbardziej Istotną właściwością jest to, że x 1 = x 2 i r 1 = r 2 wynika z ( x 1 = r 2 ) = ( x 2 = r 2 )”. Aby wyjaśnić parę funkcji, zauważa, że ​​„Zamiast f ( x ) piszemy [ f,x ] , aby wskazać, że f , podobnie jak x , należy traktować jako zmienną w tej procedurze”. Aby uniknąć „antynomii naiwnej teorii mnogości, u Russella musimy przede wszystkim zrezygnować z traktowania pewnych funkcji jako argumentów”. Przyjmuje koncepcję z Zermelo, aby ograniczyć te „pewne funkcje”.

Suppes zauważa, że ​​aksjomatyzacja von Neumanna została zmodyfikowana przez Bernaysa „aby pozostać bliżej pierwotnego systemu Zermelo… Wprowadził dwie relacje przynależności: jedną między zbiorami, a drugą między zbiorami i klasami”. Następnie Gödel [1940] dalej zmodyfikował teorię: „jego prymitywnymi pojęciami są pojęcia zbioru, klasy i przynależności (chociaż samo przynależność jest wystarczające)”. Ta aksjomatyzacja jest obecnie znana jako teoria mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla .

Burbaki 1939

W 1939 roku Bourbaki , oprócz podania dobrze znanej, uporządkowanej pary definicji funkcji jako pewnego podzbioru iloczynu kartezjańskiego E × F , podał co następuje:

„Niech E i F będą dwoma zbiorami, które mogą, ale nie muszą być różne. Relacja między zmiennym elementem x z E i zmiennym elementem y z F nazywana jest relacją funkcjonalną w y, jeśli dla wszystkich x ∈ E istnieje unikalny y ∈ F będący w danej relacji z x . Nazwę funkcji nadajemy operacji, która w ten sposób wiąże z każdym elementem x ∈ E element y ∈ F będący w danej relacji z x , a mówi się, że funkcja jest określona przez daną relację funkcjonalną. Dwie równoważne relacje funkcjonalne określają tę samą funkcję.”

Od 1950

Pojęcie „funkcji” we współczesnej teorii mnogości

Zarówno aksjomatyczne, jak i naiwne formy teorii mnogości Zermelo w modyfikacji Fraenkla (1922) i Skolema (1922) definiują „funkcję” jako relację, definiują relację jako zbiór par uporządkowanych, a parę uporządkowaną definiują jako zbiór dwóch „ zestawy niesymetryczne.

Podczas gdy czytelnik Suppes (1960) Aksjomatyczna teoria mnogości lub Halmos (1970) Naiwna teoria mnogości zauważa użycie symboliki funkcji w aksjomatach separacji , np. φ( x ) (w Suppes) i S( x ) (w Halmos). ), nie zobaczą wzmianki o „propozycji” ani nawet o „rachunku predykatów pierwszego rzędu”. W ich miejsce są " wyrażenia języka przedmiotowego", "formuły atomowe", "formuły pierwotne" i "zdania atomowe".

Kleene (1952) definiuje te słowa w następujący sposób: „W językach słów zdanie wyrażane jest przez zdanie. Następnie 'orzeczenie' jest wyrażane przez niepełne zdanie lub szkielet zdania zawierający otwarte miejsce. Na przykład „___ to człowiek " wyraża predykat ... Predykat jest funkcją zdaniową jednej zmiennej . Predykaty są często nazywane 'właściwościami' ... Rachunek predykatów będzie traktował logikę predykatów w tym ogólnym znaczeniu 'predykat', tj. jako zdaniowy funkcjonować".

W 1954 r. Bourbaki, na s. 76 w rozdziale II Theorie des Ensembles (teoria zbiorów) podał definicję funkcji jako potrójnej f = ( F , A , B ). Tutaj F jest grafem funkcjonalnym , oznaczającym zbiór par, w których żadne dwie pary nie mają tego samego pierwszego elementu. Na str. 77 ( op. cit. ) Bourbaki stwierdza (tłumaczenie dosłowne): „Często w pozostałej części tego traktatu będziemy używać słowa funkcja zamiast grafu funkcjonalnego ”.

Suppes (1960) w Aksjomatycznej teorii mnogości formalnie definiuje relację (s. 57) jako zbiór par, a funkcję (s. 86) jako relację, w której żadne dwie pary nie mają tego samego pierwszego elementu.

Forma relacyjna funkcji

Przyczynę zaniku słów „funkcja zdaniowa” np. w Suppes (1960) i Halmos (1970) wyjaśnia Tarski (1946) wraz z dalszym wyjaśnieniem terminologii:

„Wyrażenie takie jak x jest liczbą całkowitą , która zawiera zmienne i po zastąpieniu tych zmiennych stałymi staje się zdaniem, nazywa się FUNKCJĄ SENTYJNĄ [tj. lubią to wyrażenie, ponieważ używają terminu „funkcja” w innym znaczeniu ... zwykle określane są funkcje zdaniowe i zdania złożone w całości z symboli matematycznych (a nie słów języka potocznego), takich jak: x  +  y = 5 przez matematyków jako FORMUŁA.W miejsce „funkcji zdaniowej” będziemy czasem mówić po prostu „zdanie” – ale tylko w przypadkach, gdy nie ma niebezpieczeństwa nieporozumień.

Tarski ze swojej strony nazywa relacyjną formę funkcji „RELACJĄ FUNKCJONALNĄ lub po prostu FUNKCJĄ”. Po omówieniu tej „relacji funkcjonalnej” stwierdza, że:

„Pojęcie funkcji, które teraz rozważamy, różni się zasadniczo od pojęć funkcji zdaniowej [zdania] i funkcji desygnacyjnej… Ściśle mówiąc… [te] nie należą do dziedziny logiki czy matematyki; oznaczają one pewne kategorie wyrażeń, które służą do układania zdań logicznych i matematycznych, ale nie oznaczają rzeczy traktowanych w tych zdaniach... Natomiast termin „funkcja” w nowym znaczeniu jest wyrazem pewnego charakter czysto logiczny; oznacza pewien rodzaj rzeczy, którymi zajmuje się logika i matematyka”.

Zobacz więcej o "prawdzie pod interpretacją" u Alfreda Tarskiego .

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). Pojęcie funkcji: aspekty epistemologii i pedagogiki . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne. Numer ISBN 0-88385-081-8.
  • Frege, Gottlob (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle.
  • Kleiner, Izrael (1989). „Ewolucja koncepcji funkcji: krótka ankieta”. Dziennik Matematyki Kolegium . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne. 20 (4): 282–300. doi : 10.2307/2686848 . JSTOR  2686848 .
  • Lützen, Jesper (2003). „Między rygorem a zastosowaniami: Rozwój koncepcji funkcji w analizie matematycznej” . W Roy Porter (red.). The Cambridge History of Science: Współczesne nauki fizyczne i matematyczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0521571995. Przystępna i urozmaicona prezentacja historyczna.
  • Malik, mgr (1980). „Historyczne i pedagogiczne aspekty definicji funkcji”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology . 11 (4): 489–492. doi : 10.1080/0020739800110404 .
  • Monna, AF (1972). „Pojęcie funkcji w XIX i XX wieku, w szczególności w odniesieniu do dyskusji między Baire, Borel i Lebesgue”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 9 (1): 57–84. doi : 10.1007/BF00348540 . S2CID  120506760 .
  • Reichenbach, Hans (1947) Elementy logiki symbolicznej , Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN  0-486-24004-5 .
  • Ruthing, D. (1984). „Niektóre definicje pojęcia funkcji z Bernoulli, Joh. do Bourbaki, N.”. Inteligencja matematyczna . 6 (4): 72–77. doi : 10.1007/BF03026743 . S2CID  189883712 .
  • Youschkevitch, AP (1976). „Pojęcie funkcji do połowy XIX wieku”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 16 (1): 37–85. doi : 10.1007/BF00348305 (nieaktywny 31 maja 2021 r.).CS1 maint: DOI nieaktywny od maja 2021 ( link )

Zewnętrzne linki